2009年北京市东城区初三数学一模试题及答案

2009 年北京市东城区中考数学一模试卷 一、选择题(8 个小题，每小题 4 分，共 32 分) 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1计算2009的结果是( ) A2009 B C2009 D20912091 2函数 的自变量 x 的取值范围是( )2xy Ax2 Bx2 Cx 2 Dx2 3我国 2008 年国内生产总值超过 300 000 亿元，比上一年增长 9将数据 300000 亿元用科学记数法表示为( ) A310 5 亿元 B3010 4 亿元 C0.310 6 亿元 D310 4 亿元 4下列运算正确的是( ) Aa 2a 4a 6 Ba 2a4a 6 C(a 4)2a 6 Da 6a2a 3 5若一个正 n 边形的一个外角为 36，则 n 等于 A4 B6 C8 D10 6如图，点 O 在A 外，点 P 在线段 OA 上运动以 OP 为半径的(O 与A 的位置关系不可能是下列中的( ) 第 6 题图 A外离 B相交 C外切 D内含 7在共有 15 人参加的“我爱祖国”演讲比赛中，参赛选手要想知道自己是否能进入前 8 名，除了需要了解自 己的成绩外，还需要了解全部成绩的( ) A平均数 B众数 C中位数 D方差 8在正方体的表面上画有如图中所示的粗线，图是其展开图的示意图，但只在 A 面上画有粗线，那么将 图中剩余两个面中的粗线画入图中，画法正确的是( ) 第 8 题图 二、填空题(4 个小题，每小题 4 分，共 16 分) 9如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130，250，则3_ 第 9 题图 第 11 题图 10在实数范围内分解因式：x 2y6xy9y _ 11如图，AB、CD 是水平放置的轮盘(俯视图) 上两条互相垂直的直径，一个小钢球在轮盘上自由滚动，该小钢 球最终停在阴影区域的概率为_ 12按一定规律排列的一列数依次为： ， ， ， ， ， ，按此规律排列下去，这列数中的第 9213015263 个数是_ 三、解答题(5 个小题，每小题 5 分，共 25 分) 13计算： 0209 2 (1(3sin41 14解不等式组 .65)3(2,14x 15解方程： 12x 16如图，已知 D 是ABC 的边 AB 上一点，FCAB，DF 交 AC 于点 E，DE EF求证：E 是 AC 的中点 第 16 题图 17已知：x2y 0，求 的值)(2yxyx :第 3 页 共 13 页: 四、解答题(2 个小题，每小题 5 分，共 10 分) 18如图，梯形 ABCD 中，ADBC，B45，D 120，CD4 cm，求3 AB 的长 第 18 题图 19阅读对人成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生每年的 4 月 23 日被联合国教科文组织确定 为“世界读书日” 如图是某校全校三个年级学生人数分布扇形统计图，其中八年级人数为 350 人，表(1) 是该校学生阅读课外书籍情况统计表请你根据图表中的信息，解答下列问题： (1)求该校九年级的人数占全校总人数的百分率 (2)求出表(1)中 A、B 的值 (3)该校学生平均每人读多少本课外书? 第 19 题图 图书种类 频数 频率 科普常识 B 0.2 名人传记 500 0.25 漫画丛书 800 A 其他 300 0.15 五、解答题(3 个小题，每小题 5 分，共 15 分) 20某商场用 36 万元购进 A，B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表： A B 进价(元件) 1200 1000 售价(元件) 1380 1200 (注：获利售价进价) 求该商场购进 A，B 两种商品各多少件 21已知：如图，在ABC 中，ABAC ，点 D 是边 BC 的中点以 BD 为直径作圆 O，交边 AB 于点 P，连结 PC，交 AD 于点 E (1)求证：AD 是圆 O 的切线； (2)若 PC 是圆 O 的切线，BC8，求 DE 的长 第 21 题图 :第 5 页 共 13 页: 22如图，反比例函数 的图象过矩形 OABC 的顶点 B，OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，xy8 OAOC21 (1)设矩形 OABC 的对角线交于点 E，求出 E 点的坐标； (2)若直线 y2xm 平分矩形 OABC 面积，求 m 的值 第 22 题图 六、解答题(3 个小题，共 22 分) 23(本题满分 7 分)已知：关于 x 的一元二次方程 x22(2m3) x4m 214m80 (1)若 m0，求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若 12m 40 的整数，且方程有两个整数根，求 m 的值 24(本题满分 7 分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板 ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上， 且点 A(0，2) ，点 C(1，0) ，如图所示，抛物线 yax 2ax2 经过点 B (1)求点 B 的坐标； (2)求抛物线的解析式； (3)在抛物线上是否还存在点 P(点 B 除外) ，使ACP 仍然是以 AC 为直角边的 等腰直角三角形?