自动控制原理 第九章 状态空间分析方法

第九章 状态空间分析方法 第 9章 状态空间分 析方法 基本要求 9-1 状态空间方法基础 9-2 线性系统的可控性和可观性 9-3 状态反馈和状态观测器 9-4 有界输入、有界输出的稳定性 9-5 李雅普诺夫第二方法 返回主目录 引言引言 ： 前面几章所学的内容称为经典控制理 论；下面要学的内容称为现代控制理论。两者作 一简单比较。 经典控制理论 (50年代前 ) 现代控制理论 (50年代后 ) 研究对象 单输入单输出的线性定常系统 可以比较复杂 数学模型 传递函数(输入、输出描述 ) 状态方程(可描述内部行为 ) 数学基础 运算微积、复变函数 线性代数、矩阵理论 设计方法的 特点 非唯一性、试凑成 份多 , 经验起很大 作用。主要在复数 域进行。 设计的解析性，与计 算机结合，主要在时 间域进行。 基本要求基本要求 掌握由系统输入 输出的微分方程式、系统动态 结构图、及简单物理模型图建立系统状态空间模 型的方法。 熟练掌握矩阵指数的计算方法，熟练掌握由时域 和复数域求解状态方程的方法。熟练掌握由动态 方程计算传递函数的公式。 正确理解可逆线性变换 , 熟练掌握可逆线性变换 前、后动态方程各矩阵的关系。 正确理解可控性和可观测性的概念，熟练掌握和 运用可控性判据和可观性判据。 返回子目录 熟练掌握可逆线性变换矩阵的构成方法 , 能将可控系统 化为可控标准形。能将不可控系统进行可控性分解。 正确理解对偶原理 , 会将原系统的有关可观测性的问题 转化为对偶系统的可控性问题来研究。 正确理解单变量系统零、极点对消与动态方程可控、 可观测的关系。熟练掌握传递函数的可控性标准形实 现、可观性标准形实现的构成方法。 正确理解状态反馈对可控性，可观性的影响 , 正确理解 状态反馈可任意配置闭环极点的充要条件。 熟练掌握全维状态观测器的公式和设计方法 , 熟练掌 握由观测器得到的状态估计值代替状态值构成的状 态反馈系统 , 可进行闭环极点配置和观测器极点配置 。 正确理解系统齐次方程渐近稳定和系统 BIBO稳定的 概念 , 熟练掌握判别渐近稳定的方法和判别系统 BIBO 稳定的方法。 11 正确理解李雅普诺夫方程正定对称解存在的条件和 解法 , 能通过解李雅普诺夫方程进行稳定性分析。 9-1 状态空间方法 基础 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单 输入、单输出系统。 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。采 用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了 ，为系统的分析研究提供了有力的工具。 返回子目录 状态： 动力学系统的状态可以定义为信息的集合。 一、状态空间的基本概念 已知 时状态， 时的输入，可确定 时任一变量的运动状况。 状态变量 ： 确定动力学系统状态的最小一组变量 。 状态空间 ： 由 张成的 n维向量空间。 状态向量 ： 如果完全描述一个给定系统的动 态行为需要 n个状态变量，那么状态 向量定义为 X(t) 对于确定的某个时刻，状态表示为状态空间中一 个点，状态随时间的变化过程，构成了状态空间 中的一条轨迹。 例 9-2 设一 RLC网络如图所示。 回路方程为 图 9-2 RLC网络 选择状态变量 则有 写成 输出 写成 若选另一组状态变量 则有 若给出 (t=0) 时的初值 、 、 、 和 时就可确定系统的行为。 单输入 -单输出线性定常系统 选取状态变量 二、系统的状态空间表达式 （ 9-17 ） 或写成 （ 9-19） 系统结构图如图所示 图 9-3 例 9-3 输入为 u ，输出为 y 。 试求系统的状态方程和输出方程。 考虑用下列常微分方程描述的系统 解： 状态方程为 写成 取状态变量 输出 图 9-4 例 9-3系统的结构图 多输入 -多输出系统 图 9-6 多变量系统 为状态变量； 为输入量； 为输出变量。 