【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 导数及其应用（课时作业+章末综合检测）（打包10套）新人教A版选修1-1
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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第3章 导数及其应用（课时作业+章末综合检测）（打包10套）新人教A版选修1-1,步步高,学案导学,设计,学年,高中数学,导数,及其,应用,利用,运用,课时,作业,功课,综合,检测,打包,10,新人,选修
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1 化率问题 数的概念 课时目标 1函数的变化率 定义 实例 平均 变化率 函数 y f(x)从 记作： y x. 平均速度； 曲 线割线的斜率 . 瞬时 变化率 函数 y f(x)在 x f(x)从 x 的平均变化率在 x0 时的极限 ， 即 _0 y x 瞬时速度：物体在某一时刻的速度； 切线斜率 . 2 导数的概念：一般地，函数 y=f(x)在 x y x _，我们称它为函数 y=f(x)在 x ，记为 或 即 f (0 y x 一、选择题 1当自变量从 数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A在 的平均变化率 B在 C在 D以上都不对 2已知函数 f(x) 21的图象上一点 (1,1)及邻近一点 (1 x， f(1 x)，则 y ) A 4 B 4 2 x C 4 2( x)2 D 4x 3如图，函数 y f(x)在 A， ( ) A 1 B 1 C 2 D 2 4 设 f(x)在 x 0f x f x 等于 ( ) A f( B f( C f( D 2f( 5已知 f(x) 10，则 f(x)在 x 32处的瞬时变化率是 ( ) 2 A 3 B 3 C 2 D 2 6一物体的运动方程是 s 12，则该物体在 t ) A B D 2 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7已知函数 y f(x) 1，在 x 2， x _ 8过曲线 y 20,1)， (1,2)的割 线的斜率为 _ 9已知物体运动的速度与时间之间的关系是： v(t) 2t 2，则在时间间隔 1,1 t内的平均加速度是 _，在 t 1时的瞬时加速度是 _ 三、解答题 10已知函数 f(x) 2x，分别计算函数在区间 3， 1， 2,4上的平均变化率 11用导数的定义，求函数 y f(x) 1x在 x 1处的导数 能力提升 12已知二次函数 f(x) c 的导数为 f( x)， f(0)0 ，对于任意实数 x，有 f(x)0 ，则 最小值为 _ 13枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 a 510 5 m/弹从枪口射出时所用的时间为 0 3 s求枪弹射出枪口时的瞬时速度 1做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数 s s(t)描述， 设 体的位移 (即位置 )改变量是 s s( t) s(那么位移改变量 s 与时间改变量 t 的比就是这段时间内物体的平均速度 v ，即 v s ts t s t . 2由导数的定义可得求导数的一般步骤 (三步法 )： 3 (1)求函数的增量 y f( x) f( (2)求平均变化率 y x； 0 y x.0 y x. 第三章 导数及其应用 变化率与导数 3 化率问题 3 数的概念 答案 知识梳理 1 f f x0 f x f x 2 x0 f x f x 导数 f( y| x x0 f x f x 作业设计 1 A 2 B y f(1 x) f(1) 2(1 x)2 1 21 2 1 4 x 2( x)2， y x 4 x x 4 2 x. 3 B y x f 1 1 32 1. 4 A x0 f x f x x0 f f x x x0f f x x f( 5 B y xf 32 x f 32 x x 3， x0 y x 3. 6 A s t s t s t 12a t t0 s t 7 1 解析 由平均变化率的几何意义知 k 2 11 0 1. 9 4 t 4 解析 在 1,1 t内的平均加速度为 v t v t v t t 4， t 1 时的瞬时加速度是 li m t0 v t li m t0 ( t 4) 4. 10解 函数 f(x)在 3， 1上的平均变化率为： f f 4 2 2 2 6. 函数 f(x)在 2,4上的平均变化率为： f 2 2 22 4. 11解 y f(1 x) f(1) 11 x 11 1 1 x x 1 x ， y x 11 x 1 x ， x0 y x x0 11 x 1 x 11 0 1 0 12， y| x 1 f(1) 12. 