隐函数的求导

隐函数的求导Tag内容描述：<p>1、2.3隐函数的导数和高阶导数 主要任务：熟练掌握隐函数求法，主要任务：熟练掌握隐函数求法， 了解高阶导数的概念，熟练掌握初了解高阶导数的概念，熟练掌握初 等函数的高阶导数的求法等函数的高阶导数的求法. . 2.3隐函数的导数和高阶导数 重点：掌握隐函数求导法及高阶导数求法重点：掌握隐函数求导法及高阶导数求法 难点：掌握隐函数求导难点：掌握隐函数求导 2.3隐函数的导数和高阶导数 2.3.1 隐函数的导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 2.3隐函数的导数和高阶导数 例1 解 解得 2.3隐函数的导数和高阶导。</p><p>2、第五节 隐函数和参数式函数的导数 一、隐函数的导数 二、对数求导法 三、参数式函数的导数 *四、相关变化率 五、小结 思考题 一、隐函数的导数 定义: 叫隐函数的显化. 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 隐函数求导法则: 用复合函数求导法则直接对方程两边对x求导. 例1 解 解得 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点. 练习1 解 练习2 解 二、对数求导法 观察函数 求导方法 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. -对数求导法 适用范围: 例4 解 等式两边取绝对值后再取对数得 例5 解等式两边取对数得 一般地 三、参。</p><p>3、Beijing Jiaotong Vocational Technical College 2.4 隐函数的导数 知 识 点 u 隐函数的导数 重 点 u 隐函数的求导法 Beijing Jiaotong Vocational Technical College 一、隐函数求导 用解析法表示函数时通常有两种形式: 一、把函数y直接表示成自变量x的函数y=f(x)， 称为显函数； 二、 用方程F(x,y)=0来表示函数y与自变量x的 关系，即y与x的函数关系隐含在方程中。我们称 这种由未解出因变量的方程F(x,y)=0所确定的y 与x之间的函数关系为隐数. Beijing Jiaotong Vocational Technical College Beijing Jiaotong Vocational Technical Col。</p><p>4、一、一个方程的情形 隐函数的求导公式 解令 则 解令 则 思路 ： 解令 则 整理得 整理得 整理得 1、二元函数极值的定义 2、多元函数取得极值的条件 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零 的点，均称为函数的驻点. 驻点极值点 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ 注意 ： 解 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内 外，并无其他条件. 条件极值：对自变量有附加条件的极值 解 则 多元函数的极值 拉格朗日乘数法 （取得极值的必要条件、充分条件） 四、小结 思考题 思考题解答。</p><p>5、第九章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,C 0 时, 能确定隐函数,C 0 时, 不能确定隐函数,2) 方程能确定隐函数时,研究其连续性,可微性及求导方法问题.,本节讨论:,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,什么是隐函数？,显函数:,隐函数:,二元方程,一元隐函数,如,有时可以将隐函数显化：,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,。</p><p>6、四、隐函数的导数 对数求导法 由参数方程所确定函数的导数,隐函数的导数 对数求导法由参数 方程所确定函数的导数,1、隐函数的导数 P78,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,例1 1),解,解得,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,2)设 y=y(x) 由方程 ey =xe f(y) 确定, f 二阶可导, f 1, 求 y.,解 方程两边对x求导: ey y = e f(y) + x e f(y) f (y) y,故,3) 函数y=y(x)由方程,所确定,求,解：,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,例3,解,2、对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后。</p><p>7、1,一个方程的情形,方程组的情形,小结,( implicit function ),第五节 隐函数的求导公式,第八章 多元函数微分法及其应用,2,隐函数在实际问题中是常见的.,平面曲线方程,空间曲面方程,空间曲线方程,下面讨论如何由隐函数方程,如,求偏导数.,3,在一元函数微分学中,现在利用复合函数的链导法给出隐函数(1),的求导法.,并指出:,曾介绍过隐函数,的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.,一、一个方程的情形,4,隐函数存在定理1,设二元函数,的某一邻域内满足:,在点,则方程,的某一邻域内,并有,(1) 具有连续偏导数;,它满足条件,在点,隐函数的求导公式,(2),。</p><p>8、三、小结 思考题,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,9.5 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,定理证明从略，仅就求导公式推导如下：,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,(隐函数求导公式),【解】,令,则,【方法】(1)公式法；(2)推导法(直接法：两边对x求导),（推导法略）,【说明】,(1)公式法：求偏导数时各自变量地位等同,(2)推导法（直接法）：两边同时对自变量 x 求 偏导，注意此时 y 是函数 ， x 是自变量 , 此时切记 y = y(x).遇到 y 要先对 y 求导，再乘以 y 对 x 的导数.,即对 x 求偏导，y 要视为常数.反之亦然.,。</p><p>9、1. 二元函数,在原点处( ),A连续，偏导数存在 B不连续，偏导数存在 C偏导数存在且可微 D不连续，偏导数也不存在,B,D,8.5 隐函数的求导法则,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,本节讨论:,一、一个方程所确定的隐函数及其导数,定理1. 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在点,的某一邻域内满足,满足条件,导数,两边对 x 求导,在,的某邻域内,则,若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续,。