微分中值定理与导数的应用

微分中值定理与导数的应用Tag内容描述：<p>1、蚃袃聿莆蕿袂膁腿蒅袂袁莅莁羁羃膇虿羀肆莃薅罿膈膆蒁羈羈莁蒇羇肀芄螆羆膂葿蚂羆芄节薈羅羄蒈蒄薁肆芀莀蚀腿蒆蚈虿袈艿薄虿肁蒄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅蚆羅莅蚁蚅肇膈薇蚄膀莄蒃螃衿膆荿螃羂莂蚇螂膄膅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅蝿肈葿莁螈膀芁蚀螇袀蒇薆袇羂芀蒂袆肅蒅莈袅芇芈螇袄羇膁蚃袃聿莆蕿袂膁腿蒅袂袁莅莁羁羃膇虿羀肆莃薅罿膈膆蒁羈羈莁蒇羇肀芄螆羆膂葿蚂羆芄节薈羅羄蒈蒄薁肆芀莀蚀腿蒆蚈虿袈艿薄虿肁蒄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅蚆羅莅蚁蚅肇膈薇蚄膀莄蒃螃衿膆荿螃羂莂蚇螂膄膅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅蝿肈葿莁螈膀芁蚀螇袀蒇薆袇羂芀蒂袆肅蒅莈袅。</p><p>2、7导数在经济中的应用 常用的几个经济函数介绍 1 需求函数（销量函数） 2 成本C(Q)（Q产量） C(Q)=固定成本可变成本 3收益函数R(Q) R(Q)=Qp 4 利润函数L(Q) L(Q)=R-C Q(p) (p是价格) 1 例1 设某商品进价3元(件),零售价为4元(件) 时能销出400件，若售价每降低0.05元(件)可 多售出40件，求利润函数L 解：设Q为销量，p为价格 由题意知Q与p是线性关系， 斜率为 所以 Q=-800(p-4)+400=3600-800p 2 一、 边际函数的变化率 定义： 经济含义 3 例如： 边际成本 边际收益 边际利润 例1 ：设某产品的固定成本20000元，每生产一 个产品成本增加100元收。</p><p>3、年 月 日 系级班 学号姓名密封线高数试卷01第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、（ ）2、（ ）3、（ ）4、在区间 -1，1 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A) (B) (C) (D)5、设f (x) 和g (x) 都在x=a处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a处（ ）(A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、（ ）(A) -1,1 (B) 0,1 (C) -2,2 (D) 7、的凹。</p><p>4、第四章 微分中值定理与导数的应用习题134.1 微分中值定理1 填空题（）函数在上使拉格朗日中值定理结论成立的是（）设，则有 3 个实根，分别位于区间中2 选择题（）罗尔定理中的三个条件:在上连续，在内可导，且，是在内至少存在一点，使成立的（ B ） A 必要条件 B充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件（）下列函数在上满足罗尔定理条件的是（ C ）A. B. C. D. （）若在内可导，且是内任意两点，则至少存在一点，使下式成立（ B ）A B 在之间C D 3证明恒等式：证明： 令，则，所以为一常数设，又因为，故 4若函数在内具有二阶导数。</p><p>5、蚃袃聿莆蕿袂膁腿蒅袂袁莅莁羁羃膇虿羀肆莃薅罿膈膆蒁羈羈莁蒇羇肀芄螆羆膂葿蚂羆芄节薈羅羄蒈蒄薁肆芀莀蚀腿蒆蚈虿袈艿薄虿肁蒄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅蚆羅莅蚁蚅肇膈薇蚄膀莄蒃螃衿膆荿螃羂莂蚇螂膄膅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅蝿肈葿莁螈膀芁蚀螇袀蒇薆袇羂芀蒂袆肅蒅莈袅芇芈螇袄羇膁蚃袃聿莆蕿袂膁腿蒅袂袁莅莁羁羃膇虿羀肆莃薅罿膈膆蒁羈羈莁蒇羇肀芄螆羆膂葿蚂羆芄节薈羅羄蒈蒄薁肆芀莀蚀腿蒆蚈虿袈艿薄虿肁蒄薀蚈膃莇蒆蚇芅膀螅蚆羅莅蚁蚅肇膈薇蚄膀莄蒃螃衿膆荿螃羂莂蚇螂膄膅蚃螁芆蒀蕿螀羆芃蒅蝿肈葿莁螈膀芁蚀螇袀蒇薆袇羂芀蒂袆肅蒅莈袅。</p><p>6、题型1.利用极限、函数、导数、积分综合性的使用微分中值定理写出证明题2.根据极限，利用洛比达法则，进行计算3.根据函数，计算导数，求函数的单调性以及极值、最值4.根据函数，进行二阶求导，求函数的凹凸区间以及拐点5.根据函数，利用极限的性质，求渐近线的方程内容一中值定理1.罗尔定理2.拉格朗日中值定理二洛比达法则一些类型（、等）三函数的单调性与极值1.单调性2.极值四函数的凹凸性与拐点1.凹凸性2.拐点五函数的渐近线水平渐近线、垂直渐近线典型例题题型I方程根的证明题型II不等式（或等式）的证明题型III利用导数确定函数的单调。</p><p>7、第三章 微分中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。6、 知道方程近似解的二分法及切线性。教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、。</p><p>8、第三章 微分中值定理与导数的应用本章内容是上一章的延续，主要是利用导数与微分这一方法来分析和研究函数的性质及其图形和各种形态，这一切的理论基础即为在微分学中占有重要地位的几个微分中值定理。在分析、论证过程中，中值定理有着广泛的应用。一、教学目标与基本要求（一）知识1.记住罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的条件和结论；2.记住泰勒公式及其拉格朗日余项的表达式；3.记住ex,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N阶麦克劳林公式；4.知道极限的末定式及其常见的几种类型的求法；5.知道函数的极值点、驻点的定义以及它们。</p><p>9、微分中值定理 与导数的应用,第四章,第一节 微分中值定理,一、 罗尔定理,定理1 (罗尔(Rolle)定理) 如果函数f(x)满足： (1) 在a,b上连续, (2) 在(a,b)内可导, (3) f(a)=f(b), 则至少存在一点(a,b), 使得f()=0,证 因为f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m,(1) 如果M=m, 则f(x)在a,b上恒等于常数M, 因此,对一切x(a,b),都有 f(x)=0.于是定理自然成立.,(2) 若Mm,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0,因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的。