连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的运算与初等函数的连续性Tag内容描述：<p>1、第八节 连续函数的运算 及初等函数的连续性 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结 思考题 一、四则运算的连续性 定理1 例如, 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理3 证 将上两步合起来: 意义1.极限符号可以与函数符号互换; 例1 解 例2 解 同理可得 定理4 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. 定理5 基本初等函数在定义域内是连。</p><p>2、第九节 连续函数的运算 与初等函数的连续性 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结 一、四则运算的连续性 定理1 例如, 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理3 证 将上两步合起来: 意义1.极限符号可以与函数符号互换; 例1 解 例2 解 同理可得 定理4 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. (。</p><p>3、第一章 函数与极限 第九节 连续函数的运算与初 等函数的连续性 1 一、四则运算的连续性 还记得函数极限的四则运算吗? 2 定理1 例如，我们已证 3 反函数的连续性反函数的连续性 y = f 1(x) 的图形只是 y = f (x) 的图形绕直线 y = x 翻转 180 而成, 故单调性、连续性仍保持. 从几何上看: x = f 1(y) 与 y = f (x) 的图形相同, 连续性保持. 从而, 单调性、 4 定理2 单调的连续函数必有单调的连续反函数 . 例如, 结论：反三角函数在其定义域内皆连续. 5 x y 1 1 Ox y 1 1 O 例如 6 证 定理3 则 7 在定理3 的条件下, 极限符号可与 连续函数符。</p><p>4、啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。</p><p>5、常用等价无穷小:,设x=x0+Dx 则当Dx0时 xx0 因此,Dy=f(x0+Dx)-f(x0),函数的连续性定义,间断点,复习,可去型,第一类间断点,跳跃型,无穷型,第二类间断点,下页,一、连续函数的和、积及商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1,例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的,首页,二、。</p><p>6、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,一、连续函数的运算法则,1.连续函数的四则运算,定理1 函数(x)与g(x)在x0 处连续,则,都在x0 处连续.,(利用极限的四则运算法则证明),在其定义域内连续,例如,2. 反函数与复合函数的连续性,定理2 设函数 y = (x)在某个区间上单调且连续, 则其反函数y= f -1(x)在相应区间上亦单调且连续.,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,在 1 , 1 上也连续单调递增.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,又如,定理3,例如,是由连续函数链,因此,在,上。</p><p>7、第 九节 连续函数的运算与 初等函数的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,一、四则运算的连续性,三、小结 思考题,一、四则运算的连续性,定理1,例如,二、反函数与复合函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,定理3,证,将上两步合起来:,例1,解,例2,解,同理可得,求,解,请你动手做,定理4,注意 定理4是定理3的特殊情况.,例如,三、初等函数的连续性,三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的.,定理5 基本初等函数在定义域内是连续的.,(均在其定义域。</p><p>8、复习,1. 无穷小的比较, 是 的高阶无穷小, 是 的低阶无穷小, 是 的同阶无穷小, 是 的等价无穷小, 是 的 k 阶无穷小,设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且,常用等价无穷小 :,当 时,求极限的又一种方法, 注意适用条件.,2. 等价无穷小替换定理,连续函数的等价定义,3. 间断点的分类与判别;,2. 区间上的连续函数;,第一类间断点,第二类间断点:,间断点,可去间断点,跳跃间断点,无穷间断点,振荡间断点.,1. 函数在一点连续必须满足的三个条件;,9. 连续函数的运算与初等函数的连续性,学习重点和难点： 利用初等函数的连续性求极限 几个等价无穷小。</p><p>9、一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,一、四则运算的连续性,即连续函数经过四则运算后还是连续的。,即三角函数在其定义域内连续.,二、反函数的连续性,定理2：单调递增（递减）的连续函数必有单调递增（递减）的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内连续.,三、复合函数的连续性,意义：求复合函数 的极限时，如果f 是连续函数，可以把极限符号与函数符号交换。,例1,解：,由此可得,例2,解：,由此可得,证明：,意义：连续函数经过复合运算后还是连续的。,四、初等函数的连续性,。</p><p>10、一、连续函数的和、积及商的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,1.9 连续函数的运算与初等函数的连续性,上页,下页,铃,结束,返回,首页,Company Logo,一、连续函数的和、积及商的连续性,定理1,例1 因为sin x和cos x都在区间(- +)内连续 所以tan x和cot x在它们的定义域内是连续的 三角函数 sin x、cos x、sec x、csc x、tan x、cot x 在其有定义的区间内都是连续的,首页,Company Logo,二、反函数与复合函数的连续性,定理2,如果函数f(x)在区间Ix上单调增加(或减少)且连续 那么它的反函数xf 1(y)在区间Iyy|yf(x) xIx上。</p><p>11、一 连续函数的运算法则一 连续函数的运算法则 第九节第九节 二 初等函数的连续性二 初等函数的连续性 连续函数的运算与 初等函数的连续性 第一章 一 四则运算的连续性一 四则运算的连续性 0 1 0 0 0 处也连续处也连。</p><p>12、第十节 连续函数的运算与性质 分布图示 连续函数的运算 反函数的连续性 复合函数的连续性 例1 例2 例3 例4 初等函数的连续性 例5 幂指函数 例6 最大值和最小值定理 零点定理与介值定理 例7 例8 例9 一致连续的概念。</p><p>13、1，第9节连续函数的运算，运算1和4的连续性，反函数和复合函数的连续性，初等函数的连续性，初等函数的连续性，2，连续函数的四个运算的连续性，定理1，例如(在前一节中已证明)，由函数“点连续性”定义结论三角函数在其域中是连续的。如果f (x)和g (x)在点x0处是连续的，那么f (x) g (x)、f(x)g(x)和f (x)/g (x) g (x0) 0在点x0处也是连续的。结论反三角函数在其域。</p><p>14、2020/8/7,1,三 初等函数的连续性,第九节,一 四则运算的连续性,二 反函数与复合函数的连续性,四 小结与思考判断题,连续函数的运算与初等函数,的连续性,2020/8/7,2,一 连续函数的和、差、积商的四则运算的 连续性,定理1,例如,2020/8/7,3,二 反函数与复合函数的连续性,定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.,例如,反三角函数在其定义域内皆连续.,202。</p><p>15、1,第九节 连续函数的运算,一、四则运算的连续性,二、反函数与复合函数的连续性,三、初等函数的连续性,四、小结 思考题,与初等函数的连续性,2,一、连续函数的四则运算的连续性,【定理1】,例 如 ,（上节已证）,由函数“点连续”的定义和极限四则运算法则，立得:,【推广】,有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。,【结论】三角函数在其定义域内连续.,若f(x) , g(x)在点x0处连。</p>