矩阵形式： 式中 . 输出变量方程 式中式中 图 9-7 系统结构图 三、线性定常系统状态方程的解 式中 均为列向量。 （ 9-28） 齐次向量微分方程 （ 9-29 ） 方程的解为 1、齐次状态方程的解 可得 代入方程 将 方程两边系数必相等 , 即 我们定义 （ 9-31） （ 9-32 ） 因此，齐次状态方程的解为 将 t=0 代入（ 9-29）中得 （ 9-33 ） （ 9-34） （ 9-35） 为 nn 矩阵，称矩阵指数。 于是齐次状态方程的解为 用拉氏变换法求解 拉氏反变换后得到 （ 9-37） （ 9-38） 最终得到 与前一种解法所得结果一致 。 式中 （ 9-41） 状态转移矩阵具有以下性质： 图 9-8 状态转移特性 性质性质 3 例 9-5 设系统的状态方程为 试求状态转移矩阵。 解： 求状态转移矩阵为 其中 可以写出方程解为 例 9-6 设系统状态方程为 试求状态方程的解。 解： 用拉氏变换求解。先求出矩阵指数 状态方程之解为 将上式进行拉氏反变换 图 9-9 系统的瞬态解（ a）与相轨迹（ b） 改写为 用 左乘等式两边 2 非齐次状态方程的解 非齐次方程 （ 9-53 ） （ 9-54 ） 用 左乘上式两边 （ 9-54 ） 则式（ 9-54）可以写成 （ 9-55 ） 积分上式得 讨论非齐次状态方程的拉氏变换解法 拉氏反变换得 由于 由卷积定理有 因此 由于 最后得到 例 9-7 求下述系统状态的时间响应 控制量 u为单位阶跃函数。 解 ： 由 状态转移矩阵 若初始状态为零状态，则 四、传递函数矩阵 （ 9-58） 系统状态方程 （ 9-59） 输出方程 拉氏变换为 解出 定义传递函数矩阵为 （ 9-63） 所以 特征方程为 例 9-8 设系统的动态方程为 试求该系统的传递函数矩阵。 解： 已知 故 例 9-9 设系统的状态方程为 试求系统的特征方程和特征值。 解： 系统的特征方程为 特征方程的根为 -1、 -2和 -3。矩阵 A的特 征值也为 -1、 -2和 -3。两者是一样的。 五、动态方程的可逆线性变换 其中 P 是 nn 矩阵 特征多项式 特征多项式没有改变。 传递函数阵 传递函数阵没有改变 例 9-10 对例 9-9之系统进行坐标变换，其变换 关系为 试求变换后系统的特征方程和特征值 。 解： 根据题意求变换矩阵 代入 特征方程为 特征值为 -1， -2， -3，与例 9-9结果相同 。 可得 9-2 线性系统的可控性和可观测性 在状态空间法中，对系统的描述可由状态方程和输出 方程来表示。 状态方程是描述由输入和初始状态所引起的状态的变 化；输出方程则是描述由于状态变化而引起输出的变 化 可控性和可观测性的概念，就是回答 “系统的输入是否 能控制状态的变化 和 “状态的变化能否由输出反映出 来 这样两个问题。 返回子目录 一、准备知识 设 A 是 nn 矩阵 , x 是 n1 向量 ,齐次方程组 若 |A|=0, （ 9-70） 式存在非零解； 若 |A|0, （ 9-70） 式只有零解。 Ax=0 （ 9-70） 1、齐次方程组的非零解 2、 Cayley-Hamilton定理 Cayley-Hamilton定理指出， 矩阵 A满足自己的特征多项式。 则 A满足 （ 9-71） （ 9-72） A的特征多项式 应用 Cayley-Hamilton 定理 （ 9-78） 对于矩阵指数 可以用 来表示。 例 9-11 解 ： 矩阵 A的特征多项式 要求计算矩阵 的 矩阵 A满足自己的特征多项式，有 本题中 n=100，故有 3 引理 的充分必要条件是： 存在 使 （ 9-80） 非奇异。这里 A :nn, b: n1. 若对任意状态 ，存在一个有限时刻 和控制量 ，能在 时刻将状态 转移到 0，则称此系统的状态 完全可控。 二、线性系统的可控性 1 定义 对于任意时刻 和 ，若存在控制向量 ，能将 的 每个初始状态 转移到 时刻的另一任意状态 , 则称此系统的状态完全可控。 