</p><p>10、1,已知,解:,测试题,2,第九章,多元函数微分法,及其应用,第一节 多元函数的基本概念,第二节 偏导数,第三节 全微分,第四节 多元复合函数的求导法则,第五节 隐函数的求导公式,第六节 多元函数微分学的几何应用,第七节 方向导数与梯度,第八节 多元函数的极值及其求法,3,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,学习了多元函数、偏导数的概念和多元复合,函数的求导法后，,一般求导公式。,就能给出隐函数的求导定理及,当 时,能确定隐函数;,当 时,不能确定隐。</p><p>11、2019年5月22日星期三,1,第五节 隐函数的求导公式,第七章,(Derivation of Implicit Function),一、一个方程的情形,二、方程组的情形,三、小结与思考练习,2019年5月22日星期三,2,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,2019年5月22日星期三,3,一、一个方程的情形,定理1 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导。</p><p>12、2019年6月5日星期三,1,第五节 隐函数的求导公式,第七章,(Derivation of Implicit Function),一、一个方程的情形,二、方程组的情形,三、小结与思考练习,2019年6月5日星期三,2,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,2019年6月5日星期三,3,一、一个方程的情形,定理1 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,。</p><p>13、第八章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,一、一个方程的情形,隐函数的求导公式,解,令,则,解,令,则,解,令,则,思路：,整理得,解,令,则,整理得,整理得,雅可比(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,阿贝儿相互独立,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,微积分,中.,他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方,程,在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 .,他,大学任教18年, 形成了。</p><p>14、隐函数的求导法则,一、一个方程的情形,解,令,则,解,令,则,解,令,则,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,二、方程组的情形,1、对于方程组,怎样求偏导数,首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数,当 x 给定以后相当于解含关于 y , z 的方程组,如果有解且唯一则对于不同的 x 就完全确定了y , z,故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x),若,则,怎样求,两边对 x 求导,注意左边是复合函数（三个中间变量），,同理,2、,解1,直接代入公式；,解2,运用公式推导的方法，,将所给方程的两边对 求导并移项,将所给方程的两边对 y 求导，用同样方。</p><p>15、解:,二元线性代数方程组解的公式,雅可比(1804 1851),德国数学家.,他在数学方面最主要,的成就是和挪威数学家阿贝儿相互独,地奠定了椭圆函数论的基础.,他对行列,式理论也作了奠基性的工作.,在偏微分,方程的研究中引进了“雅可比行列式”,并应用在微积分,中.,他的工作还包括代数学, 变分法, 复变函数和微分方,程,在分析力学, 动力学及数学物理方面也有贡献 .,他,在柯尼斯堡大学任教18年, 形成了以他为首的学派.,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才。</p><p>16、2019/6/15,1,第五节 隐函数的求导公式,第九章,(Derivation of Implicit Function),一、一个方程的情形,二、方程组的情形,三、小结与思考练习,2019/6/15,2,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,2019/6/15,3,一、一个方程的情形,定理1 设函数,则方程,单值连续函数 y = f (x) ,并有连续,(隐函数求导公式),定理证明从略，仅就求导公式推导如下：, 具有连续的偏导数;,的某邻域内可唯一确定一个,在。</p><p>17、隐函数和参数方程求导,张世涛,相关变化率,三、相关变化率,一、隐函数的导数,二、由参数方程确定的函数的导数,主要内容：,一、隐函数的导数,隐函数的显化,问题：隐函数不易显化或不能显化时如何求导?,隐函数求导法,注意： 视 y=y(x) , 应用复合函数的求导法直接对方程 F(x, y)=0 两边求导，然后解出 y 即得隐函数的导数.,两边对 x 求导,(含导数 的方程),若 确定了隐函数 ，怎样求y ？,例1,解,解得,例2,解,于是，所求切线方程为,练习,例3,解,设,由方程,确定 ,解:,方程两边对 x 求导,得,再求导, 得,当,时,故由 得,，再代入 得,求,练习,对数求。</p><p>18、3.4 隐函数的求导及高阶导数,3.4.1. 隐函数的导数 3.4.2 对数求导法 3.4.3. 高阶导数,3.4.1 隐函数的导数,例,解,将方程两边同时对x求导,得,求导时要用复合函数求导法,注意：x 是自变量，y 是x的函数,例,解,将方程两边对x求导,得,解出,得,例,解,切线方程,法线方程,通过原点.,作为隐函数求导法的一个简单应用, 介绍对数求导法，它可以利用对数性质使某些函数的求导变得更为简单.,方法：先在方程两边取对数，然后利用隐函数的求导法求出导数.,3.4.2 对数求导法,例,解,等式两边取对数得,隐函数,例,解,等式两边取对数得,例,两边取对数,两边对x。</p><p>19、第八章,第五节,一、一个方程所确定的隐函数 及其导数,二、方程组所确定的隐函数组 及其导数,隐函数的求导方法,本节讨论 :,1) 方程在什么条件下才能确定隐函数 .,例如, 方程,当 C 0 时, 能确定隐函数;,当 C 0 时, 不能确定隐函数;,2) 在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性,及求导方法问题 .,定义1,在上册介绍的隐函数的概念,它是由一个二元方程,在满足某些条件时所确定的函数y=y(x)或x=x( y),内满足:对任意x(a, b),都存在唯一的y( c, d )使(x, y),是方程(1)的解,则称在D内方程(1)确定了一个隐函数,此函数满足,我们也可类似定义隐函数。</p><p>20、第五节 隐函数的求导公式,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,一、一个方程的情形,引例:已知 确定 , 求,一般地 , 可确定可导函数 , 如何求导?,隐函数的求导公式,解,令,则,前述引例:,就可确定可导函数 , 且,解,法一,则,令,法二 方程两边对x求导,视y为x的函数:,解,2. 推广到三元以上,解法一：用公式法,解法二：两边同时对 x (或 y )求偏导,解法三：用全微分形式不变性,思路：,解,令,则,整理得,整理得,整理得,3. 求隐函数的高阶偏导数,求隐函数的二阶偏导数常用方法有两种：,二、方程组的情形,解1,直接代入公式.,解2,运用公式推导的方法.,。</p>