无锡市江阴市青阳片2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

2016年江苏省无锡市江阴市青阳片九年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内） 1计算 的值为（ ） A 4 B 2 C 4 D 2 2下列各组数中，成比例的是（ ） A 7， 5， 14， 5 B 6， 8， 3， 4 C 3， 5， 9， 12 D 2， 3， 6，12 3下列说法正确的是（ ） A长度相等的 两条弧是等弧 B优弧一定大于劣弧 C不同的圆中不可能有相等的弦 D直径是弦且同一个圆中最长的弦 4下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A B C D 5三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 12x+35=0 的根，则该三角形的周长为（ ） A 12 B 14 C 12 或 14 D以上都不对 6家用电冰箱在使用过程中能有效地散热是节电的有效途径之一将一台家用电冰箱置于厨房的墙角，如图是它的俯视图， 2，冰箱的后背 10D 平行于前沿 与 距离为 60从墙角 O 到前沿 距离约为（精确到 1 ） A 97 98 99 100顺次连接三角形三边的中点，所得的 三角形与原三角形对应高的比是（ ） A 1： 4 B 1： 3 C 1： D 1： 2 8如图，直线 l 与 O 相交于 A、 B 两点，且与半径 直，垂足为 H，已知6，则 O 的半径为（ ） A 6 10 12 如图，菱形 对角线 它沿着对角线 向平移 1到菱形 图中阴影部分图形的面积与四边形 面积之比为（ ） A 4： 3 B 3： 2 C 14： 9 D 17： 9 10直线 ， ，把一块含有 45角的直角三角形如图放置，顶点 A， B， C 恰好分别落在三条直线上， 直线 ，则线段 长度为（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分 需把答案直接填写在题中的横线上） 11已知 3x=5y，则 = 12如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m， B 时又测得该树的影长为 8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m 13把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知D=16 厘米，则球的半径为 厘米 14如图，若 ， ， ，则 15如图，将一副直角三角板（含 45角的直角三角板 含 30角的直角三角板 图示方式叠放，斜边交点为 O，则 面积之比等于 16如图，在平面直角坐标系中，将矩形 折，使点 A 落在点 知 ， ，则点 17如图，数轴上半径为 1 的 O 从原点 O 开始以每秒 1 个单位的速度向右运动，同时，距原点右边 7个单位有一点 个单位的速度向左运动，经过 秒后，点 P 在 O 上 18一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的 “面线 ”， “面线 ”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的 “面径 ”，例如圆的直径就是它的 “面径 ”已知等边三角形的边长为 2，则它的 “面径 ”长 m 的范围是 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（ 8 分）计算： （ 1） +（ 2） （ ） 0+2 20（ 8 分）解方程与不等式 （ 1） 2（ x 3） 2 0； （ 2） 2x=2x+1 21（ 6 分）如图，在 ， 上的高， 上的中线， C=45， ， （ 1）求 长； （ 2）求 值 22（ 8 分）已知： 直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（ 0， 3）、B（ 3， 4）、 C（ 2， 2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （ 1） 下平移 4 个单位长度得到的 ； （ 2）以点 B 为位似中心，在网格内画出 似，且位似比为 2： 1，点 ；（画出图形） （ 3） 平方单位 23（ 8 分）服装城某柜台销售一批 名牌羽绒衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，柜台决定采取降价措施经调查发现，如果每件羽绒衫每降价 1 元，柜台平均每天可多售出 2 件若柜台平均每天盈利 1200 元，每件羽绒衫应降价多少元？ 24（ 6 分）如图，已知 ， 0， C 是射线 一点 （ 1）求点 A 到 距离； （ 2）在下列条件中，可以唯一确定 的是 （填写所有符合条件的序号）， 3； ； 连接 面积为 126 25（ 8 分）在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验如图，表盘是 中 C， 20，在点 A 处有一束红外光线 始，绕点 A 逆时针匀速旋转，每秒钟旋转 15，到达 立即以相同旋转速度返回达后立即重复上述旋转过程小明通过实验发现，光线从 旋转开始计时，旋转 1 秒，此时光线 于点 M， 长为（ 20 20） （ 1）求 长； （ 2）从 旋转开始计时，若旋转 6 秒，此时光线 的交点在什么位置？