2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案-《正弦、余弦函数的周期性》教案(广东彭

正弦、余弦函数的周期性教案 广东省东莞中学松山湖学校 彭 科 一、教材分析： 正弦、余弦函数的周期性是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第 二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性本节课是学生学习了 诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨正弦、余弦函 数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的 重要补充通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析 问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研 究三角函数的其它性质打下基础所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究 的前驱，起着承前启后的作用 二、教学目标： 学情分析： 学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力 上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、 类比、特殊到一般等数学思想 本课的教学目标： (一)知识与技能 1理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性 2会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法 从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与 y=sinx 图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数 y=sinx 的 周期性，通过类比研究余弦函数 y=cosx 的周期性 (三)情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让 学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力 三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期. 五、教学准备：三角板、多媒体课件 六、教学流程： 创设问题 情境引入 复习回顾 引入新知 课堂 反馈 余弦函数 的周期 巩固周期 函数定义 构建周期 函数定义 正弦函数 的周期 知识 应用 课堂 小结 七、教学过程： 预计 时间 （分） 教学程序 教师活动 学生活动 备注 1 分钟 创设问题 情境引入 问:生活中有哪些周而复始 现象？ 问:数学中有哪些周期现象? 学生举例 从生活中的 周期现象引入， 激发学生的学 习兴趣. 2 分钟 复习回顾 引导学生回顾： 1诱导公式（一） 2正弦线 3利用正弦线画正弦函数 图象（动画演示）. 学生回顾诱导公式（一） 学生观察动画演示 引导学生回 顾旧知为本课 做准备. 通过动画演 示让学生直观 感知周而复始 的变化规律. 10 分钟 构建周期 函数定义 问:正弦函数 y=sinx 图象有 什么特征？ 问:图象呈周期性变化怎样 用数学表达式表示? (让学生再次观察动画演示) 正弦函数图象的周而复始 的变化实际上就是函数值 的周而复始的变化. sin(2+x)=sinx 这个结论 可由图象观察分析得到， 也可由诱导公式得到. 问: 对于 sin(2+x)=sinx, 若记 f(x)=sinx,则对于任意 xR,都有 f( )=f( ) 给出周期函数及周期 的定义. 答：由动画演示观察可 得：正弦函数图象具有 周而复始的变化规律 答：即 sin(2+x)=sinx, 由诱导公式也可得： sin(2+x)=sinx, 抽象概括： 设 f(x)=sinx,则对于任 意 xR,都有 f(x+2) =f(x) 周期函数定义: 一般地，对于函 数 f（x），如果存 在一个非零的常数 T，使得定义域内的 每一个 x 值，都满足 f(x+T)=f(x)，那么 函数 f（x）就叫做 周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周 期. 通过对正弦 函数 y=sinx 图象观察、分 析，结合诱导 公式，构建出 周期函数的定 义，主要是立 足于从学生的 最近思维区入 手，着力于知 识建构，培养 学生观察、分 析和抽象概括 能力,并进一步 渗透数形结合 思想方法 预计 时间 （分） 教学程序 教师活动 学生活动 备注 2 分钟 正弦函数 的周期和 最小正周 期的定义. 