阶线性微分方程

阶线性微分方程Tag内容描述：<p>1、一、二阶线性微分方程解的结构 第四模块 微积分学的应用 第十三节 二阶常系数线性微分方程 二、二阶常系数线性微分方程的解法 三、应用举例 一、二阶线性微分方程解的结构 二阶微分方程的如下形式 y + p(x)y + q(x)y = f (x) 称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程. f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次 微分方程， 简称二阶线性非齐次方程. 当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程， 简称二阶线性 齐次方程. 方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量 的已知连续函数. 这类方程的特点是：右边是已知 函数或零，。</p><p>2、第四节 一阶线性微分方程教学目的：使学生掌握一阶线性微分方程的解法，了解伯努利方程的解法教学重点：一阶线性微分方程教学过程：一、 一阶线性微分方程方程叫做一阶线性微分方程. 如果Q(x)0 , 则方程称为齐次线性方程, 否则方程称为非齐次线性方程. 方程叫做对应于非齐次线性方程的齐次线性方程. 下列方程各是什么类型方程？(1)是齐次线性方程.(2) 3x2+5x-5y=0y=3x2+5x , 是非齐次线性方程. (3) y+y cos x=e-sin x , 是非齐次线性方程.(4), 不是线性方程.(5)或, 不是线性方程.齐次线性方程的解法: 齐次线性方程是变量可分离方程. 分离。</p><p>3、目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程 第六节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力。</p><p>4、目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程 第六节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 *四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时, 物体处于 平衡状态, 例1. 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上, 力作用下作往复运动, 解: 阻力的大小与运动速度 下拉物体使它离开平衡位置后放开, 若用手向 物体在弹性力与阻 取平衡时物体的位置为坐标原点, 建立坐标系如图. 设时刻 t 物位移为 x(t). (1) 自由振动情况. 弹性恢复力 物体所受的力。</p><p>5、河海大学理学院高等数学 (一) 一阶线性微分方程的标准形式: 此方程称为齐次的. 此方程称为非齐次的. 三、一阶线性微分方程 例如 线性的; 非线性的. 河海大学理学院高等数学 齐次方程的通解为 1. 线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法) 河海大学理学院高等数学 常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 设想 是非齐次方程的解 则则 积分得 河海大学理学院高等数学 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对应齐次方程通解非齐次方程特解 非齐次微分方程的通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 河海大学理学院高等。</p><p>6、第二讲 高阶和线性微分方程 及其微分方程的应用 方法: 1可降阶的二阶方程 (1) 不显含因变量的二阶方程: 令 , 则 , 代入方程得 (2) 不显含自变量的二阶方程 : 方法: 令 , 则 , 代入方程得 例1 求解 解 不显含因变量 y 的方程 令 , 则 , 代入方程得 (齐次型方程) 令 , 则 , 代入方程得 通解 由 由 所以 例2求解 解 不显含自变量 x 的方程 令 , 则 , 代入方程得 由 p = 0 不是问题的解 积分得 由 令 所以特解: 2二阶线性微分方程 例3 (练习二/七)求 的通解 解 特征方程: 特征根: 齐次方程的通解: 设非齐次方程的解为: 代入方程确定 非齐次方。</p><p>7、一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节 一、一阶线性微分方程 二、伯努利方程 第七章 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解 齐次方程通解非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法: 则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 解方程 解: 先解即 积分得即 用常数变易法求特解. 令 则 代入非齐次方程得 解得 故。</p><p>8、目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程 第四节 一、一阶线性微分方程 *二、伯努利方程(简单介绍) 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、一阶线性微分方程 一阶线性微分方程标准形式: 若 Q(x) 0, 若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 . 1. 