若旋转 2014 秒，交点又在什么位置？请说明理由 26（ 10 分）某班师生组织植树活动，上午 8 时从学校出发，到植树地点后原路返校，如图为师生离校路程 s 与时间 t 之间的图象请回答下列问题： （ 1）问师生何时回到学校？ （ 2）如果运送工具 的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半个小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车离校路程 s 与时间 t 之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时离学校的路程； （ 3）如果师生骑自行车上午 8 时出发，到植树地点后，植树需 2 小时，要求 13时至 14 时之间返回学校，往返平均速度分别为每小时 86通过计算说明植树点选在距离学校多远较为合适 27（ 10 分）已知 等腰直角三角形， A=90， D 是腰 的一个动点，过 C 作 直于 延长线，垂足为 E，如图 （ 1）若 中线，求 的值； （ 2）若 角平分线，求 的值； （ 3）结合（ 1）、（ 2），试推断 的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 的值能小于 吗？若能，求出满足条件的 D 点的位置；若不能，说明理由 28（ 12 分）如图 1，在 ， C=90， D 是 点 P 从 C 出发，以 2cm/s 的速度沿 CAB 方向运动，动点 Q 从 1cm/s 的速度沿 DB 方向运动点 P 出发 5s 后，点 Q 才开始出发，且当一个点达到 B 时，另一个点随之停止图 2 是当 0 t 5 时 面积 S（ 点 P 的运动时间 t（ s）的函数图象 （ 1） ， a= ； （ 2）当点 P 在边 时， 为何值时，使得 相似？ （ 3）运动过程中，求出当 以 腰的等腰三角形时 t 的值 2016年江苏省无锡市江阴市青阳片九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填在题后的括号内） 1计算 的值为（ ） A 4 B 2 C 4 D 2 【考点】 算术平方根 【分析】 根据算术 平方根的定义进行解答 【解答】 解： =4 故选 C 【点评】 本题主要考查算术平方根的定义，关键在于熟练掌握算术平方根的定义 2下列各组数中，成比例的是（ ） A 7， 5， 14， 5 B 6， 8， 3， 4 C 3， 5， 9， 12 D 2， 3， 6，12 【考点】 比例的性质 【分析】 如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段 【解答】 解：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段 答案 中，只有 B 中， 3 （ 8） = 6 4，故选 B 【点评】 理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断本题要用绝对值最小的和最大的相乘，另外两条相乘 3下列说法正确的是（ ） A长度相等的两条弧是等弧 B优弧一定大于劣弧 C不同的圆中不可能有相等的弦 D直径是弦且同一个圆中最长的弦 【考点】 圆的认识 【分析】 根据等弧的定义，弦的定义即可解答 【解答】 解： A、等弧指的是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，而不是长度相等，就 一定能够重合，故错误； B、不在同圆或等圆中，故错误； C、等弦即只要长度相等即可，故错误； D、正确 故选 D 【点评】 理解等弧、等弦的概念，注意直径和弦的关系 4下列四个三角形中，与图中的三角形相似的是（ ） A B C D 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 本题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例，做题即可 【解答】 解：设单位正方形的边长为 1，给出的三角形三边长分别为 ， 2 ， A、三角形三边 2， ， 3 ，与给出的三角形的各 边不成比例，故 A 选项错误； B、三角形三边 2， 4， 2 ，与给出的三角形的各边成正比例，故 B 选项正确； C、三角形三边 2， 3， ，与给出的三角形的各边不成比例，故 C 选项错误； D、三角形三边 ， 4， ，与给出的三角形的各边不成比例，故 D 选项错误 故选： B 【点评】 此题考查三边对应成比例，两三角 形相似判定定理的应用 5三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是方程 12x+35=0 的根，则该三角形的周长为（ ） A 12 B 14 C 12 或 14 D以上都不对 【考点】 解一元二次方程 角形三边关系 【分析】 首先利用因式分解法求出方程的根，再根据三角形三边关系定理，确定第三边的长，进而求其周长 【解答】 解：解方程 12x+35=0， 