无穷小比较-习题讲解.
无穷小量与极限过程分不开。2.4无穷小与无穷大无穷小的比较。定义1.12若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限。为无穷小量.简称无穷小.。唐辉成定义1.12若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限。则称在该变化过程中为无穷小量.简称无穷小.2.4.1无穷小例如。
无穷小比较-习题讲解.Tag内容描述:<p>1、第一章,都是无穷小,第八节,引例 .,但,可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,无穷小的比较,定义.,若,则称 是比 高阶的无穷小,若,若,若,若,或,记作,则称 是比 低阶的无穷小;,则称 是 的同阶无穷小;,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,则称 是 的等价无穷小,记作,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如 , 当,时,又如 ,,故,时,是关于 x 的二阶无穷小,且,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1. 证明: 当,时,证:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理1.,证:,即,即,例如,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理2 . 设,且,存在 。</p><p>2、第六节无穷小的比较无穷小的阶 一 无穷小的比较 二 等价无穷小 三 小结 一 无穷小的比较 例如 观察下列极限 当时 都是无 穷小 不可比 型 极限不同 反映了无穷小趋向于零的速度的 快慢 程度不同 定义 1 如果 设是同一过程中的两个无穷小 且 记作 2 如果 则称是比低阶的无穷小 3 如果 则称与是同阶的无穷小 特殊地 如果 记作 4 如果 例如 因为 与 是等价无穷小 即 是比 高阶的无穷小。</p><p>3、第二章 都是无穷小 第七节 引例 但 可见无穷小趋于0的速度是多样的 机动目录上页下页返回结束 无穷小的比较 定义 若 则称 是比 高阶的无穷小 若 若 若 若 或 记作 则称 是比 低阶的无穷小 则称 是 的同阶无穷小 则。</p><p>4、1 第4节无穷小与无穷大无穷小的比较 一 无穷小二 无穷大三 无穷小的比较 主讲 唐辉成 定义1 12若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限 则称在该变化过程中 为无穷小量 简称无穷小 2 4 1无穷小 例如 当时 是无穷小量 当时 是无穷小量当时 是无穷小量 我们经常用希腊字母 来表示无穷小量 注意 1 无穷小是以零为极限的变量 常数中只有零是无穷小 2 无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的。</p><p>5、2.7 无穷小与无穷大、无穷小的比较,都是,定义2.7.1,的无穷小。,2.7.1无穷小与无穷大,(无穷小),小量,简称无穷小。,则称,如果,为,的无穷,例如,,注意:不要把无穷小量与很小的量混为一谈。,定理2.7.1(极限与无穷小量的关系),证明略。,例如,因为,是无穷小;,因为,无穷小运算法则,时, 有,(1) 有限个无穷小的和还是无穷小 .,证: 考虑两个无穷小的和 .,设,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .,(定理2.7.2),(2) 有界量与无穷小的乘积是无穷小,证: 设,又设,即,当,时。</p><p>6、1.11 无穷小量、无穷大量,一、无穷小量,注意,无穷小是变量,不能与很小的数混淆。,注:无穷小量与极限过程分不开, 不能脱离极限过程谈无穷小量.,例:,是该极限过程中的无穷小量. A为常数.,定理1,证:,当,时,有,二、无穷小量的运算定理,1.有限个无穷小量的代数和为无穷小量.,注: “有限个”不能丢,无限个无穷小量的和不一定是无穷小量.,例如,2.,有界量与无穷小量之积为无穷小量.,例如,3.有限个无穷小量的乘积仍然是无穷小量。,二、无穷大量,注意,1.无穷大量也有正无穷大量和负无穷大量,例如,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未。