12 2 解析 由导数的定义， 得 f( 0) x0 f x f x x0 a b x c c x x0 a( x) b b. 又 4a0 ， ac c0. a b b 2 22. 13解 运动方程为 s 12因为 s 12a( t)2 12 t 12a( t)2， 所以 s t 12a v t li m t0 s t 由题意知， a 510 5 m/0 3s， 所以 810 2 800 (m/s) 即枪弹射出枪口时的瞬时速度为 800 m/s. 1 数的几何意义 课时目标 解导数的几何意义 求导函数 据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 1导数 f( 示函数 _，反映了 _ 2函数 y f(x)在点 f( 几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线 y f(x)在点 P(f(处的切线方程为 y f( f( ( x 3如果把 y f(x)看做是物体的运动方程，那么导数 f( 示运动物体在时刻 当 x f( 一个确定的数这样，当 f( x)便是 它为 f(x) 的 _( 简称 _) ， 有 时 记 作 y ，即 f( x) y _. 一、选择题 1已知曲线 y 2(1,2)，则 ) A 2 B 4 C 6 6 x 2( x)2 D 6 2如果曲线 y f(x)在点 (2,3)处的切线过点 ( 1,2)，则有 ( ) A f(2)0 D f(2) 不存在 3下面说法正确的是 ( ) A若 f( 存在，则曲线 y f(x)在点 (f(处没有切线 B若曲线 y f(x)在点 (f(处有切线，则 f( 存在 C若 f( 存在，则曲线 y f(x)在点 (f(处的切线斜率不存在 D若曲线 y f(x)在点 (f(处没有切线，则 f( 可能存在 4若曲线 y h(x)在点 P(a， h(a)处的切线方程为 2x y 1 0，那么 ( ) A h( a) 0 B h( a)0 D h( a)不确定 5设 f( 0，则曲线 y f(x)在点 (f(处的切线 ( ) A不存在 B与 C与 D与 6已知函数 f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是 ( ) A 00. 3 C f( 几何意义是曲线 y f(x)在点 (f(处切线的斜率 4 B 2x y 1 0，得 y 2x 1， 由导数的几何意义知， h( a) 2f(3) 7 1 解析 由偶函数的图象和性质可知应为 1. 8 2x y 4 0 解析 由题意知， y 3(1 x)2 4(1 x) 2 3 4 2 3 2 x， y x0 y x 2. 所求直线的斜率 k 2. 则直线方程为 y 2 2(x 1)，即 2x y 4 0. 9 2 解析 点 f(5) 5 8 3， 又 f(5) k 1， f(5) f(5) 3 1 2. 10解 设切点坐标为 (则有 因 y x0 y x x0 x x 2x. k y| x 2因切线方程为 y 2x0(x 将点 (1， 3)代入，得： 3 22 23 0， 1或 3. 当 1时， k 2；当 3时， k 6. 4 所求直线的斜率为 2或 6. 11解 y f( x) f( ( x)3 a( x)2 9( x) 1 (91) (329) x (3a)( x)2 ( x)3， y x 329 (3a) x ( x)2. 当 y 29.即 f( 329. f( 3 x09 当 f( 最小值 9 斜率最小的切线与 12x y 6平行， 该切线斜率为 12. 9 a 3. 又 a0， a 3. 12解 f( x) x0 a x b x x 7 7 x x0 (a x 2b) 2b. 由已知可得 a b 7 12a b 4 ，解得 a 4， b 12. 13解 f( x) x0 f x x f x x x0 x x 2x， 设 P(所求的点， (1)因为切线与直线 y 4x 5平行， 所以 24， 2， 4，即 P(2,4) (2)因为切线与 35 的倾斜角， 所以其斜率为 1，即 2 1， 得 12，即 14，即 P 12， 14 . 1 本初等函数的导数公式及导数的运算法则 (二 ) 课时目标 、积、商的求导法则 综合利用求导公式和导数的四则运算法则求解导函数 导数的运算法则 (1)f(x) g(x) _； (2)cf(x) _ (c 为常数 )； (3)f(x) g(x) _； (4) f xg x _ (g(x)0) 一、选择题 1已知 f(x) 3x ，则 f( x)为 ( ) A 33x B 33x 13 C 33x D 3x 2曲线 y 1 在点 (0,1)处的切线方程是 ( ) A x y 1 0 B 2x y 1 0 C x y 1 0 D x 2y 2 0 3已知函数 f(x) f(0) 13， f( 1) 27，则 a b 等于 ( ) A 18 B 18 C 8 D 8 4设函数 f(x) 3 32 ，其中 0， 512 ，则导数 