等价的定义 例如 图 9-10 二维系统状态转移过程如图所示 系统可控。 2 可控性判据 其中 A (nn),b (n1), c (1n),d (11) 系统可控的 充分必要条件 是 （ 9-84） （ 9-85） （ 9-86 ） 单变量线性定常系统 证明： 将 u(t) 代入式 (9-54)，可得 （ 9-87） 若式 (9-86)成立，由前面准备知识的引理，存在 t10，使 得 (1-30)式定义的 W(0, t1)矩阵非奇异，取 t1为可控性定 义中的 tf ，且在 0, tf 上定义 由定义可知式 (9-86)成立时，系统可控。 再证明若系统可控，则 式 (9-86)成立 根据凯莱 哈密尔顿定理 （ 9-88） （ 9-89） 假定系统由任意初始状态被控制到零状态，即 x(tf)=0 。根据 (9-54)式，则有 把 (9-89) 式代入 (9-88) 式，得 记 这时 （ 9-90） 由于 x(0)是任意的 n维向 量， (9-90)式要有解， 一定有 (9-86)式成立， 即 由上述可控性判据可知，系统的可控性只取决于 (9-84) 式中的 A阵和 b阵。今后为了方便起见，将可控性矩阵记 为 S，这样，可控的充要条件就写成： rankS=n 或 detS0 。 图 9-11 不可控系统 例子 系统可控 系统 3 约当型方程的可控性判据 约当块的一般形式为 由前面讨论可知，等价变换不改变可控性。 可控的充分必要条件为 同一特征值对应的约当块只有一块，即各约当块的特 征值不同。 每一约当块最后一行，所对应的 b中的元素不为零。 这一充分必要条件又称为单输入系统约当形方程的可控 性判据。 例 9-12 系统状态方程为 试确定系统可控时， 应满足的条件。 解： 如果用直接计算可控性矩阵的方法 也可得到同样结果 . 因为 A阵有两个若当块，根据判据的 (1)应有 ，由判据的 (2)， A的第二行所对应的 b中的元 素 b2,b4均不为零，因此系统可控的充要条件 为 4、可控标准形 （ 9-92 ） 则系统一定可控。 一个单输入系统，如果具有如下形式 (9-92)式的形式被称为单输入系统的 可控标准形可控标准形 。 对于一般的单输入 n维动态方程 (9-93) 其中 A， b分别为 nn,n1 的矩阵。成立以下定理： 若 n维单输入系统可控，则存在可逆线性变换，将其 变换成可控标准形。 下面给出变换矩阵 P的构成方法 计算可控性矩阵 S； 计算 ，并记 的最后一行为 h。 构造矩阵 P 令 即可求出变换后的系统状态方程。 例 9-13 设系统状态方程为 试将系统状态方程化为可控标准形。 解： 先判断可控性，再计算变换矩阵，将状 态方程化为可控标准形。 故系统可控。 一定可将它化为可控标准形。 此时标准形中的系统矩阵的最后一行系 数就是 A阵特征式的系数，但符号相反 。 则变换矩阵为 可求出 5 系统按可控性进行分解 系统可控时，可通过可逆线性变换变换为可控标准形， 现在研究不可控的情况，这时应有 下面的结果被称为 系统按可控性进行分解的定理 若单变量系统 (9-84， 85)式的可控性 矩阵满足 (9-103）式，则存在可逆线 性变换矩阵 P，使得变换后的系统方 程具有以下形式 式中 是 n1维向量 , 是 n2维向量，并且 （ 9-106） （ 9-107） (9-106)式表明下面的 动态方程是可控的： （ 9-107)式表明的动态方程式 (9-108， 109)和原来的 n维 动态方程式 (9-84， 85)具有相同的传递函数。或者说 传 递函数中未能反映系统中不可控的部分。 （ 9-108） （ 9-109） 证明： （ 9-110 ） 考察 (9-103)式，并将它重新写出如下 进而可以证明 补充选取线性无关的向量 并使得向量组 线性无关。 令 若将 (9-104， 105)式所表示的系统用方框图表示，可 控性分解的意义就能更直观地体现出来， (9-104， 105)式的系统方块图如图 9-12所示。 