</p><p>10、第七节 曲率,规定：,一、弧微分,单调增函数,如图，,弧微分公式,二、曲率及其计算公式,曲率是描述曲线弯曲程度的量。,),),弧段弯曲程度 越大转角越大,转角相同弧段越 短弯曲程度越大,1. 曲率的定义,),),（,定义,曲线C在点M处的曲率,2.曲率的计算公式,由弧微分公式,若曲线方程由参数形式给出,则得曲率计算公式,例1,解,例2,极大值点,唯一,最大值点.,三、曲率圆与曲率半径,定义,例3,解,例4,验证：,如图,在缓冲段上,实际要求,练习：,P175 习题3-7 1. 3. 4。</p><p>11、一、曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向?,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,第五节 曲线的凹凸与拐点,定义,二、曲线凹凸的判定,定理1,例1,解,注意到,三、曲线的拐点及其求法,1、定义,注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.,2、拐点的求法,证,求拐点方法1:,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,方法2:,例3,解,注意:,例4,解,练 习 题。</p><p>12、第六节 函数图形的描绘,一、曲线的渐近线,1.水平渐近线,例如,有两条水平渐近线:,例如,有两条铅直渐近线:,2.铅直渐近线,3.斜渐近线,斜渐近线求法:,例1,解,二、函数图形的描绘,第一步,第二步,第三步,第四步,第五步,例2,解,非奇非偶函数.,列表,不存在,拐点,极小值点,间断点,C(-1, -2)，,E(2, 1) ，,D(1, 6)，,作出函数的图形.,F(3, -2/9) .,B(-2, -3)，,D,曲线有水平渐近线 y = -2和铅直渐近线 x = 0。,A,B,C,D,E,F,不存在,拐点,极小值点,间断点,描点:,A(-3, -26/9)，,例3,解,偶函数, 图形关于y轴对称.,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹。</p><p>13、第三章,微分中值定理与导数的应用,一、函数的极值及其求法,第五节 函数的极值与最大值最小值,定义,函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,注：极值是局部性的概念,极大值不一定比极小值大.,定理1(必要条件),由费马引理可知，,导数等于零的点称为驻点.,对可导函数来讲,极值点必为驻点,但驻点只是极值点的必要条件,不是充分条件.,另一方面, 不可导点也可能是极值点,这就是说,极值点要么是驻点,要么是不可导点,两者必居其一.,我们把驻点和孤立的不可导点统称为极值嫌疑点.,下面给出两个充分条件,用来判别这些嫌疑点。</p><p>14、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三节),微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔( Rolle )定理,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,费马 目录 上页 下页 返回 结束,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,证:,故在 a , b 上取得最大值,M 和最。</p><p>15、中值定理及其应用 2.3.1 中值定理 一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结 思考题,一、罗尔(Rolle)定理,例如,物理解释:,变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.,几何解释:,证,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证,分析:,弦AB方程为,作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理。</p><p>16、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔( Rolle )定理,第一节,二、拉格朗日( Lagrange )中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,第三章,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,费马,证毕,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立,例如,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续。</p><p>17、第三节 泰勒(Taylor)公式,不足:,问题:,1、精确度不高；,2、误差不能估计。,分析:,2.若有相同的切线,3.若弯曲方向相同,近似程度越来越好,1.若在 点相交,N 阶接触,拉格朗日型余项,证明:,说明:,麦克劳林(Maclaurin)公式,此时泰勒公式称为麦克劳林公式.,拉格朗日型余项,皮亚诺型余项,解,近似公式,误差,其误差,解,常用函数的麦克劳林公式,解,解,解,利用泰勒展开式求极限,例6,解,练习：,P143 习题3-3 1. 3. 5. 7. 10。</p><p>18、1,第三讲 微分中值定理与 导数的应用,习题课,内容提要,典型例题,2,一、内容提要,1. 理解罗尔(Rolle) 定理和拉格朗日(Lagrange),2. 了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Tayloy)定理.,3. 理解函数的极值概念,掌握用导数判断函数,定理.,的单调性和求极值的方法.,3,5. 会用洛必达(L,Hospital)法则求不定式的极限.,6. 了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和,曲率半径.,4. 会用导数判断函数图形的凹凸性,会求拐点,会求解最大值和最小值的应用问题.,会描绘函数的图形(包括水平,铅直和斜渐近线).,4,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauch。</p>