性代数第五章

性代数第五章Tag内容描述：<p>1、代数系统的概念 运算及其性质 半群 群与子群 阿贝尔群和循环群 陪集与拉格朗日定理 同态与同构 环与域 第五章代数结构 教学重点 代数系统概念 运算及性质 群与子群 循环群 陪集与拉格朗日定理的概念 教学难点 陪集。</p><p>2、1,5代数运算,2,5.l引言,代数运算是指对两幅输入图象进行点对点的加、减、乘或除计算而得到输出图象的运算。对于相加和相乘的情形，可能不止有两幅图象参加运算。在一般情况下，输入图象之一可能为常数。然而，加、减、乘、除一个常数可按线性的点运算来对待（见第4章）；当两幅输入图象完全相同时，也如此。,3,5.l.l定义,假设输入图象为f(x,y)、h(x,y)，输出图象为g(x,y)，四种图象处理代数。</p><p>3、5.2 相似矩阵和相似矩阵的性质,则称矩阵 A与矩阵 B相似，记作 AB.,1、相似矩阵的定义,定义 设 A , B 为 n 阶方阵, 若存在n 阶可逆矩阵P，,使,P-1AP = B ,而矩阵 B 相似于矩阵 C , 则矩阵 A 相似于矩阵 C.,(1) 反身性: 一个矩阵与它自身相似;,(2) 对称性: 若矩阵 A 相似于矩阵 B ,则矩阵 B 也相似于矩阵 A;,(3) 传递性: 若矩阵 A 相似于矩阵 B ,具有下面的性质:,性质 若 与 相似，则,（1） 与 有相同的特征多项式、特征值和迹；,（2）,（3）,（4） 与 也相似，其中 为正整数.,2、相似矩阵的性质,且方阵多项式,即,（5）,（6） 若A可逆，则,。</p><p>4、定义 设有 n 维实向量,称a1 b1 + a2 b2 + + an bn,为向量与 的内积，,内积具有下列性质:,（, ）,注:,=a1 b1 + a2 b2 + + an bn,记为(, ).,1（, ）,= (, )；,2（k, ）,= k(, )；,3,4,实对称矩阵的对角化,1、正交向量组,（1）向量内积的定义和性质,设 , 为 n 维(实)向量，k 为实数，则有,= T =T.,为 n 维向量 的长度或模，记为,向量的长度具有的性质：,向量的长度定义和性质,定义 对任意向量,称,长度为1的向量称为单位向量。,若向量 0 , 则,是单位向量 。（单位化）,向量的夹角：,向量, 的夹角为满足条件,的角度，记为,性质 当且仅当（, ）=。</p><p>5、特征值与特征向量,5.1 矩阵的特征值与特征向量,定义 设 A 是 n 阶方阵, 若存在数 和 n 维的非零列,向量 , 使得,A = ,成立，,则称 是矩阵 A 的特征值，非零列向量称为矩阵,A 的属于特征值 的特征向量。,注：,(1) 特征向量 0，特征值问题是对方阵而言的。,称为方阵 A 的特征方程, E- A称为特征矩阵.,（2）| E- A | = 0，,即,(3) | E -A|,称为方阵 A 的特征多项式.,(4) n 阶方阵 A 有 n 个特征值。,矩阵的特征值与特征向量性质,（1）若 是方阵A的属于特征值 的特征向量，则,k (k 0为任意常数)也是A的属于 的特征向量 。,（2）如果1 , 2 是矩。</p><p>6、定义,矩阵.,正交矩阵,正交矩阵的性质 : 若A 为正交矩阵, 则,列 (行)向量组是Rn的一组标准正交基.,定理：n阶实方阵 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的,AT = A-1 ;, A可逆，|A| = 或 -1;, AT, A-1, A*也是正交矩阵；, 若干个正交矩阵的乘积也是正交矩阵。,设A为n 阶实矩阵, 如果ATA = E, 则称A 为正交,实对称矩阵对角化的步骤：,n1, n2, , ns., 求出矩阵 A 的所有特征值，设 A有 s 个不同的,特征值 1 , 2 , , s ，它们的重数为, 对 A 的每个特征值 i , 求(i E-A)X=0,的基础解系,( i = 1, 2, , s).,并把它们正交化、单位化，记为, 构造矩阵,则 T。