f(1)的取值范围是 ( ) A 2,2 B 2， 3 C 3， 2 D 2， 2 5曲线 y 2， 的切 线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ( ) 2 D 曲线 y 2x 1 在点 (1,0)处的切线方程为 ( ) A y x 1 B y x 1 C y 2x 2 D y 2x 2 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7曲线 C： f(x) x 2 在 x 0 处的切线方程为 _ 8某物体作直线运动，其运动规律是 s 3t(t 的单位： s， s 的单位： m)，则它在第4 s 末的瞬时速度应该为 _ m/s. 9已知函数 f(x) f(2) 5x，则 f(2) _. 三、解答题 10求下列函数的导数 (1)y x x； 2 (2)y 2x 309x； (3)y xx. 1， 1)与曲线 y 2x 相切的直线方程 能力提升 12已知点 P 在曲线 y 41上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围是 ( ) A 0， 4) B 4 ， 2) C ( 2 ， 34 D 34 ， ) 13求抛物线 y x y 2 0 的最短距离 1理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件 2应用和、差、积的求导法则和常见函数的导数公式求导数时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用乘商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三角恒等变形对函数进行 3 化简，然后再求导，这样可以减少运算量，提高运算速 度，避免差错 3 本初等函数的导数公式及 导数的运算法则 (二 ) 答案 知识梳理 (1)f( x) g( x) (2)c f( x) (3)f( x)g(x) f(x)g( x) (4)f x g x f x g xg x 2 作业设计 1 C () 0，注意避免出现 () 13的错误 2 A y x 0 时，导数值为 1，故所求的切线方程是 y x 1， 即 x y 1 0. 3 A f( x) 42b， 由 f 13f 27 b 13， 4 2a b 27. a 5，b 13. a b 5 13 18. 4 D 由已知 f( x) 3 x， f(1) 3 2 3 ， 又 0， 512 . 3 3 34 ， 22 3 1 ， 2 f(1)2. 5 A y ( k y| x 2 曲线在点 (2， 的切线方程为 y e2(x 2)， 即 y 当 x 0 时， y 当 y 0 时， x 1. S 121| 12 6 A y 32， k y| x 1 3 2 1， 切线方程为 y x 1. 7 y 2x 3 解析 由 f(x) x 2 得 f( x) x 从而 f(0) 2，又 f(0) 3， 所以切线方程为 y 2x 3. 析 s 2t 3 4 v s| t 4 8 316 12516(m/s) 9 53 解析 f( x) f(2)2 x 5， f(2) f(2)22 5， 3f(2) 5， f(2) 53. 10解 (1)y x x x x x x x x 2 x x x x x x 2 x x 2 . (2)y (2x)x (x)2 x 3x 009 x (09x) x 2x x2 x 309 x 109 e x 2x 2x 309 x 309 e. (3)y (x) x x x x x x x x 12x x 2 11解 设 P(切点， 则切线斜率为 k y| x 32. 故切线方程为 y (32)(x (曲线上， 2 又 (1， 1)在切线上， 将 式和 (1， 1)代入 式得 1 (2 (32)(1 解得 1 或 12. 故所求的切线方程为 y 1 x 1 或 y 1 54(x 1) 即 x y 2 0 或 5x 4y 1 0. 12 D y 42142 1 1 ， 1 y0 ，即 1 0， 34 ， . 5 13解 依题意知与直线 x y 2 0 平行的抛物线 y x y 2 0 的距离最短，设切点坐标为 ( y ( 2x， 21， 12. 切点坐标为 12， 14 . 所求的最短距离 d 12 14 22 7 28 . 