2013年天津市十二区县联考数学理科试卷(二)含答案

2013 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二） 数 学(理) 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分.共 150 分.考试时间 120 分 钟 祝各位考生考试顺利！ 第卷 选择题 (共 40 分) 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题 卡规定的位置上 2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号答案不能答在试题卷上 参考公式： 如果事件 、 互斥，那么 AB()()PABP 柱体的体积公式 . 其中 表示柱体的底面积, 表示柱体的高.ShVh 锥体的体积公式 . 其中 表示锥体的底面积, 表示锥体的高.31 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1. 在复平面内，复数 （ 是虚数单位）所对应的点位于i42 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 2. 执行右面的框图，若输出结果为 12，则输入的实数 x的值是 A 3 B 4 C D 2 3.下列有关命题的说法正确的是 A命题“若 则 ”的逆否命题为真命题,xysinxy B函数 的定义域为()taf |,kZ C命题“ 使得 ”的否定是：“ 均有 ,xR210x,xR ” 210 D “ 2a”是“直线 214ayxyx与 垂直”的必要不充分条件 4. 设 的展开式的各项系数和为 ，二项式系数和为 ，若 ，则nx)15(MN240M 展开式中 的系数为 A. B. C. D.1501503030 5. 若函数 ，若 ,则实数 的取值范围是 ),(log)(21xxf )(afa A. B.）（）（ ,0,1 ），（），（ 1 C. D.），（）（ ）（），（ ,0 6. 已知函数 的最小正周期为 ，将 的图像向()sin),(,)4fxxR)(xfy 左平移 个单位长度，所得图像关于 轴对称，则 的一个值是|y A. B. C. D. 28348 7. 己知等差数列 的公差 ，且 成等比数列，若 ， 是数列 前na0d13,a1anSna 项的和， ，则 的最小值为nN26nS A4 B 3 C D 2392 8. 若关于 的方程 有四个不同的实数解,则 的取值范围为( )x2|4kxk A. B. C. D. (0,1)1(,)1(,)4(1, 第 3 页 共 14 页 第卷 非选择题 (共 110 分) 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 某学校共有师生 2400 人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为 160 的 样本，已知从学生中抽取的人数为 150，那么该学校的教师人数是 . 10. 如图， 是圆 上的两点，且 ， ， 为 的中点，连接 并,ABOAOB2COABC 延长 交圆 于点 ，则 CDC 11. 一个几何体的三视图如图所示,且其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为 . 12. 已知抛物线的参数方程为 ， （ 为参数） ，焦点为 ，准线为 ，过抛物线上一 24xtyFl 点 作 于 ，若直线 的倾斜角为 ，则 PElEF150|P 13已知集合 ，集合 若|1|3Ax 0)12(|2mxxB ，则实数 的取值范围为 . Bm 14. 如图，在直角梯形 中， ， 动点 在以点 为BCD,3ADCAPC 圆心，且与直线 相切的圆内运动，设 ，则 的取值()PBR 范围是 . 10 题 图 D CO A B 11 题图 三.解答题：本大题 6 小题，共 80 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15 （本小题满分 13 分） 已知函数 2231()sin(cosin)12fxxx （）求函数 f的最小值和取最小值时相应的 值； （）设 ABC的内角 、 、 的对边分别为 abc、 、 ，且 0)(,7Cf， 若向量 (1,sin)m与向量 )sin,3(B共线，求 ,的 值 。 16. （本小题满分 13 分） 某企业招聘工作人员，设置 、 、 三组测试项目供参考人员选择，甲、乙、丙、ABC 丁、戊五人参加招聘，其中甲、乙两人各自独立参加 组测试，丙、丁两人各自独立A 参加 组测试已知甲、乙两人各自通过测试的概率均为 ，丙、丁两人各自通过测B 13 试的概率均为 戊参加 组测试， 组共有 6 道试题，戊会其中 4 题.戊只能且必须12 选择 4 题作答，答对 3 题则竞聘成功. （）求戊竞聘成功的概率； （）求参加 组测试通过的人数多于参加 组测试通过的人数的概率；AB （）记 、 组测试通过的总人数为 ，求 的分布列和期望.B 第 5 页 共 14 页 17. （本小题满分 13 分） 如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ，PABCDABADBC90 平面 底面 ， 为 的中点， 是棱 上的点， ，QMP2P ， 12BC3 （）求证：平面 平面 ；PBA （）若 为棱 的中点，求异面直线 与MP 所成角的余弦值； （）若二面角 大小为 30，求QC 的长 Q 18 （本小题满分 13 分） 已知函数 ，数列 满足 ， .23()xfna1*1(),nnafN （）求数列 的通项公式； na （）令 ，求 ；123452121nnTaa nT （）令 ， ， ，若 对一切1()nnba1b12nnSb 204mS 成立，求最小正整数 .*Nm P A B C D Q M 19. （本小题满分 14 分） 已知椭圆 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短轴端点与 2:1(0)xyCab12 双曲线 的焦点重合，过点 （4，0）且不垂直于 轴直线 与椭圆 相交于 2-=PxlC 、 两点.AB （）求椭圆 的方程；C （）求 的取值范围；O （）若 点关于 轴的对称点是 ，证明：直线 与 轴相交于定点.xEAEx 20. （本小题满分 14 分） 已知函数 1()2(1)ln,().