</p><p>7、第五章格与布尔代数 在上一章中介绍了几种代数系统 如半群 群 环 域等 在本章中将再介绍两种代数系统 格和布尔代数 关于格和布尔代数在计算机科学中的应用是众所周知的 第一节格1 1格的定义1 2格中的性质1 3分配格1。</p><p>8、第五章 相似矩阵及二次型 1 向量的内积 长度及正交性 在这一章中 我们主要讨论方阵的相似对角化和二次型的化简的问题 其中会用到向量的内积 特征值和特征向量的概念 我们在这一节中介绍向量的内积的概念 一 内积 长度和夹角 在平面解析几何里 我们有向量的长度 夹角的概念 我们希望在向量空间中也能够定义长度 夹角的概念 通过引入向量的内积的概念 我们就能够利用内积来定义向量空间中的向量的长度和夹角概念。</p><p>9、第五章 共轭梯度法程序 function output k congra A b x0 共轭梯度法 eps 1e 32 fprintf 共轭梯度法 epslon f n eps x x0 r b A x k 0 del norm r 2 while deleps k k 1 fprintf 第 4d次迭代 del norm r 2 为 f n k。</p><p>10、问题的提出,主要内容,二次型的概念,主要结论,第五节二次型及其标准形,合同矩阵,举例,在解析几何中,为了便于研究二次曲线,把方程化为标准形,的几何性质,我们可以选择适当的坐标旋转变换,ax2+bxy+cy2=1(1),一、问题的。</p><p>11、向量空间 定义 基和维数 子空间 内积和标准正交基 向量空间的定义 表示 V是数域P上n元向量的一个非空集合 若对V中向量的加法和数乘仍在V中 运算封闭 且满足运算规律 则V为数域P上的一个向量空间 P上n元向量的全体 称。</p><p>12、释 疑 解 难,1. 设 A = (aij)nn 是 n 阶方阵, 如何判定 A 是 正交矩阵? 答 当 A 满足下列条件之一时, A 是正交矩阵. (1) A 对称, 且 A2 = E.,(2),或者,(3) A 的行(列)向量组是 Rn 的一组规范正交基.,2. 设 a1 , a2 , , an 是线性无关向量组, 与之 等价的正交向量组是否唯一? 答 一般不唯一. 这是因为在正交化过程中, 由于第一步中 b1 的取法不同, 由此求出的与 a1 , a2 , , an 等价的正交向量组 b1 , b2 , , bn 可能 会不同.,3. 如何求方阵 A 的特征值和特征向量? 答 特征值的求法: 解特征方程 | A - E | = 0 就可以求出矩阵 A 的特征值. 。</p><p>13、第五章第五章 小结小结 Zh a n g l i z h u o 2015 2 第五章第五章 矩阵的特征值与特征向量矩阵的特征值与特征向量 5 1 方阵的特征值和特征向量方阵的特征值和特征向量 5 2 相似矩阵与相似矩阵与矩阵可对角化条件矩。</p><p>14、第五章矩阵代数数值计算 一 矩阵的基本运算二 矩阵的三角分解三 矩阵的正交变换四 矩阵的谱分解五 IMSL中的线性系统 特征值分析模块 矩阵代数运算是统计模型的基础 统计模型的所有估计几乎都是用矩阵代数运算计算出。</p><p>15、线性代数电子教案,第五章,第五章相似矩阵及二次型,5.1向量的内积、长度与正交性,5.1向量的内积、长度与正交性,一.Rn中向量的内积,长度和夹角,1.设=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T,记为,即,注意：虽然内积是两个向量之间的运算，但计算结果是实数,第五章相似矩阵及二次型,2.内积的基本性质,对称性:,=,;,(2)线性性:k1。</p><p>16、第三编代数系统，代数历史悠久，早期代数研究对象具体，以方程根的求解和分布为研究中心。 但自20世纪初以来，代数的研究对象和研究方法发生了很大变化，形成了抽象代数学。 这一变化可以追溯到19世纪30年代法国数学家伽罗瓦(Galois )提出的群体概念，证明了四次以上一般代数方程的不可理解性，确立了具体数字系统代数方程不能用根解的判别标准和根解的数字系统代数方程的实例。 抽象代数学与以代数方程的根和根。</p>