换元法和分部积分法

换元法和分部积分法Tag内容描述：<p>1、定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法难点：定积分换元条件的掌握重点：换元积分法与分部积分法由牛顿莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的1定积分换元法定理 假设(1) 函数在区间上连续；(2) 函数在区间上有连续且不变号的导数；(3) 当在变化时，的值在上变化，且，则有(1)本定理证明从略在应用时必须注意变换应满足定理的条件，在改变积分变。</p><p>2、43 不定积积分的换换元积积分法与分部积积分法 案例研究 案例4.3.1 太阳能的能量： 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 某一太阳能的能量 f 相对于太阳接触的表面面积的 变化率为 且当 时， 试 求 f 的函数表达式. 分析 该问题实际上是求不定积分 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 案例4.3.2 天然气的产产量： 湖 南 对 外 经 济 贸 易 职 业 学 院 Hunan Foreign Economic Relations & Trade College 工程师们发现，一个新开。</p><p>3、目录 上页 下页 返回 结束 二、定积分的分部积分法 第三节 不定积分 一、定积分的换元法 换元积分法 分部积分法 定积分 换元积分法 分部积分法 定积分的换元法和 分部积分法 第五章 目录 上页 下页 返回 结束 一、定积分的换元法 定理1. 设函数单值函数满足: 1) 2) 在上 证: 所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 , 且它们的原函数也存在 . 是的原函数 , 因此有则 则 目录 上页 下页 返回 结束 说明: 1) 当 , 即区间换为定理 1 仍成立 . 2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 . 3) 换元公式也可反过来使用 , 即 或配元 。</p><p>4、下页 上页下页首页 由牛顿莱布尼兹公式，可以通过不定积分来 计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步： 先计算相应的不定积分，然后再运用牛顿莱布尼 兹公式代值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们 希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式 有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法定 积分的换元法和定积分的分部积分法. 上页下页首页 定理 假设 (1) f(x)在a,b上连续； 一、定积分的换元法 (2) 函数x=j(t)在a, b上是单值的且有连续导数； (3) 当t在区间在a, b上变化时, x=j(t)的值在a,b 上变化,且j(a)=a, j(b)=b, 则 设设。</p><p>5、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,1,一 第一换元法-凑微分,凑微分-不换限,2,一、第二换元法-变量代换法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证:,是,的原函数 ,因此有,则,则,或,注： 换元必换限,3,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,4,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,5,例3.,证:,(1) 若,(2) 若,偶倍奇零,6,例4. 设 f (x) 是连续的周期函数, 周期为T, 证明：,解: 方法一：记,则,即,方法二：变量代换法,7,二、定积。</p><p>6、第三节 定积分的换元积分法与分部积分法,解,解,一、定积分的换元法,定理,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,解,解,解,解,解,所以平均值等于,解,令,原式,证,利用函数的对称性,有时可简化计算.,奇函数,奇函数,奇函数,证,(1),证,(2),令,证,(3),令,并计算,解,令,则,两边求导，,即,再求导，得,二、定积分的分部积分法,定理,解,解,计算,解,令,原式,则,解得,与换元法结合.,解,采用分部积分的方法 ,解。</p><p>7、1,5.3 换元积分法和分部积分法,定积分的换元积分法 定积分的分部积分法,2,5.3.1 定积分的换元积分法,定理5.3.1,(1),则有,例,(2),且,3,证,4,5,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,6,例1.,解 设,7,解 设,例2 计算,8,例3 计算,解,设,注意,(2).换元的同时,必须换积分限;,(3).积分后不必还原,只要把新的积分限代入即可.,9,证,例4.证明若,为偶函数,则有,所以,例如,则,10,例5.设 函数,计算,解 设,11,例6 证明,证明,12,注意：,13,求,解 在0,1上，对等式两边积分，有,所以,从而,14,5.3.2 定积分的分部积分法,定积分的分部积分公式,证,定积分的分部。