即可证明 具有定理所要求的 (9-104)的形式。 图 9-12 系统按可控性分解 从图 9-12中可见，控制输入不能直接改变 也不能通过影响 间接改变 ，故 这 一部分状态分量是不受输入影响的，它 是系统中的不可控部分。 由图上还可看出系统的传递函数完全由 图中虚线以上的部分所决定，即传递函 数未能反映系统的不可控部分。 例 9-14 设有系统方程如下 其传递函数为 试进行可控性分解 。 解： 系统的可控性矩阵 由于 S的第 3列是第 1列与第 2列的线性组合， 系统不可控 。 选取 计算出 构成 故有 因而得 三、线性系统的可观测性 设 n维单变量线性定常系统的动态方程为 (9-113,114) 如果在有限时间间隔 0, t1 内，根据输出 值 y(t)和输入值 u(t)，能够唯一确定系统的初始 状态 x(0)的每一个分量，则称此系统是 完全可观 测 的，简称 可观 的。 式中 A,b,c分别为 矩阵。 1、 可观测性的定义 若系统中至少有一个状态变量若系统中至少有一个状态变量 是不可观测是不可观测 (不能被确定不能被确定 )的，则称的，则称 系统不可观。系统不可观。 图 9-13 不可观测系统 分析 (9-117)式，当知道某一时刻的输出时， (9 -117)式是 n个未知量 x(0)的 (一个 )方程，显然不能唯一 确定初值，要解出 x(0) ，必须要利用一段时间上的输入 和输出的值。将 (9-117)式左乘一个列向量，再从 0到 t1积 分就可得到 n个未知数 x(0)的 n个方程。就可利用线性方 程组存在唯一解的条件来研究。 (9-117) 我们考虑没有外作用的系统，可求出 2 可观测性判据 可观测的 充分必要条件 是 (9-118) (9-118)式中的矩阵称为 可观性矩阵 。并记为 V。 式（ 9-118）又可以写成 取 x(0)= ，这一非零的初始状态引起的输出为 （ 9-120） 根据准备知识中的引理，存在 将 代入上式， 得 显然 不可能由 y(t)=0来确定。即系统不可观测。 试判断系统的可观测性。 设系统动态方程为 例题 9-15 解： 系统的可观性矩阵 是奇异的，故系统不可观测。 系统可观性矩阵的秩，在对系统作可逆线性变换下 保持不变，因而可逆线性变换不改变系统的可观测性 。 事实上 因为因为 是可逆阵，所以上式两端矩阵的秩相同。是可逆阵，所以上式两端矩阵的秩相同。 3 对偶原理 上面两个系统的系统矩阵、输入矩阵、输出矩阵之间有确定 的关系，称系统 、 是互为 对偶 的系统。 系统 系统 对偶原理 系统 的可控性 (可观性 )等价于系统 的可观性 (可 控性 )。 只要写出系统 的可控性矩阵 (可观性矩阵 )和系统 的可观性矩阵 (可控性矩阵 )即可证明以上结论。 利用对偶原理，可以将可控性的研究结果应用到可 观测性的研究上。因为对对偶系统的可控性研究就 相当于对原系统的可观性研究。 应用： 若式 (9 113)和式 (9 114)的动态方程中 A 阵具有约当标准形，则系统可观测的 充分必 要条件 为 同一特征值对应的约当块只有一块。 每一约当块的第 1列所对应的 c中的元素 非零。 n上述条件就是约当形动态方程的可观测性判据。它可 以由对偶系统的可控性判据得到。 例 9-16 设动态方程为 试确定系统可观测时 应 满足的条件。 解： 由对偶系统的可控性判据可知，其可控的充要 条件为 这也就是原系统可观测的条件。 构造原系统的对偶系统如下： 4 可观测标准形 一个单输出系统如果其 A,c 阵有如下的 标准形式，它一定是可观测的。 （ 9-122） 式称为单输出系统的可观测标准形 。 （ 9-122） 通过对偶原理证明： 给定系统方程如下 （ 9-123） 若有等价变换 将其化为可观测标准形 式中 具有 (9-122)的形式。 构造原系统的对偶系统 根据对偶原理，因原系统为可观测，所 以其对偶系统一定可控。 化为下列的可控标准形，其变换矩阵为 P. 