得 ， ， 即第三边的边长为 5 或 7 三角形两边的长是 3 和 4， 1 第三边的边长 7， 第三边的边长为 5， 这个三角 形的周长是 3+4+5=12 故选 A 【点评】 本题考查了解一元二次方程因式分解法，三角形的三边关系已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和 6家用电冰箱在使用过程中能有效地散热是节电的有效途径之一将一台家用电冰箱置于厨房的墙角，如图是它的俯视图， 2，冰箱的后背 10D 平行于前沿 与 距离为 60从墙角 O 到前沿 距离约为（精确到 1 ） A 97 98 99 100考点】 解 直角三角形的应用 【分析】 作 E，在 ，有 D ，有 A E+ 【解答】 解：如图所示，作 E， D10 102， A02 38， E+8， 为 98 故选 B 【点评】 本题考查的是解直角三角形的应用，解答此题关 键是把实际问题转化为数学问题，把实际问题抽象到解直角三角形中，利用三角函数解题 7顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是（ ） A 1： 4 B 1： 3 C 1： D 1： 2 【考点】 相似三角形的性质；三角形中位线定理 【分析】 根据 “相似三角形的对应高的比等于相似比 ”求解即可 【解答】 解：因为顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形相似， 且：相似三角形对应高的比等于相似比 又因为：顺次连接三角形三边的中点， 所得的三角形的三边的长等于原三角形对应边的一半， 所以：顺次连接三角形三边的中点，所得的三角形与原三角形对应高的比是 1：2 故：选 D 【点评】 本题考查了相似三角形的性质、三角形中位线定理，解题的关键是掌握并理解该知识要点 8如图，直线 l 与 O 相交于 A、 B 两点，且与半径 直，垂足为 H，已知6，则 O 的半径为（ ） A 6 10 12 考点】 垂径定理；解直角三角形 【分析】 先根据垂径定理求出 根据 可设 x，则 x，在 根据勾股定理求出 x 的值，进而可得出结论 【解答】 解： 6 ， 设 x，则 x， 在 ， （ 3x） 2+82=（ 5x） 2，解得 x=2 x=10 故选 B 【点评】 本题考查的是垂径定理及勾股定理，熟知平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键 9如图，菱形 对角线 它沿着对角线 向平移 1到菱形 图中阴影部分图形的面积与四边形 面积之比为（ ） A 4： 3 B 3： 2 C 14： 9 D 17： 9 【考点】 菱形的性质；平移的性质 【分析】 首先得出 = ，进而得出 = ，即可得出答案 【解答】 解： = ， 菱形 对角线 它沿着对角线 向平移 1到菱形 = ， = ， 图中阴影部分图形的面积与四边形 面积之比为： = 故选： C 【点评】 此题主要考查了菱形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出 =是解题关键 10直线 ， ，把一块含有 45角的直角三角形如图放置，顶点 A， B， C 恰好分别落在三条直线上， 直线 ，则线段 长度为（ ） A B C D 【考点】 相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】 分别过点 A、 B、 D 作 根据全等三角形的判定定理得出 可得出 长，在 根据勾股定理求出 长，再由相似三角形的判定得出 可得出 长，在 根据勾股定理即可求出 长 【解答】 解：分别过点 A、 B、 D 作 等腰直角三角形， C， 0， 0， 0， 在 ， ， E， F， ， ， E=3， F=3+1=4， 在 ， ， ， = =5， = ， = ，解得 ， 在 ， ， ， = = 故选 A 【点评】 本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据题意 作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键 二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分 需把答案直接填写在题中的横线上） 11已知 3x=5y，则 = 【考点】 比例的性质 【分析】 根据两外项的积等于两内项的积，可得答案 【解答】 解： 3x=5y， = ， 故答案为： 【点评】 本题考查了比例的性质，利用了比例的性质：外项的积等于内项的积 12如图，小明在 A 时测得某树的影长为 2m， B 时又测得该树的影长为 8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m 【考点】 平行投影；相似三角形的应用 【分析】 根据题意，画出示意图，易得： 而可得 = ；即 D入数据可得答案 【解答】 解：如图：过点 C 作 由题意得： 直角三角形， 0， 0， E+ 0， E= 有 = ；即 D 代入数据可得 6， ； 故答案为： 4 【点评】 本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用 13把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知D=16 