解齐次方程 分离变量 两边积分得 故通解为 称为齐次方程 ; 目录 上页 下页 返回 结束 对应齐次方程通解 齐次方程通解非齐次方程特解 2. 解非齐次方程 用常数变易法:则 故原方程的通解 即 即 作变换 两端积分得 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 解方程 解: 先解即 积分得即 用常数变易法求特解. 则 代入非齐。</p><p>9、第十二章 高阶线性微分方程解的结构 第七节 二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构 一、线性微分方程的定义 第十二章 第十二章 二阶线性齐次微分方程 二阶线性非齐次微分方程 n阶线性微分方程 一、二阶线性微分方程 复习: 一阶线性方程 通解: 非齐次方程特解 齐次方程通解Y 第十二章 证毕 二、线性齐次方程解的结构 是二阶线性齐次方程 的两个解, 也是该方程的解. 证:代入方程左边, 得 (叠加原理) 定理1. 第十二章 说明: 不一定是所给二阶方程的通解 . 例如,是某二阶齐次方程的解, 也是齐次方程的解 并不是通解 但是 则 为。</p><p>10、一、二阶线性微分方程解的结构,第七章 微 分 方 程,第四节 二阶常系数线性微分方程,二、二阶常系数线性微分方程的解法,三、应用举例,一、二阶线性微分方程解的结构,二阶微分方程的如下形式,y + p(x)y + q(x)y = f (x),称为二阶线性微分方程，简称二阶线性方程.,f (x) 称为自由项，当 f (x) 0 时，称为二阶线性非齐次微分方程，,简称二阶线性非齐次方程.,当 f (x) 恒为 0 时，称为二阶线性齐次微分方程，,简称二阶线性齐次方程.,方程中 p(x)、 q(x) 和 f (x) 都是自变量的已知连续函数.,这类方程的特点是：右边是已知函数或零，左边每一项。</p><p>11、一阶线性微分方程,第四节,一、一阶线性微分方程,*二、伯努利方程,第七章,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例1. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,*二、伯努利 ( Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 。</p><p>12、1,(1) 可分离变量的微分方程,解法,分离变量法,(2) 齐次方程,解法,作变量代换,复习,2,第四节 一阶线性微分方程,一、线性微分方程 二、伯努利方程 三、小结,3,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,一、线性方程,例如,线性的;,非线性的.,4,齐次方程的通解为,1. 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),5,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,6,解法1:公式法,例1,7,解法二：常数变易法,原方程所对应的齐次。</p><p>13、8.5 二阶常系数线性微分方程,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程,考虑到当y、 y、 y为同类函数时 有可能使ypyqy恒等于零 而函数erx具有这种性质 所以猜想erx是方程的解 将yerx代入方程ypyqy0得 (r2prq)erx0 由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程。</p><p>14、6.3.1 二阶线性微分方程解的结构 6.3.2 二阶常系数齐次线性微分方程 的特征根求法 6.3.3 二阶常系数非齐次线性微分方 程的解法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,6.3 二阶线性微分方程的解法,第6章,6.3.1 二阶线性微分方程解的结构,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6章,一、概念的引入,解,受力分析,物体自由振动的微分方程,强迫振动的方程,串联电路的振荡方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,二、二阶线性微分方程的解的结构,1.二阶齐次方程解的结构:,问题:,例如,线性无关,线性相关,特别地。</p><p>15、复习一阶微分方程：,1.可分离变量的微分方程：,形如,分离变量、两边积分,2.齐次微分方程:,形如,作变换,3.一阶线性微分方程:,形如,公式,可降阶的高阶微分方程,1. 型高阶方程的求解 ； 2. 型高阶方程的求解 ； 3. 型高阶方程的求解 。,一、二阶线性微分方程,二、线性微分方程的解的结构,8.4 二阶线性微分方程解的结构,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、二阶线性微分方程举例,二阶线性微分方程,下页,二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf(x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的,二、线性微分方程的解的结构,简要证明,。</p><p>16、第七章 常微分方程,第一节 微分方程的基本概念,第二节 可分离变量的微分方程,第三节 一阶线性微分方程,第五节 二阶常系数线性微分方程,线性微分方程,伯努利方程,第三节 一阶线性微分方程,一、一阶线性微分方程,注意,1）通解中的不定积分不再含有任意常数。,说 明,2）可直接用公式求通解，要牢记。,3）也可以按常系数变易法求通解。,注 意,二、伯努利方程。</p>