上海市杨浦区2011年第一学期高三年级期末数学试卷(理)

杨浦区 2010 学年度高三学科测试 数学试卷（理科） 2011.1. 考生注意： 1答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号 2本试卷共有 23 道题，满分 150 分，考试时间 120 分钟 一填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分 1若复数 满足 ，则 _z12iz 2抛物线 24yx的焦点到准线的距离是 . 3函数 的定义域为 .2log1f 4已知等差数列 首项为 1，公差为 2若 时，则项数 na7kak 5若 是奇函数，则实数 2xf 6函数 的最小正周期是 .2sicox 7在 的二项展开式中， 的系数是_（用数字作答） 5()x3 8计算： . 2lim1nn 9设 的内角 的对边分别为 若 ，ABC C、 、 abc、 、 3160cB， ， 则角 10.若经过点 且以 为方向向量的直线 与双曲线 相交于不同(0,2)P1,dl2yx 两点 、 ，则实数 的取值范围是 .a - 2 - 11若全集 ，不等式 0 的解集为 ，则 .UR231xA 12若 为第二象限的角， ，则 .sin5cot2 13若直线 被两平行线 与 所截得线段的长为 ，则直m1:0lxy:30lxy2 线 的倾斜角是 . 14如图，已知 的面积为 ， OAPS1AP 设 ， ，并且以 为中心、 为焦点的椭 |(2)c34cO 圆经过点 当 取得最小值时，则此椭圆的方程为 .| 二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在 答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得 5 分，否则一律得零分. 15函数 ，若 ，则 的值为 ( 3()sin1()fxxR()2fa()fa ) . . . .2AB0C1D 16 “ ”是“函数 在 上是增函数”的 ( )afxa2, 充分非必要条件. 必要非充分条件. 充要条件. 即非充分也非必要条件.CD 17 已知点 的坐标为 ， 为抛物线 的焦点若点 在抛物线上移动，A32,F2yxP 当 取得最小值时，则点 的坐标是 ( PFP ) y P xo A - - 3 - - . . . . A2,1B2,C2,D6,3 18已知 的面积是 ，内角 所对边分别为 ， C 30A、 、 abc、 、 12osA 若 ，则 的值是 ( cba ) . . . 不确定.A3B4C5D 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规 定区域内写出必要的步骤 . 19 （本题满分 12 分） 已知函数 （ 且 ）的反函数 定义域为集合 ，12xfa01a1()yfxA 集合 若 ，求实数 的取值范围|,BtRABt - 4 - 20 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 设函数 的最大值为 ，最小值为 ，203fxxamn 其中 0,aR （1 ）求 的值（用 表示） ；mn、 （2）已知角 的顶点与平面直角坐标系 中的原点 重合，始边与 轴的正半轴重xOyx 合，终边经过点 求 的值 1,3Ansi6 21 （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分 已知数列 的前 项和 满足条件 ，其中 nanS3()nanN （1 ）求证：数列 成等比数列； （2 ）设数列 满足 若 ，求数列 的前 项和nb3lognnancbnc - - 5 - - 22 （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 在上海世博会期间，某工厂生产 三种世博纪念品,每种纪念品均有精品型和普通型,ABC 两种.某一天产量如下表(单位:个): 现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取 200 个,其中有 种纪念品 40 个.A （1） 求 的值； n （2） 从 种精品型纪念品中抽取 5 个,其某种指标的数据分别如下:B .把这 5 个数据看作一个总体, 其均值为 10、方差为 2,求 的值；,0,9xy xy （3） 用分层抽样的方法在 种纪念品中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总C 体,从中任取 2 个纪念品,求至少有 1 个精品型纪念品的概率. 