问: 正弦函数的周期为多少? 问: 在正弦函数的周期中, 最小正数是多少? 给出最小正周期的定义 答: 、 、 、246 2k(kZ 且 k0) 都 是它的周期 答: 让学生理解最 小正周期的定 义 培养学生的 数形结合能力 9 分钟 巩固周期 函数定义 判断题： 1.因为 ,sin()i42 所以 是 的周期.yx 2.周期函数的周期唯一 3.常数函数 f(x)=5 是周期函 数. （分四人一组进行讨论,再 由学生发表看法.） 引导学生做完判断题后谈 一谈体会 答:1.错 举反例:sin()i32 2.错（结合正弦函数周 期分析） 3.对（结合定义分析） 学生谈体会： 1. 周期的定义是对定 义域中的每一个 值来x 说的. 2.周期函数的周期不唯 一. 3.周期函数不一定存在 最小正周期. 说明:今后不加特殊说 明，涉及的周期都是最 小正周期. 为了帮助 学生正确理解 周期函数概念， 防止学生以偏 概全，让学生 学会怎样学习 概念；培养学 生透过现象看 本质的能力， 使学生养成细 致、全面地考 虑问题的思维 品质.让学生 在讨论交流中 不断完善自己 的认知结构， 充分感受成功 与失败的情感 体验. 2 分钟 探究余弦 函数的周 期 问题： 余弦函数 y=cosx 是周期函 数吗？即能否找到非零常 数 T，使 cos(T+x)= cosx 成 立？若是，请找出它的周 期，若不是，请说明理由. 学生回答: 余弦函数 y=cosx 是周 期函数，2k(kZ 且 k0)都是它的周期 最小正周期为 2 通过对定 义的理解、余 弦函数图象以 及类比正弦函 数，可以得到 余弦函数是周 期函数，这样 使学生加深对 定义的理解， 培养学生类比 思想和数形结 合能力 预计 时间 （分） 教学程序 教师活动 学生活动 备注 9 分钟 知识应用 例 1求下列函数的最小正 周期 T. 1. ，xfsin3)(R ； 2. ，f2i ； 3. ，)41sin()xf ；R 第 1 题师生共同完成 第 2、3 题学生独立完成 预设：利用课件中的图象 引导学生发现最小正周期 两名学生板演，其余学 生在下面独立完成， 完成后由学生点评. 学生可能的方法： 1.周期函数定义 2.函数图象观察得到周 期 观察学生 对周期函数定 义的掌握情 况 培养学生 的数形结合能 力 4 分钟 课堂反馈 练习： 1等式 是否成00sin(32)si 立?如果这个等式成立,能否 说 是正弦函数 的一个周期？siyx 2.求下列函数的周期:(1)co4,2sRyx 答： 1. 成立 不能 2.(1) 2 (2) 4通过课堂反馈能准确、及时地了解学生对周期函数定义和函数周期求法的掌握情况,做到及时反馈、评价,及时查漏补缺,达到堂堂清. 1 分钟 课堂小结 1.回顾周期函数的定义 2.函数 y=sinx 和函数 y=cosx 周期为多少？. 3.函数周期有多少种求法? 1.周期函数定义: 一般地，对于函数 f（x），如果存在一个 非零的常数 T，使得定 义域内的每一个 x 值， 都满足 f(x+T)=f(x)， 那么函数 f（x）就叫 做周期函数，非零常数 引导学生 对所学知识进 行小结,有利 于学生对已有 的知识结构进 行编码处理, 加强记忆. 课外作业： 求下列函数的周期： (1) ， ；(2) ， ；3sin4xyRsin()10yxR (3) , (4) ，co(2)324x 课外思考： 1. 求函数 和 （其中 为常数，且()sin()fxAx(cos)fAx,A ）的周期0,A 2.求下列函数的周期： （1） ， ；（2） ，|sin|xyR|2cos|xyR 附：板书设计 课题：正弦、余弦函数的周期性 设计意图 1 周期函数定义 例 1 板演及学生演示区 2 正弦函数 y=sinx 的周期为 2 余弦函数 y=cosx 的周期为 . 为了使学生全面 系统地了解本节内容 的知识结构,达到突 出重点,简洁明了的 目的. 附： 1本节课预计学生建构周期函数概念时有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始变 化实际上是函数值的周而复始变化” 的本质学生理解有一定困难.为了突破这个难点，借助 了几何画板来帮助学生从形象思维过渡到抽象思维 2预计部分学生对周期函数定义的自变量的任意性的理解有困难，为了突破这个难点， 设计了三道判断题让学生分组讨论交流，通过学生思维碰撞来体会数学概念的严谨，通过 学生互动建构自己对周期函数概念的认识 3预计部分学生运用周期函数定义求函数周期有一定困难，为了解决这个困难，在设 计中，例第问由师生共同完成，完成后小结解题的思路方法再由学生完成第问和 第问，再由师生共同点评 T 叫做这个函数的周期. 2.