厘米，则球的半径为 10 厘米 【考点】 垂径定理的应用；勾股定理 【分析】 首先找到 中点 M，作 点 M，取 的球心 O，连接 OF=x，则 16 x， ，然后在直角三角形 利用勾股定理求得 长即可 【解答】 解： 中点 M，作 点 M，取 的球心 O，连接 设 OF=x，则 6 x， ， 在直角三角形 ， ：（ 16 x） 2+82=得： x=10 故答案为： 10 【点评】 本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解题的关键是正确的作出辅助线构造直角三角形 14如图，若 ， ， ，则 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可 【解答】 解： = ，即 = ， 解得， ， 故答案为： 【点评】 本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键 15如图，将一副直角三角板（含 45角的直角三角板 含 30角的直角三角板 图示方式叠放，斜边交点为 O，则 面积之比等于 1： 3 【考点】 相似三角形的判定与性质；解直角三角形 【分析】 结合图形可推出 要求出 比就可知道它们的面积比，我们可以设 a，则 AB=a，根据直角三角函数，可知 a，即可得 面积之比 【解答】 解： 直角三角板（含 45角的直角三角板 含 30角的直角三角板 图示方式叠放 D=30， A=45， A= D= BC=a a S S ： 3 故答案为 1： 3 【点评】 本题主要考查相似三角形的判定及性质、直角三角形的性质等，本题关键在于找到相关的相似三角形 16如图，在平面直角坐标系中，将矩形 折，使点 A 落在点 知 ， ，则点 （ ， ） 【考点】 坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问 题）；锐角三角函数的定义 【分析】 本题应先根据题意得出 角度再根据三角形全等得出 度数，最后通过作出辅助线 y 轴于点 D，写出计算式，化简即可得出 【解答】 解：由 ， 可得 ， 那么 0，所以 0， A= ， 则 0， 作 y 轴于点 D，利用三角函数可得 ， 故 ， ） 【点评】 解决本题的关键是利用三角函数得到相应的角的度数，进而根据翻折求得所求点的横纵坐标 17如图，数轴上半径为 1 的 O 从原点 O 开始以每秒 1 个单位的速度向右运动，同时，距原点右边 7 个单位有一点 P 以每秒 2 个单位的速度向左运动，经过 2或 秒后，点 P 在 O 上 【考点】 点与圆的位置关系 【分析】 点 P 在圆上有两种情况，其一在圆心的左侧，其二点在圆心的右侧，据此可以得到答案 【解答】 解：设 x 秒后点 P 在圆 O 上， 原点 O 开始以每秒 1 个单位的速度向右运动，同时，距原点右边 7 个单位有一点 P 以每秒 2 个单位的速度向左运动， 当第一次点 P 在圆上时， （ 2+1） x=7 1=6 解得： x=2； 当第二次点 P 在圆上时， （ 2+1） x=7+1=8 解得： x= 答案为： 2 或 ； 【点评】 本题考查了点与圆的位置关系，解题的关键是能够分类讨论 18一个平面图形分成面积相等的两部分的直线叫做该平面图形的 “面线 ”， “面线 ”被这个平面图形截得的线段叫做该图形的 “面径 ”，例如圆的直径就是它的 “面径 ”已知等边三角形的边长为 2，则它的 “面径 ”长 m 的范围是 介于 和 之间的任意两个实数 【考点】 等边三角形的性质 【分析】 根据等边三角形的性质，最短的面径平行于三角形一边，最长的面径为等边三角形的高，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出最短面径，根据等边三角形的性质求出高线，然后写出即可 【解答】 解： ， 最短面径， 此时， ， 即 ， 解得 ， 等边三角形的高 最长的面径， 2= ， 所以，它的面径长可以是介于 和 之间的任意两个实数 故答案为：介于 和 之间的任意两个实数 【点评】 本题考查了等边三角形的性质，读懂题意，弄明白面径的定义，并准确判断出等边三角形的最短与最长的面径是解题的关键 三、解答题（本大题共 10 小题，共 84 分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19计算： （ 1） +（ 2） （ ） 0+2 【考点】 二次根式的混合运算；零指数幂；特殊角的三角函数值 【分析】 （ 1）根据特殊角的三角函数值计算； （ 2）根据特殊角的三角函数值和零指数幂的意义计算 【解答】 解：（ 1）原式 = 3 + = 3 ； （ 2）原式 = 1+2 1 = 【点评】 本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可 20解方程与不等式 （ 1） 2（ x 3） 2 0； （ 2） 2x=2x+1 【考点】 解一元二次方程 一元一次不等式 【分析】 （ 1）去括号、移项、化系数为 1 进行解答； （ 2）将已知方程转化为左边为完全平方的形式，然后利用直接开平方法求 x 的值 【解答】 解：（ 1） 2（ x 3） 2 0， 2x 6 2 0， 2x 8， x 4； （ 2） 2x=2x+1， 4x+22=1+22， （ x 2） 2=5， x 2= ， x=2 【点评】 本题考查了解一元一次不等式，解一元二次方程配方法 配方法的一般步骤：（ 1）把常数项移到等号的右边；（ 2）把二次项的系数化为1；（ 3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次项的 系数是 2 的倍数 21如图，在 ， 上的高， 上的中线， C=45， （ 1）求 长； （ 2）求 值 【考点】 解直角三角形 【分析】 （ 1）先由三角形的高的定义得出 0，再解 出 ；解 出 ，根据勾股定理求出 ，然后根据D+可求解； （ 2）先由三角形的中线的定义求出 值，则 E 后在 【解答】 解：（ 1）在 ， 上的高， 0 在 ， 0， C=45， ， D=1 在 ， 0， ， ， =3， =2 ， D+ +1； （ 2） 上的中线， + ， E ， = 【点评】 本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，难度中等，分别解 出 ， 是解题的关键 22已知： 直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（ 0， 3）、 B（ 3，4）、 C（ 2， 2）（ 正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度） （ 1） 下平移 4 个单位长度得到的 （ 2， 2） ； （ 2）以点 B 为位似中心，在网格内画出 似，且位似比为 2： 1，点 （ 1， 0） ；（画出图形） （ 3） 10 平方单位 【考点】 作图 图 【分析】 （ 1）在直角坐标系中，图形沿平行于 y 轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度 （ 2）画位似图形的一 般步骤为： 确定位似中心； 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； 根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形 （ 3）将 【解答】 解：（ 1）在直角坐标系中，图形沿平行于 y 轴的方向平移，图形上对应点的横坐标不变，纵坐标减去平移的单位长度 点 坐标为（ 2， 2） 故答案为：（ 2， 2） （ 2）所求图形如下图所示： 即： 作的图形 点 坐标为：（ 1， 0） 故答案为：（ 1， 0） （ 3） S S S S （ 2+4） 6 2 4 2 4 =18 4 4=10（平方单位） 故答案为： 10 平方单位 【点评】 本题考查 了作图平移变换、作图位似变换，关键是掌握平移变换与位似变换的特点 23服装城某柜台销售一批名牌羽绒衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40元为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，柜台决定采取降价措施经调查发现，如果每件羽绒衫每降价 1 元，柜台平均每天可多售出 2 件若柜台平均每天盈利 1200 元，每件羽绒衫应降价多少元？ 【考点】 一元二次方程的应用 【分析】 利用羽绒衫平均每天售出的件数 每件盈利 =每天销售这种羽绒衫利润列出方程解答即可 【解答】 解：设每件羽绒衫应降价 x 元 根据题意，得 （ 40 x）（ 20+2x） =1200 整理，得 30x+200=0 解得 0， 0 扩大销售量，减少库存， 0 应略去， x=20， 答：每件羽绒衫应降价 20 元 【点评】 此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数 每件盈利 =每天销售的利润是解题关键 24如图，已知 ， 0， C 是射线 一点 （ 1）求点 A 到 距离； （ 2）在下列条件中，可以唯一 确定 的是 （填写所有符合条件的序号）， 3； ； 连接 面积为 126 【考点】 解直角三角形 【分析】 （ 1）过 A 作 H，利用余弦定义可计算出 6，在利用勾股定理可计算出 2， （ 2）由于以 A 为圆心， 13 为半径作圆与 两个交点，即此时 C 点有两个，长不确定；若 ，在 利用正切的定义可求出 ，所以 H+1；若当 面积为 126 时，则可利用三角形面积公式求出长，于是得到符合条件的序号 【解答】 解：（ 1）过 A 作 H， = ， 20=16， =12， 即点 A 到 距离为 12； （ 2）当 3 时，以 A 为圆心， 13 为半径作圆与 两个交点，所以此时 当 ，在 ， = ，则 ，所以H+6+5=21； 当 面积为 126 时，则 1216，所以 6 故答案为 【点评】 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形解决本题的关键是灵活运用勾股定理和锐角三角函数的定义 25在一次科技活动中，小明进行了模拟雷达扫描实验如图，表盘是 中 C， 20，在点 A 处有一束红外光线 始，绕点 秒钟旋转 15，到达 立即以相同旋转速度返回 达后立即重复上述旋转过程小明通过实验发现 ，光线从 旋转开始计时，旋转 1 秒，此时光线 于点 M， 长为（ 20 20） （ 1）求 长； （ 2）从 旋转开始计时，若旋转 6 秒，此时光线 的交点在什么位置？