高中数学论文：由一道习题改编引发的思考

1挖掘习题潜能，激活学生思维由一道习题改编引发的思考【摘 要】新课改实验以来，由于部分教师对新课程认识上的误区和习惯性的思维，造成了在数学教学中对教材习题的忽视和不重视.笔者通过“同课异构”的形式呈现了对一道教材习题改编讲解的过程，传递了要重视研究教材习题和编者意图的信息 对于如何挖掘开 发教材习题，笔者在教材 习题价值、习题编者意图、习题改编功能、学生思维发展等方面作了一定的思考和 尝试【关键词】教材习题；开发；利用；习题改编新课改实验以来，顺应数学新课程的教育理念很多，正是这些理念带来了师生活力的重新涣发然而，由于一些教师对新课程理念的认识存在一些偏差，致使现实教学中的欠缺仍有不少：如教师在备课时都过分重视对课外教学参考资料的挖掘，但很少顾及教科书中的例题，特别是忽视编者编写教材习题的意图，无形中遗失了教材习题这个较好的资源在与其他教师商讨习题设计的座谈中，常有下列“现象”出现现象一：课前，课外资料，教师寻得津津有味；现象二：课中，课外习题，教师讲得心潮澎湃；现象三：课后，作业习题，教师选得面面俱到；从中几乎见不到教材中的课后习题的踪影.究其原因，我们教师的头脑中存在这样一个嗜好：外来资料信息灵、设计新、题型全，对落实考点、提升解题能力助益更大.可一次偶然的习题及改编讲解，让我改变了原先的观念.总之，新课程以来，好多教师总是在寻寻觅觅，穿梭课外资料堆中，其实，蓦然回首，好题竟在教材习题处！1 片段习题讲解实录对比再现高中人教版课本必修 2-习题 4.2-B 组第 5 题2(-2,3)Q(x-4)+y9.),; ?(.P已 知 点 和 以 为 圆 心 的 圆画 出 以 为 直 径 为 圆 心 的 圆 再 求 出 它 的 方 程作 出 以 为 圆 心 的 圆 和 以 为 圆 心 的 圆 的 两 个 交 点 A,B.直 线 P,是 以 Q为 圆 心 的 圆 的 切 线 吗 为 什 么求 直 线 AB的 方 程1.1 以课后原题铺垫递进形式的班常态课堂问题提出后，犹如一石激起千层浪，学生热情被激发起来，他们很快地投入到解法探索中片刻问题（1） 、问题（2）的解法跃然纸上，大部分学生回答如下：(如右图) ,3(4,2)PQ解 法 ： 是 以 为 圆 心 的 圆 的 直 径 的 两 个 端 点 ， 16(,)r 2614圆 方 程 为 （ x-） （ y+）2,(,)解 法 ： 是 以 为 圆 心 的 圆 的 直 径 的 两 个 端 点， 0圆 方 程 为 （ x+） -4（ y3） (-)2即 -x=0问题（2）：大部分学生回答有这样 2 种思路高中数学论文xyoP(-2,3)Q(4,2)ABM2思路 1：联列圆 、圆 Q 两方程组解交点 A、B 坐标，再利用点 Q 到直线 PA、PB 的距离等于半径r 来判断直线 PA、PB 为圆 Q 的切线思路 2：因为点 A，B 在圆 上，且 PQ 是直径，所以 PAAQ，PBBQ，所2140xy以 PA、PB 是圆 Q 的切线在问题（1） 、 （2）的铺垫下，问题（3）的解答学生普遍如下：(x-4)+y=96520, .-10xyAB由 相 减 得 这 就 是 直 线 的 方 程1.2 以整合铺垫、开门见山形式的班创生课堂在另一个平行班上班时，笔者对这道题目进行了改编，题目改动了如下： P2过 点 （ -2， 3） 向 圆 Q（ x-4） +(y)=9引 两 条 切 线 ， 、 为 切 点 ， 求 直 线 A的 方 程 师：上述问题大家见过吗？你联想到什么？学生（集体回答）：这是求解直线方程有关知识的问题，只要利用直线的相关方程即可师：给同学们一分钟的思考时间，等下请同学来谈谈解题思路（一分钟后）学生 1：求解直线方程有关的问题，应该与点斜式、斜截式等方程有关，只是方法（预感情况较多，不易确定而犹豫）学生 2：先画图，由图直接可知只要解点 A、点 B 的坐标即可（师生合作，教师板演图像）学生 1：对，先求切线 PA、PB 的方程，再联列 求解点Q切 线 方 程圆 的 方 程A、B 的坐标学生 3：这个思路有一点繁，可直接设切点（a,b） ，再联列求解点 A、B 的坐标，这样可能计算量少一点()().1QPAk圆 的 方 程【思路 1：两点式】师：不错，这是用两点式的方法求解直线方程，同学们思路非常好，但运算量较大不宜选取，还有其他想法吗？（当老师把问题提出后，课堂上没有人回答，大约一分钟后）【思路 2：点斜式】生 1（大声地说）：连接 AB 交线段 PQ 于点 M，显然 ，用点斜式只要求点 M 坐标就可以65ABk了（此时学生向他投去敬佩的眼光，使他信心倍增）师：如何求点 M 的坐标呢？