</p><p>8、1,第三节 定积分的换元法和分部积分法,一、换元公式,三、小结 思考题,二、分部积分公式,不定积分,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,2,定理,一、换元公式,3,证,4,5,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,6,例1 计算,解,令,7,例2 计算,解,8,例3 计算,解,原式,9,例4 计算,解,令,原式,10,证,11,12,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,13,证,（1）设,14,（2）设,15,16,推导,二、分部积分公式,17,例8 计。</p><p>9、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例2. 计算,解: 令,则, 原式 =,且,例3。</p><p>10、5.3 定积分的换元法 和分部积分法,一、 定积分的换元法 二、 定积分的分部积分法 三、 小结、作业,微积分基本公式,定积分法，,不定积分法,且使用方法与相应的不定积分法类似。,一、定积分的换元法,我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。,1. 第一类换元积分法（凑微分法）,设函数 在区间 上连续， 那么,例1 计算,解,例2 计算,解,例3 计算,解,例4 计算,解,例5 计算,解,2. 第二类换元积分法,设函数 在区间 上连续 ，函数,满足,注意:,（1）换元前后，上限对上限、下限对下限；,（2）不引入新。</p><p>11、1,5.3 定积分的换元法和分部积分法,一 定积分的换元法,2,3,4,在应用换元公式计算定积分时, 应注意以下几个问题:,5,6,7,8,9,注 利用此结论可简化奇函数及偶函数在对称区间上的 定积分的计算.,10,例5,奇函数,偶函数,四分之一单位圆的面积,11,12,定积分的换元法小结,1. 基本换元规律与不定积分相同.,2. 定积分的换元法得到新变量的原函数后,无须回代. 但必须做到换元同时换限.,13,二 定积分的分部积分法,14,注 用分部积分法计算定积分,因没有引入新的变量, 故在计算过程中自始至终均不变限,u 、v的选择 与不定积分的分部积分法相同.,15,16,17。</p><p>12、第三节 定积分的换元法和分部积分法,（一）,一、换元公式,二、小结 思考题,【定理】,一、换元公式,【证】,【应用换元公式时应注意】,(1),(2),三换,换积分限上限对上限，下限对下限.,换被积函数,换微分,【例1】计算,【解】,令,【例2】计算,【解】,容易犯错误,【例3】计算,【解】,原式,【例4 】计算,【解】,令,原式,【证】,奇函数,【例6】计算,【解】,原式,偶函数,单位圆的面积,上连续，证明,【证】,（1）设,【例7】若,在,.,并由此计算,（2）设,【教材例7】,设函数,【解】,换元 令,于是,【总结】,定积分的证明题一般用到积分区间的分割性质。</p><p>13、1,5.3 换元积分法和分部积分法,定积分的换元积分法 定积分的分部积分法,2,5.3.1 定积分的换元积分法,定理5.3.1,(1),则有,例,(2),且,3,例1.,解 设,4,解 设,例2 计算,5,例3 计算,解,设,注意,(2).换元的同时,必须换积分限;,(3).积分后不必还原,只要把新的积分限代入即可.,6,证,例4.证明若,为偶函数,则有,所以,例如,则,7,例5.设 函数,计算,解 设,8,5.3.2 定积分的分部积分法,定积分的分部积分公式,证,定积分的分部积分公式的适用范围及使用方法与不定积分类同 .,定理,9,例1. 计算,解,例2. 计算,解 令,10,例3. 计算,解。</p><p>14、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,设函数,所证等式两边被积函数都连续,说明:,1) 当 , 即区间换为,定理 1 仍成立 .,3) 换元公式也可反过来使用 , 即,或配元,配元不换限,例1 计算,解 令,则, 原式 =,且,例2 计算,解 令,则, 原式 =,且,在该题解题过程中，若不写出新变量，则上下限也不要变更：。</p><p>15、第三节 定积分的换元法和分部积分法,一、换元积分法 二、分部积分法,定理5.6 设函数f(x)在区间a,b上连续，若 满足下列条件：,一、换元积分法,上述公式称为定积分的换元积分公式，简称换元公式.,(2)当t在与之间变化时， 的值在区间a,b ，且 连续,则,证明,注意：,(1)定积分的换元法在换元后，积分上、下限也要作相应的变换，即“换元必换限”.,(2)在换元之后，按新的积分变量进行定积分运算，不必再还原为原变量.,(3)新变元的积分限可能，也可能，但一定要求满足 ，即 对应于 ， 对应于 .,例1 求,解,例2 求,解,方法二,例3 求,解,例4 求,例5,。</p><p>16、4 3 换元积分法和分部积分法 课题 换元积分法和分部积分法 目的要求 掌握不定积分的第一类换元法和分部积分法 会用第二类换元法 限于三角置换 幂置换 会查积分表 重点 不定积分的第一类换元法和分部积分法 难点 不。</p><p>17、二、定积分的分部积分法,第三节,不定积分,一、定积分的换元法,换元积分法,分部积分法,定积分,换元积分法,分部积分法,定积分的换元法和,分部积分法,第五章,一、定积分的换元法,定理1. 设函数,单值函数,满足:,1),2) 在,上,证: 所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,是,的原函数 ,因此有,则,则,说明:,1) 当 < , 即区。</p><p>18、第三讲 定积分的换元法和分部积分法,定积分,不定积分,牛-莱公式,换元积分法,分部积分法,?,特点?,定积分的换元法与分部积分法,一、换元法 二、分部积分法,定积分的换元法与分部积分法,一、换元法 二、分部积分法,定理,(1),(2),则有:,定积分换元公式,注,(1),换元过程,三个变化,被积函数,积分元素,积分区间,(2),公式特点,变量不必回代,必须注意积分限。</p>