(,2.718)xfxaxgeaR （I）当 的单调区间；1,a时 求 （II）若函数 在区间 无零点，求 的最小值； ()fx(0,)2a （III ）若对任意给定的 在 上总存在两个不同的e, (1,2)ix 使得 的取值范围。0(),ifxg成 立 求 第 7 页 共 14 页 2013 年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（二） 数学理科参考答案 一、选择题:每小题 5 分，满分 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A B A D A C 二、填空题: 每小题 5 分，共 30 分. 9150； 10 ； 11 ； 12 ； 13 ； 14864353(,)25(1,)3 三、解答题 15：解：（） 31()sin2cosin()16fxxx 3 分2,66kZkZf当 ， 即 =-时 ， 取 得 最 小 值 -2 6 分 （）由 ,0)(,7Cfc得 7,32ab 9 分 由向量 1,sinmA与向量 )sin,(B共线， 得 abB3si 11 分 解方程组 7 2 得 3,1b 13 分 16. (I) 设戊竞聘成功为 A 事件，则 3 分 43126+=CP8=5 （）设“参加 组测试通过的人数多于参加 组测试通过的人数”为 B 事件B 6 分 21137346pB P A B C D Q M x y z （） 可取 0，1，2，3，4 0 1 2 3 4 P 3661 13 分5E （注：每个概率 1 分，列表 1 分，期望 1 分） 17. 证明： （）AD / BC，BC= AD，Q 为 AD 的中点，2 四边形 BCDQ 为平行四边形， CD / BQ 1 分 ADC=90 AQB=90 即 QBAD 又平面 PAD平面 ABCD 且平面 PAD平面 ABCD=AD， 2 分 BQ平面 PAD 3 分 BQ 平面 PQB， 平面 PQB平面 PAD 4 分 另证：AD / BC，BC= AD，Q 为 AD 的中点 BC / DQ 且 BC= DQ， 12 四边形 BCDQ 为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 即 QBAD 1 分 PA=PD， PQAD 2 分 PQBQ=Q， AD平面 PBQ 3 分 AD 平面 PAD， 平面 PQB平面 PAD 4 分 （）PA=PD，Q 为 AD 的中点， PQAD 平面 PAD平面 ABCD，且 平面 PAD平面 ABCD=AD， PQ平面 ABCD5 分 （注:不证明 PQ平面 ABCD 直接建系扣 1 分） 如图，以 Q 为原点建立空间直角坐标系则 ，(0,) ， ， ，(1,0)A(,3)P(0,)B3C 第 9 页 共 14 页 M 是 PC 中点， 6 分13(,)2M (1,03),APB 设异面直线 AP 与 BM 所成角为 则 = 7 分cos|,|APB27 异面直线 AP 与 BM 所成角的余弦值为 8 分， （）由（）知平面 BQC 的法向量为 9 分(0,1)n 由 ，且 ，得 10 分(1)QMPQB,3(),QM 又 ，0,3B 平面 MBQ 法向量为 12 分1(3,)m 二面角 M-BQ-C 为 30， ，3cos0|2nm 13 分14|QM394 18 解：（） 2 分122()3nnnaaf 是以 为公差，首项 的等差数列3 分n31 4 分2a （） 123452121n nnTaa 6 分13()()()a 8 分2242 4)3() (3)329na n （）当 时， 9 分n111()3nnbn 当 时，上式同样成立10 分1n 1291191( )()3522nnSbnn 11 分 ，即 对一切 成立，04nm04()21m*N 又 随 递增，且 12 分91()2n992n ， ， 13 分0303最 小 19 解()解：由题意知 ， ，即 2 分12cea 2214cabe23ab 又双曲线的焦点坐标为 ， ，3 分0,3=b 故椭圆的方程为 4 分2243ab， 214yx ()解：由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 (4)ykx 由 得： 5 分2 ()143ykx222(43)610kxk 由 得： 6 分222()()(61)0k24 设 A(x1， y1)， B (x2， y2)，则 2212123643kkxx， 7 分121212124()kk - + = 8 分=+Oxy 264+3k43216k275-4+3 ， ，9 分2104k28787-3k 第 11 页 共 14 页 的取值范围是 10 分 OAB13-4,OAB13-4, （）证明 关于 轴对称， 点 的坐标为 11 分,ExE2,xy 直线 的方程为 ，令 得 12 分A121+-=-yx=0y12+xy 又 ， 所以 13 分1=-4ykx2-4k122-48x 由式代入得 所以直线与 x 轴相交于定点 14 分1,0 20、解：（I）当 2 分,()2ln,()1,afxxfx时 则 由 由 3 分()0,2;fx得 0.得 故 4 分, ,.的 单 调 减 区 间 为 单 调 增 区 间 为 （II）因为 上恒成立不可能，1()()2fx在 区 间 故要使函数 上无零点，0,在 只要对任意的 恒成立， 5 分()xfx 即对 恒成立。 6 分12ln(0,)1a 令 l2,(0,)xlx 则 7 分22 ()lnl() ,1(1)xlx 221()ln,(0,),mxx 再 令则 9 分 11()0,()2ln0,1,()0,2xmxllx故 在 上 为 减 函 数 于 是从 而 于 是 在 上 为 增 函 数 1()4ln,2,24ln,lxxaa所 以故 要 使 恒 成 立 只 要 综上，若函数 10 分1()0,2f在 上 无 零 点 24ln.则 的 最 小 值 为 （III ） 11()xxxgee1(0,)(,;00,exg当 时 函 数 单 调 递 增当 时 函 数 单 调 递 减 .又 因 为 =,1),(= 所以，函数 11 分( .gxe在 上 的 值 域 为2,a当 时 不 合 题 意 ; 2()2()2,() ,0,2,0.(),axaxfx exafe当 时当 时由 题 意 得 在 上 不 单 调 故 12 分20,2即 此时，当 的变化情况如下：(),xfx变 化 时 第 13 页 共 14 页 x 2(0,)a2a2,ea()f 0 +x 最小值0,(),22()ln()12,0, (1,2)() :iifxfaeaexfxg又 因 为 当 时所 以 ,对 任 意 给 定 的