（借力打力，激发学生的思维活跃性，大约一分钟后）xyoP(-2,3)Q(4,2)ABM3生 1（兴奋地说）：2 9,.61RtQBMtPBQMPQP:， 易 得再利用定比分点公式就能求得点 M 的坐标生 4（大声地说）： 9.61利 用 向 量 也 能 求 解 点 的 坐 标（下面同学一下子活跃起来，顿时产生一片讨论声 ）【思路 3：斜截式】生 2（激动地说）：由上可知 ，设直线 AB 方程为 ，利用点 Q 到直线 AB 的5ABk65yxm距离公式求 m 的值会更简单师：刚才同学说得太好了，很有独创性（心理学告诉我们：一个人只要体验一次成功的喜悦，便会激起再次追求成功的喜悦，便会激起再次成功的意念和力量所以适度的让他“闪光”的表扬，将会极大地激发他的学习积极性，增强他的自信心 ）【思路 4：圆的切线方程的应用】生 1(直接站起来说)：还有，还有，设 ),(,21yxByxA） ，（11 1112:(4)(2)9364529650,650,650 0.PAxyPxyBx则 切 线 过 点 （ ， ） （ ） （ ）化 得 点 在 直 线 上 ，同 理 点 在 直 线 上 ， 过 、 两 点 的 直 线 方 程 为师：感谢生 1 带给我们的精彩解答！希望大家有所启发那我们现在再来思考图形的特点，是否还有其他方法？（一题激起千冲浪，说实话，我也没想到这一点稍顿）【思路 5：直线 AB 看成两圆的交线】生 2（大声地喊着说）： 2222 16().416()4650.49PABQPxyxy yAB 由 题 设 知 、 、 、 四 点 在 以 为 直 径 的 圆 上 ， 易 求 得 该 圆 的 方 程 为 ： 联 列 方 程 组 ， 由 、 两 式 相 减 得 ： ， 这 就 是 直 线 的 方 程 （下面很多同学露出了赞同的笑容）对学生而言，数学习题的“难易”程度，关键是“铺垫”这个环节是否做得到位、准确因此，数学习题设计的好，就可以让学生实现“新”与“旧” 、 “难”与“易” 、 “繁”与“简” 、 “小”与“大”的转化，从而突破思维的难点对于难度较低的教材习题，适当地整合铺垫，能减少教材习题本身蕴含的预设，拓展课程文本的开放性，让学生在一个陌生的背景中创造新知识的生成，这完全与高考试题的能力立意相吻合2 同课异构的缘起和课后检测的对比习题为高中人教版课本必修 2 习题 4.2-B 组第 5 题.作为教材的编者，编该题意图有三：关于圆方程求法的应用；关于直线与圆位置关系知识的应用；关于直线方程求法的应用.将这三个问题集中思考，作为章节小结习题讲解，借此机会强化提高，一箭多雕.其一，复习巩固直线、圆及位置关系的相关知识；其二，如何在通法基础上用技巧观点去处理直线方程的求解问题，体现高考能力立意的4理念.习题题型常规且又层层剖析，降低了思维的梯度在班常态课堂中按部就班，问题（1） 、 （2）两小题的解答基本到位，但问题（3）却在上述两问题的铺垫下，使学生在惯性思维下解法单一，阻碍了学生思维的深入发展当时也不及细想，就这样在师生流畅的配合下顺利地完成了这道教材习题的教学任务，但总觉得在班教学的一气呵成中感觉没有激发学生的求知欲，在这层层铺垫中挫伤了学生数学思维的提炼为此，在班创生课堂中在不影响原题考查知识的情境中整合铺垫问题（1） 、 （2） ，直接以问题（3）开门见山的形式出现，表面上改编后只考查了直线方程的求法，可随着学生解题思路的展开，结果不但巩固了原习题中问题（1） 、 （2）所考查的直线与圆相关知识，且在问题（3）的解答上激发了学生对知识“本源”的探究愿望，打开了他们数学思维的开阔之门，绽放出数学思维拓展、升华的魅力在教学过程中，根据以往教学反馈提炼的教学经验，对概念教学中的难点、重点，应精心选例给予强化，所以课后为了提高学生对直线、圆及直线与圆位置关系相关知识的理解，两班练习卷中同选取了 2009 年高考江西卷文科卷 16 题：设直线系 ，对于下列四个命题：:cos(2)sin1(02)MxyA存在一个圆与所有直线相交 B存在一个圆与所有直线不相交C存在一个圆与所有直线相切 D M中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是_(写出所有真命题的代号)该题为填空题压轴题，其难点为学生不能准确地判断出直线系的图形特征. 