函数 y=sinx 和函数 y=cosx 周期均为 2 3周期的求法： 定义法 图象法 教案设计说明 广东省东莞中学松山湖学校 彭 科 正弦、余弦函数的周期性是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二 节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性正弦、余弦函数的周期 性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补 充本课的重点为周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性，难点为周期函数定义及运 用定义求函数的周期.本课的教学设计分为六个部分，包括：教材分析，目标分析（含学情 分析），教学重难点，教学准备，教学流程，教学过程设计反映了由学生熟悉的生活的 周期现象出发，通过概括、抽象，并结合正弦函数的图象引导学生感受周期函数概念的形 成过程，这是设计的数学本质基础；设计中结合本班学生的学习的实际情况，从而确定了 教学活动的环节以这些分析为基础从而确定教学目标，而过程设计则针对目标从九个环 节进行具体的设计教学过程设计自始至终贯穿数形结合思想下面从如下几个方面进行 详细说明 一、教学内容的数学本质及教学目标定位 本节课主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性通过对正弦函数图象 “周而复始”的变化规律特征的感知，使学生建立比较牢固的理解周期性的认知基础，然 后再引导学生了解用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律.本节课要探究的周期函 数的概念的数学本质是从形和数两个方面去刻画 “周而复始”的变化规律 学生在知识上已经学习了函数概念与基本初等函数等知识，已经掌握了三角函数图象 的画法及五点法作图；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法 上已经接触过数形结合、类比、特殊到一般等数学思想 另外，我还对我班学生的具体情 况做了如下分析：我班学生基础知识比较扎实、思维较活跃，学生层次差异不大，能够很 好的掌握教材上的内容，能较好地做到数形结合，善于发现问题，深入研究问题，但是部 分学生处理抽象问题的能力还有待进一步提高 于是，结合以上的学情分析，我从 “知识与技能”、“过程与方法”和“情感态度与 价值观”设定目标.其中知识与技能目标为：理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期 性，会求一些简单三角函数的周期过程与方法则是：从学生实际中的周期现象出发，提 供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与 y=sinx 图形的比较、概括抽象出周期函数的 概念. 运用数形结合方法研究正弦函数 y=sinx 的周期性，通过类比研究余弦函数 y=cosx 的 周期性并且在过程中渗透了本课的情感态度目标： 让学生体会数学来源于生活，体会从 感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功 的喜悦，感受数学的魅力.以上是对教学目标定位的说明 二、教学流程 三、学习基础及作用 本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一 深入探讨正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性 质的基础，是函数性质的重要补充通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能 力，分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去， 为以后研究三角函数的其它性质打下基础正弦函数、余弦函数的周期性，与后面高中物 理研究的单摆运动 、 简谐运动 、 机械波等知识有着密切相关的联系在数学和其 创设问题 情境引入 复习回顾 引入新知 课堂 反馈 余弦函数 的周期 巩固周期 函数定义 构建周期 函数定义 正弦函数 的周期 知识 应用 课堂 小结 它领域（物理学、生物学、医学等）中具有重要的作用，所以，该内容在教材中具有非常 重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁 四、教学诊断分析 1学习正弦、余弦函数的周期性时，用图象法求周期学生容易理解；建构周期函数概 念时学生有困难，特别是“正弦函数图象的周而复始的变化实际上是函数值的周而复始的 变化”的本质学生感到有一定困难. 我首先让学生回顾如何利用 正弦线画正弦函数 y=sinx 图象（动画演示）,通过动画演示，让学生感知正弦函数图象“周而复始”的变化规律，再 引导学生用代数表达式刻画图象“周而复始”的变化规律 2部分学生对周期函数定义中的任意性理解容易出现错误，需要在教学中反复强调. 3本节课充分利用了多媒体技术的强大功能，把现代信息技术作为学生学习数学和解 决问题的强有力工具，使学生乐意投入到现实的、探索性的教学活动中去