线性方程组解的结构

线性方程组解的结构Tag内容描述：<p>1、1 第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 4.3 齐次线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 二、基础解系及其求法 2 第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 本节所考虑的齐次线性方程组为 简记为 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 主要讨论 有非零解的情况。 3 第四章 线性方程组 4.3 齐次线性方程组解的结构 1. 解的性质 证明 (1) 由 有 (2) 由 有 表明 齐次线性方程组解的线性组合仍然是它的解。 一、齐次线性方程组解的性质与解空间 (1) 若 为 的解，也是 的解。则 也是 的解。故 也是 的解。即 (2)。</p><p>2、3.6 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 1解的性质 性质1 (1)的两个解的和还是(1) 的解; 性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解; 性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解 2 基础解系 定义 齐次线性方程组(1)的一组解 1,2,r，若满足 1) 1,2,r线性无关； 2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可 由1,2,r线性表出； 则称1,2,r为齐次线性方程组(1) 的一 个基础解系； 4 基础解系存在性 定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系 所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程 组系数矩阵的秩。 证：若r=n, 方。</p><p>3、Chapter 3(1)Chapter 3(1) 线性方程组的解的结构线性方程组的解的结构 教学要求： 1. 理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及 非齐次线性方程组有解的充要条件; 2. 理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空 间的概念; 3. 理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念. 形如 的方程组,称为n个未知数m个方程的线性方程组. 系数矩阵增广矩阵 常数项向量解向量是列向量 方程组的矩阵形式： 方程组的向量形式： 若方程组有解，则称方程组相容； 若方程组无解，则称方程组不相容； 若方程组有唯一解，则称方程组为确定方程组； 若方程组多于一。</p><p>4、高等院校非数学类本科数学课程 多元微积分学与线性代数 大 学 数 学（三） 第二十一讲 齐次线性方程组解的结构 脚本编写：刘楚中教案制作：刘楚中 第五章 线性方程组 第二节 齐次线性方程组解的结构 本节教学要求： 熟悉齐次线性方程组有非零解的条件。 理解齐次线性方程组解的基本性质和解的结构。 能熟练地求齐次线性方程组的基础解系。 理解矩阵的特征值和特征向量的概念。 能熟练地计算矩阵的特征值和特征向量。 二. 齐次线性方程组有非零解的条件 第二节 齐次线性方程组解的结构 一. 齐次线性方程组解的基本性质 三. 齐次线性方程组。</p><p>5、第四讲 齐次线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的性质 二、齐次线性方程组基础解系及其求法 第四章 向量组的线性相关性 1 一、齐次线性方程组解的性质 1.回忆：线性方程组解的理论 若 , 则方程组有无穷解 . 若 ,则方程组有唯一解, 其中， 充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)n. 元齐次线性方程组 Amn x=0 有非零解的 (2)n 充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)=n. 元齐次线性方程组 Amn x=0 只有零解的n 2 2.解向量的概念 设有齐次线性方程组 若记 （1） 3 则上述方程组可写成向量方程 若为方程 的解， 则 称为方程组（1）的解向量，它也就是。</p><p>6、设有非齐次线性方程组,（51）,4.5 非齐次线性方程组解的结构,证明,非齐次线性方程组解的性质,一、非齐次线性方程组解的性质,证明,证毕,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,证毕.,二、非齐次线性方程组解的结构,解,例 求下述方程组的解,所以方程组有无穷多解.,且原方程组等价于方程组,求基础解系,令,依次得,求特解,所以方程组的通解为,故得基础解系,另一种解法,则原方程组等价于方程组,所以方程组的通解为,三、直线、平面的相对位置。</p><p>7、第3章 线性方程组,二、齐次线性方程组解的结构,三、非齐次线性方程组解的结构,下页,一、线性方程组的一般表示形式,高斯消元法与矩阵的初等行变换,基本概念,1.1 线性方程组的一般表示形式,含有m个方程n个未知量的线性方程组一般形式为,若b=(b1, b2, bm)o ，则称(1)为非齐次线性方程组； 若b=(b1, b2, bm)o ，即,(2),则称(2)为齐次线性方程组, 或(1) 的导出组.,下页,第1节 高斯消元法,(1),代数方程,可用矩阵形式表示为 AX= b ,对应齐次方程组(2)可用矩阵形式表示为 AX=o.,其中，,下页,含有m个方程n个未知量的线性方程组,(1),矩阵方程,可用向。