因此有 （ 9-134 ） 比较上面两组式子，可知欲求之线性变换矩阵 它可将系统方程化为可观测标准形。 例 9-17 系统动态方程为 将系统动态方程化为可观标准形， 并求出变换矩阵。 解： 显然该系统可观测，可以化为可观标准 形。写出它的对偶系统的 A,b阵，分别为 根据 A,b阵，按化可控标准形求变换阵的 步骤求出 P阵： 计算可控性矩阵 S 由 (9-128)式求出 P阵 由 (1-60)式求出 M阵 式中 5 系统按可观性进行分解 系统可观测，则通过等价变换可以化为可观测标准形 。现在研究系统不可观的情况，它是系统不可控的对 偶结果。 若 (9-113， 114)的系统不可观测，且 则存在可逆矩阵 P，将动态方程化为 式中 是 n2维向量 , 是 n-n2维向量，并且 （ 9-137） （ 9-135） （ 9-136） (9-135,136)的式子也可用图 9-14表示。 这可以用前面证明可观标准形的方法论证。 (9-137)式表明 n2维的子系统 (A1 b1 c1 )是可 观的； 这部分状态变量是不可观的； (9- 138)式表明传递函数未能反映系统的不可观部 分。 系统按可观性分解的结 果 (9-138) 图 914 系统按可观测性分解 由图上可以看出传递函数完全由图中虚线以上的部分所 决定，即传递函数未能反映系统中不可观测的部分。 四、可控性、可观测 性与传递函数的关系 （ 9-141） 对应的传递函数为 （ 9-140 ） 考虑单变量系统，其动态方程为 1、 可控性、可观测性与零、极点对消问题 式中： N(s)=0的根称为传递函数 g(s)的零点， D(s)=0的根称为传递 函数 g(s)的极点。下面是本段的主要结果。 定理定理 动态方程式 (9-140)可控、可观测的充分 必要条件是 g(s) 无零、极点对消，即 D(s)和 N(s) 无非常数的公因式 。 证明： 首先用反证法证明条件的必要性，若有 s=s0既使 N(s0)=0，又使 D(s0)=0，由 (9-141)式即得 (9-143)利用恒等式 可得 (9-144) 将 s= s0代入 (9-144)式，并利用 (9-143)式，可得 (9-145) 将上式前乘 c、后乘 b后即有 （ 9-146） 将 (9-145)式前乘 cA、后乘 b后即有 （ 9-147） 依次类推可得 这组式子又可写成 出现矛盾，矛盾表明 N(s)和 D(s)无相同因子，即 g(s) 不会不会 出现零、极点相消的现象。 因为动态方程可观测，故上式中 前面的可观性矩阵是可逆矩阵， 故有 又由于系统可控，不妨假定 A、 b具有可控标准形 (9-92) 的形式，直接计算可知 （ 9-148） 例 9-18 设系统动态方程为 不难验证系统是可控、可观测的。 显然 N(s)和 D(s)无非常数的公因式，这时传 递函数没有零、极点相消。事实上 分别计算 2 传递函数的最小阶 动态方程实现 已知动态方程，可以用 (9-64)式计算出传递函数。如 果给出传递函数如何找出它所对应的动态方程？这一问题 称为 传递函数的实现 问题。 如果又要求所找出的动态方程阶数最低，就称为 传 递函数的最小实现 问题。 设给定有理函数 (9-149) (9-149)式中的 d 就是下列动态方程中的直接传递部分 (9-150) 所以只需讨论 (9-149)式中的严格真有理分式部分。 给定严格真有理函数 (9-151) 要求寻找 A,b,c，使得 (9-152) 并且在所有满足 (9-152)式的 A,b,c中，要求 A 的 维数尽可能的小。下面分两种情况讨论 可控标准形的最小阶实现式 (9-153) 对 (9-151)式，可构造出如下的实现 (A ,b,c) (9-153) （ 1） g(s)的分子和分母 无非常数公因式的情况 (9-154) 可观标准形的最小阶实现 (9-153)式给出的 (A, b, c)具有可控标准形，故一定是可控 的。可直接计算它对应的传递函数就是 (9-151)的传递函 数。