纪念品 纪念品 B纪念品 C 精品型 100 150 n 普通型 300 450 600 - 6 - 23 （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 给定椭圆 ： ，称圆心在坐标原点 ，半径为 的圆是C 21xyab0aO2ab 椭圆 的“伴随圆” （1）若椭圆 过点 ，且焦距为 ，求“伴随圆”的方5,4 程； （2）如果直线 与椭圆 的“伴随圆”有且只有一个32xyC 交点，那么请你画出动点 轨迹的大致图形；,Qab （3）已知椭圆 的两个焦点分别是 ，C12,0,0F、 椭圆 上一动点 满足 设点 是椭圆 的“伴随圆”上的动1M1123PC 点，过点 作直线 使得 与椭圆 都各只有一个交点，且 分别交其P2l、 l、 C12l、 “伴随圆”于点 N、 研究：线段 的长度是否为定值，并证明你的结论 - - 7 - - 杨浦区 2010 学年度高三学科测试 参考答案及评分标准 说明: 1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中 评分标准的精神进行评分. 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给 分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分. 3. 第 19 题至第 23 题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分 数. 4. 给分或扣分均以 1 分为单位. 一、填空题 1；2； ； ； ；7. 10；8. 2；9. ,0,12 ；03 10 ；11 ；12.文 理 ；13. 5,3,3,15 0,7524 或017 - 8 - 14. 文 , 理 ;,tan4rc2106xy 二、 选择题 15 ；16. ；17. ； 18. ；CABC 三、 解答题 19解法： 由题意得，函数 （ 且 ）值域为12xfa01a2, 所以， 的定义域为 1()yfx,A 分 又由 得 |,2BtR 12txt 8 分 ， 即 A1,t52t 分 所以，实数 的取值范围t 为 分25, 解法：由函数 得 （ 且 ）12xfa1()log21ayfx0a1 所以， 的定义域为 1()y,A 分 （以下解法同上） 20解（） 由题可得 而 分21fxa03x 所以， 分,mfnf - - 9 - - （）文科 角 终边经过点 ，,Aa 则 分tan1 所以， 分 tatn13ta 231 理科 角 终边经过 点 分,Aa 当 时， 则02ra22sin,cosaa 所以， 分26sinsincosin664 当 时， 0a2raa 则 2sin,cos 所以， 分26sinsincosin664 综上所述 或 i 分 21. 解：（1）由题得 113()(22nnnaSa - 10 - 分 所以 故13na 有 分1(2)n 又 ，解得 ，113Sa13a 所以 数列 成等比数n 列 分 （） 文科 由（）得 ，3na 则 分33loglnnnba 故有 1ntb 所以 分123 1234nttt n 11 分 1n 分 理科 由（）得 ，3na 则 分3loglnnb 故有 ncb - - 11 - - 设 123133nnnT 4 分 则 12311 3()3nnnnnT 所以 14nn 分 22. （）解：设这一天生产的纪念品为 ，m 由题意得， 20,2013m 分 所 以 546n 分 （）由题得 则 分101905xy20xy 由于 得 分222251208xy 从而 ,9xyxy 即 22124 分 （）设所抽样本中有 个精品型纪念品，则p0,5p 也就是抽取了个精品型纪念品，个普通型纪念2p 品 分 所以，至少有 1 个精品型纪念品的概率 - 12 - 为 分 253710C （其他解法，参照给分） . （）解 由题意得： ， 2501ab 则 分25a 又由焦距为 ，所以 焦距4c 为 分221b 故所求的“伴随圆”的方程 为 分26xy （）由于椭圆 的“伴随圆” 与直线 有且只有一个交点，C22xyab32xy 则圆心到直线的距离等于半径， 即 22 031ab 分 故动点 轨迹方程为 ,Q290ab 即动点的轨迹是：以原点为圆心半径为的圆上八分之一弧（除去两端点）如 图 分 （）由题意得： 得 ，半焦距23aa2c 则 椭圆 的方程为 “伴随圆”的方程为1bC21xy24xy - - 13 - - 11 分 文科 因为“伴随圆”的方程为 与 轴正半轴的交点 ，设过点24xy0,2P ，且与椭圆有一个交点的直线为 ，0,2P2kx 则 整理213 ykx 得 4 分290kx 所以 ，解得21413k1k 所以 ， 的方程为 ，l2yx 分yx 由于 ， 垂直，线段 的长度为1l2MN 分 理科 当 ， 中有一条无斜率时，不妨设 无斜率，1l2 1l 因为 与椭圆只有一个交点，则其方程为 或 ，3x 当 方程为 时，此时 与“伴随圆”交于点 ， ，1l3x1l,13, 此时经过点 （或 ）且与椭圆只有一个公点的直线 （或 ） ，,y1 即 为 （或 ）显然直线 ， 垂直；2ly1l2 同理可证 方程为 时 ，直线 ， 垂直，所13x 1l2 以 13 分4MN 当 ， 都有斜时，设点 ，其中 。设经过点 与椭圆1l20,Pxy204xy0,Pxy - 14 - 为只有一共点的直线为 ，则 消去 ，0ytxy0213txy