若旋转 2014 秒，交点又在什么位置？请说明理由 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 （ 1）如图 1，过 A 点作 足为 D令 据三角函数可得 AB=t， t在 ， D=t由D 到关于 t 的方程，求得 t 的值，从而求得 长； （ 2）如图 2，当光线旋转 6 秒，设 点 N，在 ，根据三角函数可得 图 3，设光线 转 2014 秒后光线与 交点为 Q求得， 0 根据 C 可求解 【解答】 解：（ 1）如图 1，过 A 点作 足为 D 20， C， C=30 令 在 ， AB=t， t 在 ， 5， D=t D t t=20 20 解得 t=20 20=40 答： 长为 40 （ 2）如图 2，当光线旋转 6 秒， 设 点 N，此时 5 6=90 在 ， = = 光线 转 6 秒，与 交点 N 距点 B 如图 3，设光线 转 2014 秒后光线与 交点为 Q 由题意可知，光线从边 始到第一次回到 需 8 2=16 秒， 而 2014=125 16+14，即 转 2014 秒与旋转 14 秒时和 交点是同一个点Q 旋转 14s 的过程是 BC： 8s， CQ： 6s，因此 N= ， C， 20， 2 40 =40 ， C 0 = ， 光线 转 2014 秒后，与 交点 Q 在距点 B 【点评】 考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，注意方程思想的应用 26（ 10 分）（ 2012北塘区校级一模）某班师生组织植树活动，上午 8 时从学校出发，到植树地点后原路返校，如图为师生离校路程 s 与时间 t 之间的图象请回答下列问题： （ 1）问师生何时回到学校？ （ 2）如果运送工具的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半个小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车离校路程 s 与时间 t 之间的图象，并结合图象 直接写出三轮车追上师生时离学校的路程； （ 3）如果师生骑自行车上午 8 时出发，到植树地点后，植树需 2 小时，要求 13时至 14 时之间返回学校，往返平均速度分别为每小时 86通过计算说明植树点选在距离学校多远较为合适 【考点】 一次函数的应用 【分析】 （ 1）设直线 解析式为 s=kt+b，然后利用待定系数法确定其解析式得 s= 5t+68，再求出 C 点坐标即可得到师生回到学校的时间； （ 2）根据题意三轮车离校路程 s 与时间 t 之间的图象过点（ 0）、（ 8），然后连接这两点的线段即可得到三轮车离 校路程 s 与时间 t 之间的图象，观察图象得到此时三轮车追上师生时离学校的路程为 4 （ 3）根据题意得师生骑自行车往返所用的时间在 3 小时至 4 小时之间，设植树点在距离学校 到 3 + 4，解得 x 【解答】 解：（ 1）如图， 设直线 解析式为 s=kt+b， 把 A（ 12， 8）， B（ 13， 3）分别代入得 ， 解得 ， 直线 解析式为 s= 5t+68， 令 s=0，则 5t+68=0， 解得 t= C 点坐标为（ 0）， 师生 回到学校； （ 2） 三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半个小时到达植树地点， 连接点（ 0）和（ 8）所得得线段为该三轮车离校路程 s 与时间 t 之间的图象， 三轮车追上师生时离学校的路程为 4 （ 3）师生骑自行车上午 8 时出发，到植树地点后，植树需 2 小时，要求 13 时至14 时之间返回学校，则师生骑自行车往返所用的时间在 3 小时至 4 小时之间， 设植树点在距离学校 3 + 4，解得 x ， 植树点选在距离学校在 间较为合适 【点评】 本题考查了一次函数的应用：先把实际问题中的数据与坐标系中的数据对应起来，利用待定系数法确定一次函数的解析式，然后利用一次函数的性质解决问题也考查了观察函数图象的能力 27（ 10 分）（ 2011绵阳）已知 等腰直角三角形， A=90， D 是腰的一个动点，过 C 作 直于 延长线，垂足为 E，如图 （ 1）若 中线，求 的值； （ 2）若 角平分线，求 的值； （ 3）结合（ 1）、（ 2），试推断 的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究 的值能小于 吗？若能，求出满足条件的 D 点的位置；若不能，说明理由 【考点】 相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形；解直角三角形 【分析】 先设 C=2a， CD=a，则 a， AD=a求出 求得 （ 1） 中线，则 D=x= ，则解得； （ 2） 角平分线，则求得 x， y 值； （ 3）由以上两个问题，从 的比值求得 x 的值，则求得 的值 【解答】 解：设 D=a，则 C=2a （ 1）在 ，由勾股定理得： a， A= E=90， = ， = ， 解得： ， = = ； （ 2）过点 D 作 F， 平分线， F， 在 ， = ， 在 ， = ， 即 = ， = ， 即 = ， （ 2 ） a， C a 2（ 2 ） a=2（ 1） a， （ 2 ） = = = =2 （ 3）当 D 在 A