通过批改该题后，基础相当的两班得分率统计如:cos(2sin1(02)xy下：班得分率情况约为 0.21 ，而班得分率情况却达到了 0.46从我个人上课的感觉来说，班的课后原题设计，层层铺垫，学生学得较轻松，思维顺畅，看上去在班讲题清晰且课堂时间效率利用较高从班教学课堂来看，一道习题的改编讲解花了大半堂课时间，但从课后检测结果可知，深入的教学在容易题上效果不很明显，可是在随后难度较大的 2009 年高考江西卷文科卷 16 题上却突现了其功效究其原因：（1）在班教学课堂中整合改编扩大了习题的开放性，激活了学生的认知内驱力；（2）在班教学课堂中整合改编增加了习题的综合性，拓展了学生的认知水平，培养了学生的探究习惯和思维品质；（3）在班教学课堂中整合改编提升了习题的功能性，发展了学生的数感，促使学生真正学会“数学地思维” 3 对开发、利用教材习题的再思考数学教学是一个动态的过程，充满着变数，教学过程中生成的种种的“意想不到”是无法“设计”的，可借助于例题的选择及讲解却可能让这预计不到的“天外来客”降临到我们的课堂上，让闪光之处及亮光所在得以展现其独特的魅力所以在学生的最近发展区应适当地选择例题并改编，使学生在课堂中既知其然，又知其所以然，从而提高学生的课堂学习质量由以上两个课堂教学片段及其效果的分析，并结合平时教学实践体会，笔者对教材习题的开发利用问题有如下一些思考：3.1 挖掘教材习题的潜在价值“九层之台，起于累土；合包之木，生于毫末”.学生优良的素质必须根植于“双基”的沃壤之中.因此，平时教学必须常抓基础知识和基本技能，紧扣新课程标准进行教学.笔者通过近几年的高考试题的研究，发现它们都有共同点：1、注重考察学生的基本运算能力、思维能力和空间想象力的同时，着重考核学生运用数学知识分析和解决简单实际问题的能力；2、试题平实创新，知识覆盖面广；3、多数试题源于“教材”又高于“教材”.这就从根本上证明了教材习题正由巩固知识转化为培养学生能力的重要载体，因此平时教学中需充分利用教材习题，注重对教材习题的挖掘和研究，对其深化和发展，5挖掘其内含及外延，以达到优化认知、活跃思维、提高能力的目的如以高中人教版课本必修 2-习题4.2-B 组第 5 题讲解为例，在整合铺垫后的班创生课堂，由设问的改变启发学生从不同的角度去联想，使直线、圆及直线与圆相关知识形成一张完整的网络，充分挖掘、放大了教材习题潜在的价值.3.2 透析教材习题编者的意图高中数学新课程理念之一是倡导积极主动、勇于探索的学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程一道平凡的教材习题可能蕴藏着丰富的教学功能因此，我们应该明白编者的意图，对一些习题进行有效的开发，作出深入细致的研究探索，以使教材习题成为培养学生各方面能力的有效阵地例如，在班教学中的教材习题原题，把复杂问题（最后一小题为能力提升题）进行分解，分散了考查难点，降低了思维的梯度，从易入难，表面上学生很快找出解题方法，可实际上却由于过多的铺垫限制了学生的活跃思维而在班教学时的整合铺垫，使原题在结果不变的情况下提升了求直线方程的开放性，反而激发了学生学习的兴趣，促使学生变被动学习为主动学习 “逼”着学生动脑动手，使学生在解答过程中体验喜悦的情绪，获取更多的成就感，从而促使学生的思维向深刻性、广阔性、批判性发展3.3 提升教材习题整合改编的功能所谓整合改编知识点，就是在陈题的基础上，糅合进一些其他的考查点并注意到题目改编前后的有机结合，最终塑造成一道综合程度较高的新题。不过进行整合改编习题时，不要“改”得过于简单，过于简单的改编会让学生认为是简单的“重复劳动”，没有实际效果，而且会影响学生思维的质量；不要“改”得过难，难度过大的习题易影响学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，易挫伤学生的自信心因此，进行改编习题时要改得有“度”，恰到好处，如改编时可以简单地融进其他的考查点，可以把题目中的某些条件作等价替换，可以从题目的结构出发适当地改变框架进行结构重组，可以利用知识模块间的联系类比改编新颖的题目，但需符合学生的认知规律和心理发展特点，长此以往，就会使学生数学思维从渐变进化到突变.例如，在班教学中，通过铺垫的整合，使得各种直线方程的求法在由繁入简的技巧阶梯上进行“探究性学习”，这是一种对知识的再认识将知识获得的“生长点”建立在学习者的“知识发展区”，提高了学习者的“认知水平”，“同化”了学习者的认知结构，营造了和谐的学习环境3.4注重学生思维能力的发展要提高课堂教学的效率，必须明确学情，把脉实情：当前的学习所需的经验、知识、方法、策略，学生是否拥有？拥有的广度和深度怎样？只有准确地捕捉到学生在该知识学习中的真实