</p><p>7、2.4 无穷小与无穷大 无穷小的比较,2.4.1 无穷小,2.4.2 无穷大,2.4.3 无穷小的比较,定义1.12 若函数 在自变量 的某个变化过程中以零为极限,则称在该变化过程中, 为无穷小量简称无穷小,2.4.1 无穷小,例如,当 时, , , 是无穷小量;当 时, 是无穷小量 当 时, , 是无穷小量,我们经常用希腊字母 , , 来表示无穷小量,3,注意:,(1)无穷小是以零为极限的变量, 常数中只有零是无穷小,(2)无穷小总是和自变量的变化趋势相关联的, 例如:,当 时, 为无穷小,当 时, 就不是无穷小,定理1.2 函数 以 为极限的充分 必要条件是: 可以表示为 与。</p><p>8、1,第4节无穷小与无穷大无穷小的比较,一、无穷小二、无穷大三、无穷小的比较,主讲:唐辉成,定义1.12若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限,则称在该变化过程中,为无穷小量简称无穷小,2.4.1无穷小,例如,当时。</p><p>9、第4节无穷小与无穷大无穷小的比较 一 无穷小二 无穷大三 无穷小的比较 1 定义1 12若函数在自变量的某个变化过程中以零为极限 则称在该变化过程中 为无穷小量 简称无穷小 2 4 1无穷小 例如 当时 是无穷小量 当时 是无。</p><p>10、一无穷小的比较 第七节无穷小的比较 三小结与思考判断题 二等价无穷小替换 一 无穷小的比较 极限不同 反映了趋向于零的 快慢 程度不同 不可比 观察各极限 定义 解 例1 例2 解 常用等价无穷小 二 等价无穷小替换 定理。</p><p>11、第一章,第七节,无穷小的比较,一、无穷小的比较,二、等价无穷小替换,一、无穷小的比较,例如,极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,例1比较下列各对无穷小,例2,解,例3,例4证明:当,时,证:,证,必要性,充分性,意义:用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,二、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理。</p><p>12、第一章,第七节,无穷小的比较,一、无穷小的比较,二、等价无穷小替换,一、无穷小的比较,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,定义:,例1 比较下列各对无穷小,例2,解,例3,例4 证明: 当,时,证:,证,必要性,充分性,意义:用等价无穷小可给出函数的近似表达式,例如,常用等价无穷小:,二、等价无穷小代换,定理(等价无穷小代换定理),证,设在自变量 x的同一,变化趋势下,,例5,解,若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积,则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换,而不会改变原式的极限,不能滥用等价。</p><p>13、17无穷小的比较,一般,无穷小量的商有下列几种情形.,定义1.设lim(x)=0,lim(x)=0.,则称(x)是比(x)高阶的无穷小量,记作,(x)=o(x),或称(x)是比(x)低阶的无穷小量,则称(x)是比(x)低阶的无穷小量.,则称(x)和(x)是同阶无穷小量,记作,(x)=O(x),则称(x)是(x)的k阶无穷小量.,则称(x)和(x。</p><p>14、应用高等数学(06级融资理财1班),主讲:彭如海教授岭南学院江苏科技大学,第4讲无穷小量的比较,1。5无穷小量与无穷大量1。6无穷小量的比较,第一章函数极限连续1。5无穷小量与无穷大量一、无穷小,1.定义1。12:,极限为零的变量称为无穷小.,例如,注意,1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,意义,1。</p><p>15、一、无穷小,1.定义与形式,说明1)极限为零的变量称为无穷小,常用等表示;,1.5无穷小与无穷大,2)零是可以作为无穷小看待的唯一的数.,例1,2.无穷小与函数极限的关系,证明,当,时,有,附注对自变量的其它变化过程类似可证.,定理1,特殊情形:正无穷大,负无穷大:,注意,不能与很大的数相混淆;,2)无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界量未必是无穷大!,1)无穷大是指绝对值无限增大的变量。</p><p>16、1 无穷小的比较 利用等价无穷小替换求极限 小结思考题作业 第七节无穷小的比较 2 如 不可比 观察各极限 是无穷小 一 无穷小的比较 不存在 极限不同 反映了趋向于零的 快慢 程度不同 3 例考察时 趋于零的快慢 可见最。</p>