</p><p>8、一、向量空间的基与维数,定义10 设 是向量空间，如果 个向量 ，且满足, 4.4 齐次线性方程组解的结构,（1）只含有零向量的向量空间称为0维向量空间，因此它没有基,说明,（3）若向量组 是向量空间 的一 个基，则 可表示为,（2）若把向量空间 看作向量组，那末 的基 就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的 秩.,解向量的概念,设有齐次线性方程组,若记,（1）,二、齐次线性方程组的解空间,则上述方程组（1）可写成向量方程,若,称为方程组(1) 的解向量，它也就是向量方程 (2)的解,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，。</p><p>9、1-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.3 非齐次线性方程组解的结构,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程组解的存在性定理,-2-,4.1 线性方程组解的存在性定理,在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求解问题，本章将在整理前面知识点的同时， 深入研究解的性质和解的结构。,-3-,(4-1),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),-4-,非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,(4-1),向量 可由A的列向量组,线性表示。,-5-,的系数行列式,Cramer法则,则方程组有唯一解,且解为:,(4-2),-6-,齐次方程。</p><p>10、1-,第四章,线性方程组的解的结构,4.4 线性方程组在几何中的应用,4.3 非齐次线性方程组解的结构,4.2 齐次线性方程组解的结构,4.1 线性方程组解的存在性定理,-2-,4.1 线性方程组解的存在性定理,在前面的章节学习中，我们已经研究的关于线性 方程组的求和存在性问题，本章将在整理前面知识点的同时，深入研究解的性质和解的结构。,-3-,(4-1),(矩阵形式),(向量形式),(原始形式),-4-,非齐次方程组解的存在性定理,对于非齐次方程组,(4-1),向量 可由A的列向量组,线性表示。,-5-,的系数行列式,Cramer法则,则方程组有唯一解,且解为:,(4-2),-6-,齐次。</p><p>11、3.6线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,二、一般线性方程组解的结构,一、齐次线性方程组解的结构,（1）,1解的性质,性质1 （1）的两个解的和还是（1）的解；,性质2 （1）的一个解的倍数还是（1）的解；,性质3 （1）的解的任一线性组合还是（1）的解,则称 为（1）的一个基础解系,2 解空间,定义 设W为齐次线性方程组（1）的全体向量，则,即W关于解的线性运算封闭，所以W 是一个向量空间称之为齐次线性方程组（1）的解空间,3 基础解系,2)（1）的任一解向量 可由线性表出,1) 线性无关；,定义 齐次线性方程组（1）的一组解 ，若满足。</p><p>12、2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 解向量的概念解向量的概念 设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组 =+ =+ =+ =+ = =+ + + + 0 0 0 2211 2222121 1212111 nmnmm nn nn xaxaxa xaxaxa xaxaxa ? ? ? ? 若记若记 （5.1） 一、齐次线性方程组解的性质一、齐次线性方程组解的性质 5 5 5 5 线性方程组有解的结构定理线性方程组有解的结构定理线性方程组有解的结构定理线性方程组有解的结构定理 2008年年10月月9日星期四日星期四 数学科学学院数学科学学院徐鑫徐鑫 , aaa aaa aaa A mnmm n n = = ? ? ? ? 21 22。</p><p>13、第4章 向量组与线性方程组的解的结构,4.1向量组及其线性组合,4.2向量组的线性相关性,4.3向量组的秩,4.4 线性方程组的解的结构,即 矩阵,4.1向量组及其线性组合,4.1.1,维向量的概念,1 维向量的定义,个有次序的数,维向量，这,个数称为该向量的分量，第,个数,称为第,个分量（或第,个坐标）,行向量,列向量,即 矩阵,2零向量,3负向量,4向量的相等,5向量组,同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合称 为向量组,4.1.2,维向量的线性运算,1加法与数乘,为任意实 数，则,2加法与数乘的运算规律（略）,注:利用向量的运算,对于方程组,则,4.1.3 向。</p><p>14、第四节 线性方程组的解的结构,一、齐次线性方程组解的性质,二、基础解系及其求法,三、非齐次线性方程组解的性质,解向量的概念,设有齐次线性方程组,（1）,一、齐次线性方程组解的性质,则上述方程组（1）可写成矩阵方程,若,称为方程组(1) 的,解向量，它也就是矩阵方程(2)的解,若记,齐次线性方程组解的性质,证明,（2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解,证明,基础解系的定义,二、基础解系及其求法,基础解系就是齐次线性方程组的解集的最大无关组.,定理7,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,例2 解线性方程组,解,对系数矩阵施 。</p>