由于 g(s)无零、极点对消，故可知 (9-153)式对应的动 态方程也一定可观。同样可以说明 (9-154)式是 (9-151)的 可观标准形的最小实现。 若 g(s)的分母已经分解成一次因式的乘积，通过部分 分式分解，容易得到约当标准形的最小阶实现。现用例 子说明 ,设 g(s)有以下的形式 (9-155) 约当标准形的最小阶实现 因为 g(s)无零、极点对消，故可知上式中 c1c4均不为零。 令 分别对应于 而 综合上面各式并令 x=x1 x2 x3 x4T 可得 由若当形方程的可控性判据和可观测性判据可知上式是 可控、可观测的，因而它是 g(s)一个最小阶实现。 若 g(s)的分母是 n阶多项式，但分子和分母有相 消的公因式时 ,这时 n 阶的动态方程实现就不是最小 阶实现，而是非最小实现， (或是不可控的，或是不 可观的，或是既不可控也不可观的 )。 g(s)的最小 实现的维数一定小于 n。 （ 2） g(s)的分子和分 母有相消因式的情况 例 9-19 设 g(s)的分子 N(s)=s+1,而分母 D(s)= ， 分子与分母有公因子 (s+1) 。 仿照 (9-153)式，可写出 g(s)的一个三维的可控标准形实现 无须验证这个实现是可控的 因此这一实现是不可观的。同理，如果按 (9-154)式构造如 下的可观测标准形的三维实现，它一定是不可控的。 计算可观测性矩阵 当然也可以构造出 g(s)的既不 可控又不可观测的三维实现。 现在将分子和分母中的公因式消去 ，可得 如果用上式中最后的式子，仿照 (9-153)式或 (9-154) 式，构造出二维的动态方程实现，它是 g(s)的最小实现 。 9-3 状态反馈与状态观测器 本节首先研究用状态变量作反馈的控制方式。系统的 动态方程如下 (9-157) 令 (9-158) 一、 状态反馈和极点配置问题 式中的 v 是参考输入， k称为 状态反馈增益矩阵 ，这 里它是 1n 的向量。 返回子目录 图 9-15 (9-159) 图 9-15所示的闭环系统的状态空间表达式为 式中 A-bk为闭环系统的系统矩阵。 将 (9-157)式和 (9-158)式用方框图 表示，见图 9-15，它是一个闭环系 统。 计算 (9-159)式闭环系统的可控性矩阵，因为 1 状态反馈不影响可控性 上式中最后一个矩阵显然是非奇异矩阵，因此有 (9- 160) 因此有 式 (9-160)表明，若原来系统可控，加上任意的状态反 馈后，所得到的闭环系统也可控。若原来系统不可控 ，不论用什么 k 阵作状态反馈，所得到的闭环系统仍 然不可控。这一性质称为 状态反馈不改变系状态反馈不改变系 统的可控性。统的可控性。 状态反馈可能改变系统的可观测性 。 即原来可观的系统在某些状态反馈下，闭环可以是不 可观的。同样，原来不可观的系统在某些状态反馈下 ，闭环可以是可观的。状态反馈是否改变系统的可观 测性，要进行具体分析。 例 9-20 系统的动态方程如下 下表列出了系统 c 阵参数、状态增益 向量 k 和系统可观测性的关系。 可观 任意 可观01 可观 1 111 不可观 1 2 可观11 不可观 0 110 可观 1 1 不可观10 闭环系统 k 原系统 c2 c1 可观性的变化可以从闭环传 递函数的极点变化、是否发生零 极点对消来说明。 2 状态反馈对闭环特征值的影响 闭环方程 (9-159)中的系统矩阵 A-bk的特征值， 一般称为闭环的极点。闭环系统的品质主要由闭环的 极点所决定，而稳定性则完全由闭环极点所决定。 通过选取反馈增益阵来改变闭环特征值在复平面上的 位置，称为 状态反馈进行极点配置问题 。 证明： 定理： 闭环方程 (9-159) 的系统矩阵 A-bk 的特征值可以由 状态反馈增益阵 k 配置到复平面的任意位置，其充分 必要条件是 (9-157)式的系统可控。 先证充分性 因为 (9-157)式的系统可控 ,则存在可逆矩阵 P，将 (9 -157)式的系统通过 的变换化为可控标准形。 