若存在，求所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 第 24 题图 :第 7 页 共 13 页: 25(本题满分 8 分)请阅读下列材料： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等即如图，若弦 AB、CD 交于点 P 则 PAPBPC PD请你根据以上材料，解决下列问题 已知O 的半径为 2，P 是 O 内一点，且 OP1，过点 P 任作一弦 AC，过 A、C 两点分别作O 的切线 m 和 n，作 PQm 于点 Q，PRn 于点 R(如图) (1)若 AC 恰经过圆心 O，请你在图中画出符合题意的图形，并计算： 的值；PRQ1 (2)若 OPAC，请你在图中画出符合题意的图形，并计算： 的值；1 (3)若 AC 是过点 P 的任一弦(图)，请你结合(1)(2) 的结论，猜想： 的值，并给出证明PRQ 第 25 题图 2009 年北京市东城区中考数学一模试卷 答 案 一、选择题 1.C 2B 3A 4B 5D 6D 7C 8A 二、填空题 920 10y( x3) 2 11 1212 三、解答题 13原式42112 14解： ,65)3(1x 解不等式得 x1 解不等式得 x4 原不等式组的解集为4x1 15解：方程两边都乘以 x(x1)， 得 x22( x1)x(x1)， 解这个方程，得 x 32 经检验，x 是原方程的根 原方程的根是 x 16证明：FCAB，ADFF 又AEDCEF ，DEEF，ADECEF (SAS)AECE 即 E 是 AC 的中点 17解： )(2yxyx)()(2 .yx x2y， 原式 35 四、解答题 18解：过点 A、D 分别作 AEBC、DFBC，垂足分别为点 E、F AEB DFC90 ADBC，D120， :第 9 页 共 13 页: C60 在 Rt DFC 中， DFC90 ，C 60，CD4 3 623460sinDF 易证：四边形 AEFD 为矩形AE DF 6 在 Rt AEB 中，AEB90，B45， cm2/645sinAE 第 18 题答图 19解：(1)1253540 (2)A1 0.20.250.150.4 5000.252000 B2000500800300400 A 的值为 0.4，B 的值 400 (3)350351000 200010002 该校学生平均每人读 2 本课外书 五、解答题 20解：(1)设购进 A 种商品 x 件，B 种商品 y 件 根据题意，得 ,60)120()1380(,36 化简，得 ,956yx 解得 .120, 答：该商场购进 A，B 两种商品分别为 200 件和 120 件 21(1)证明：ABAC，点 D 是边 BC 的中点， ADBD 又BD 是圆 O 直径， AD 是圆 O 的切线 (2)解：连结 OP，由 BC8，得 CD4，OC6，OP 2 PC 是圆 O 的切线，O 为圆心， OPC90 由勾股定理，得 PC4 2 在OPC 中， 42tanPC 在DEC 中， ，42tanDCE tDCE 第 21 题答图 22解：(1)由题意，设 B(2a，a)(a0)，则 a ,a 28 B 在第一象限， a2，B(4 ， 2)， 矩形 OABC 对角线的交点 E 为(2，1) (2)直线 y2xm 平分矩形 OABC 必过点(2 ，1)， 122mm3 第 22 题答图 六、解答题 23(1)证明： 2(2m3) 24(4m 214m8)8m4 m0，8m40 方程有两个不相等的实数根 (2) 12)3(248)3( x 方程有两个整数根，必须使 为整数且 m 为整数 又12m40，252m181 95 令 ， 6235 令 ， 7124 令 ， 8m m24 24解：(1)过点 B 作 BDx，垂足为 D， BCDACO90，ACOOAC90， BCDCAO 又BDCCOA90；CB AC ， BCDCAO， BDOC1，CDOA2， 点 B 的坐标为(3，1) (2)抛物线 yax 2ax 2 经过点 B(3，1)， 第 24 题答图 则得到 19a3a2， :第 11 页 共 13 页: 解得 ，抛物线解析式为 21a 212xy (3)方法一： 若以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点， 则可以设直线 BC 交抛物线 于点 P1，212xy 由题意，直线 BC 的解析式为： ， 解得 (舍) ,21,2xy,13y.1,2yx P 1(1，1) 过点 P1 作 P1Mx 轴于点 M， 在 Rt P1MC 中， 521C CP 1AC ACP 1 为等腰直角三角形 若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点； 则过点 A 作 AFBC，交抛物线 于点 P2，12xy 由题意，直线 AF 的解析式为 ， 解得 (舍) ,21,2xy,41y.1,2yx P 2(2，1) 过点 P2 作 P2Ny 轴于点 N， 在 Rt AP2N 中， ，522A AP 2AC， ACP 2 为等腰直角三角形 综上所述，在抛物线上存在点 P1(1，1) P2(2，1)，使 ACP 是以 AC 为直角边的等腰直角三角形 方法二： 若以 AC 为直角边，点 C 为直角顶点， 则延长 BC 至点 P1，使得 P1CBC ，得到等腰直角三角形 ACP 1，过点 P1 作 P1Mx 轴 CP 1BC，MCP 1BCD，P 1MCBDC90， MP 1C DBC， CMCD2，P 1MBD1，可求得点 P1(1，1)； 经检验点 P1(1， 1)在抛物线 上，使得 ACP 1 是等腰直角三角形22xy 若以 AC 为直角边，点 A 为直角顶点；则过点 A 作 AP2CA，且使得 AP2AC， 得到等腰直角三角形ACP 2，过点 P2 作 P2Ny 轴，同理可证 AP 2NCAO， NP 2OA2，ANOC1 ，可求得点 P2(2，1)， 经检验点 P2(2， 1)也在抛物线 上，使得 ACP 2 也是等腰直角三角形1xy 25解：(1)AC 过圆心 O，且 m，n 分别切O 于点 A，C，如图所示， 第 25 题答图 ACm 于点 A，ACn 于点 C，Q 与 A 重合，R 与 C 重合，OP1，AC4， 3411PRQ (2)连结 OA，如图 所示， OPAC 于点 P，且 OP1，OA 2， OAP30， AP 3 OA直线