式中 (9-161) 现引入 （ 9-162） 这时 (9-158)式的状态反馈式可写为： 考虑矩阵 它的特征式为 由于 故 的特征式即是 的特征式，所以 和 有相同的特征值。 设任意给定的闭环极点为 , 且 (9-166) 式中 完全由 所决定。比较 (9-165a) 式和 (9-166)式可知，若要 (9-166)的根为 ，需有 (9-167) 这说明任意给定闭环 n个极点，均可通过 (9-167) 、 (9- 163)式确定，使 A-bk具有给定的 n个特征值，充分性证毕 。 必要性 若系统 (9-157)可任意配置闭环特征值，要证明系统 (9-157)可控。用反证法，若系统 (9-157)不可控，则存在 一个可逆矩阵，通过等价变换后，可将 (9-157)式转换为 (9-104， 105)的可控分解形式。考虑矩阵 A4的特征值不受 的影响，即 A-bk中的一部分特征值不受 k 的影响，这与可任意配置 A-bk的特征值相矛盾。矛盾表明系 统 (9-157)可控。 以上定理的充分性证明中，已给出 通过可控标准形来选择 k阵，使闭环具 有任意要求的特征值的计算步骤，现归 纳如下 计算 A的特征式 由所给的 n 个期望特征值 ， 计算期望的多项式 根据 (9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵 P 求出反馈增益阵 上述步骤中有化可控标准形这一步。如 果不经过这步，也可直接求 k。 求 系统状态方程为 若加状态反馈使闭环特征值分布为 -1,-2,-1+j,-1-j，试求状态反馈 增益阵 k。 例 9-21 方法一、通过化可控标准形求解 计算 A的特征式 由所给的 4 个期望特征值，计算期望的多项式 解： 求出反馈增益阵 =-0.4 -1 -21.4 -6 根据 (9-94) 式，计算化可控标准形的坐标变换阵 P 求 方法二： 令 ，计算 A-bk的特征式 比较两个特征式的系数可得 所以可得 k=-0.4 -1 -21.4 -6 最后强调： 在极点配置定理中， “任意配置 ”是和系统可控等价 的。若不要求任意配置，就不一定要求系统可控。因此 给定一组期望的特征值，只有它包含了所有不可控部分 的特征值时，才是可配置的。 例 9-22 设系统状态方程为 这一系统是不可控的。 若指定闭环特征值 -2,-2,-1,-1,-2,-2,-2,-1 令 有 所以 令 对 -2,-2,-2,-1 所以有 但若指定闭环特征值为 -2 ,-2,-2,- 2 ， 就找不出 k来达到这一配置要求。 例 9-23 有一系统的传递函数为 要求用状态反馈的方法，使得闭环系 统的特征值为 -2,-1+j,-1-j。 解： 首先要将系统用状态方程写出，即构造出传递函数的实 现，为了计算方便，取可控标准形实现 反馈增益向量 k可写成 闭环系统的特征方程为 状态反馈系统的方框图如图 9-16所示。 按给定极点，期望多项式为 比较上两特征多项式，令 s同次的系数相等，可得 或 k=4 4 1 图 9-16 例 9-23在引入状态反馈后的结构图 二、状态观测器 为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在 实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。因 此为了实现状态反馈控制律，就要设法利用巳知的信息 （输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行 估计。 状态观测器又称状态渐近估计器。 图 9-17 状态的开环估计 一个明显的方法是利用计算机 构成一个与实际系统具有同样动态 方程的模型系统，用模型系统的状 态变量作为系统状态变量的估计值 ，见图。 由于图 9-17中未能利用系统的输出信 息对误差进行校正，所以用图 9-17得到的 估计值是一个开环估值。 一般系统的输入量 u和输出量 y均 为已知，因此希望利用 y=cx与 的偏差信号来修正 的值，这样就 形成了图 9-18的闭环估计方案。 图 9-18 状态的闭环估计方 案 根据图 9-18所表示的关系可写 出观测器部分的状态方程 (9-169) 由 (9-169)式和系统方程式可求出观测误差 应满足的方程式 (9-170) (9-170) 式表明，只要 A-Hc的特征值均在复平面的左 半部， 随着 t 的增长而趋向于零，而且趋于零的 速度由 A-Hc 的特征值所决定。于是有下面 极点可任 意设置的状态观测器定理 定理 ： 若系统 (A b c)可观测 , 则 (9-169)式给 出了系统的一个 n 维状态观测器，并且观测器的极点可 以任意配置。 例 9-24 系统的动态方程为 试设计一个状态观测器，观测器的 特征值要求设置在 -10 ,-10 。 解： 将观测器增益矩阵 H 写成 观测器的特征方程为 根据给定的特征值，可求出期望的多项式为 比较上述两多项式中 s的同次项系数得 因此观测器的方程为 三、由被控对象、观测器和 状态反馈构成的闭环系统 若原系统 (对象 )方程为 (9-171) 现以状态观测器所得到的状态估计值 代替原 系统的状态变量 x 形成状态反馈，即 (9-172) 而观测器的方程为 (9- 173) 由对象、观测器和状态反馈 组合而成的闭环系统的方框图如 图 9-19所示。 图 9-19 带观测器的状态反馈系统 将 (9-172)式代入 (9-171)式和 (9-173)式， 可分别得到 (9-174) (9-175) 取状态变量为 (9-176) (9-177) 将 (9-176) 、 (9-177)式的动态方程 进行如下的坐标变换 (9-178) 所得到的动态方程为： (9-179) (9-180) 闭环系统的传递函数可以通过 (9-179)式、 (9-180)式来计算。 从 (9-179)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可 计算如下 (9-181) 上式表明 , 图 9-19所示闭环系统的特征式等于矩阵 A -bk 与矩阵 A-Hc 的特征式的乘积，而 A-bk 是状态反馈系 统的系统矩阵， A-Hc是观测器的系统矩阵， (9-181)式表 明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独 立的。 这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环 极点配置的需要选择反馈增益阵 k，然后按观测器的动态 要求选择 H， H的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的 极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行， 这个原理通常称为 分离定理 。 通常把反馈增益阵和观测器 一起称为 控制器 图 9-20 控制器 例 9-25 设系统传递函数为 希望用状态反馈使闭环的极点为 - 46j ，并求实现这个反馈的状态观 测器，观测器的极点设置在 -10， -10 。 解： 由系统的传递函数可知 ,其二阶动态方程实 现是可控且可观的。为了设计观测器方便，现取 可观标准形实现，即 根据题意要求闭环特征方程为 令两个特征式对应的系数相等，可解出 k1=2, k2=40。 再求观测器，根据极点的要求，期望多项式为 令 , 使 求状态反馈 k，令 k=k1 k2 。求出状态反馈后闭环 系统的特征多项式 与期望多项式相比 ,得到 h1=100, h2=14。 由式可计算出观测器方程为 由对象、状态反馈和观测器构成的整个 闭环系统的方框图如图 9-21所示。 图 9-21 例 9-25的反馈控制系统 （ 9-183） 它在零初始条件的输出 9-4 有界输入、有界输出稳定性 设系统的动态方程为 （ 9-182） 令