1 数的单调性与导数 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间 1函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间 (a， b)内，如果 _，那么函数 y f(x)在这个区间内单调递增；如果 _，那么函数 y f(x)在这个区间内_；如果恒有 _，那么函数 f(x)在这个区间内为常函数 2一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内_，这时，函数的图象就比较 “_” ；反之，函数的图象就比较“_” 3求函数单调区间的步骤和方法 (1)确定函数 f(x)的定义域； (2)求导数 f( x)； (3)在函数定义域内解不等式 f( x)0 和 f( x)0；命题乙： f(x)在 (a， b)内是单调递增的则甲是乙的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2若在区间 (a， b)内， f( x)0，且 f(a)0 ，则在 (a， b)内有 ( ) A f(x)0 B f(x)2f(1) B f(0) f(2) 2f(1) C f(0) f(2)0 f( x)f(a)0. 3 B A 中， y x，当 x0 时， y 的符号不确定； B 中， y (x 1) x0 时， y0 ，故在 (0， ) 内为增函数； C 中： y 31，当 x0 时， y 1； y 1x 1，当 x0 时， y 1. 4 A f( x) 2 x， x1 ， f( x)0， f(x)在 ( ， ) 上是增函数 5 C 当 x1 时， f( x)f(2) 当 f(x)是增函数， f(0)12得 1 x12，由 f( x)0， f(x)在 (0， ) 上单调递增 当 a 1 时， f( x)0； 当 x a 12a ， 时， f( x)0. 故 f(x)在 0， a 12a 上单调递增， 在 a 12a ， 上单调递减 综上，当 a0 时， f(x)在 (0， ) 上单调递增； 当 a 1 时， f(x)在 (0， ) 上单调递减； 当 1a0 时， f(x)在 0， a 12a 上单调递增， 在 a 12a ， 上单调递减 13解 (1)由已知，得 f( x) 3a. 因为 f(x)在 ( ， ) 上是单调增函数， 所以 f( x) 3a0 在 ( ， ) 上恒成立，即 a3 x ( ， ) 恒成立 因为 3 ，所以只需 a0. 又 a 0 时， f( x) 3 ， f(x)在实数集 R 上单调递增，所以 a0. (2)假设 f( x) 3a0 在 ( 1,1)上恒成立， 则 a3 x ( 1,1)时恒成立 因为 1x1，所以 3，所以只需 a3. 当 a 3 时，在 x ( 1,1)上， f( x) 3(1)0， 即 f(x)在 ( 1,1)上为减函数，所以 a3. 5 故存在实数 a3 ，使 f(x)在 ( 1,1)上单调递减 1 数的极值与导数 课时目标 小值 (其中多项式函数一般不超过三次 ) 1若函数 y f(x)在点 x a 的函数值 f(a)比它在点 x a 附近其他点的函数值都小，f( a) 0，而且在点 x a 附近的左侧 _，右侧 _类似地，函数 y f(x)在点 x b 的函数值 f(b)比它在点 x b 附近其他点的函数值都大， f( b) 0，而且在点 x b 附近的左侧 _，右侧 _ 我们把点 a 叫做函数 y f(x)的 _， f(a)叫做函数 y f(x)的 _；点 b 叫做函数 y f(x)的 _， f(b)叫做函数 y f(x)的 _极小值点、极大值点统称为 _，极大值和极小值统称为 _极值反映了函数在_的大小情况，刻画的是函数的 _性质 2函数的极值点是 _的点，导数为零的点 _(填 “ 一定 ” 或 “ 不一定 ”) 是函数的极值点 3一般地，求可导函数 f(x)的极值的方法是： 解方程 f( x) 0.当 f( 0 时： (1)如果在 _，右侧 _，那么 f( _； (2)如果在 _，右侧 _，那么 f( _； (3)如果 f( x)在点 f(_ 一、选择题 1. 函数 f(x)的定义域为 R，导函数 f( x)的图象如图，则函数 f(x)( ) A无极大值点，有四个极小值点 B有三个极大值点，两个极小值点 C有两个极大值点，两个极小值点 D有四个极大值点，无极小值点 2已知函数 f(x)， x R，且在 x 1 处， f(x)存在极小值，则 ( ) A当 x ( ， 1)时， f( x)0；当 x (1， ) 时， f( x)0；当 x (1， ) 时， f( x)0 C当 x ( ， 1)时， f( x)0 D当 x ( ， 1)时， f( x)0 时有 ( ) A极小值 B极大值 C既有极大值又有极小值 D极值不存在 4函数 f(x)的定义域为 (a， b)，导函数 f( x)在 (a， b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间 (a， b)内有极小值点 ( ) A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 2 5函数 f(x) 33b 在 (0,1)内有且只有一个极小值，则 ( ) A 00 D D 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7若函数 f(x) 1在 x 1 处取极值，则 a _. 8函数 f(x) x 1 处有极值 2，则 a、 b 的值分别为 _、 _. 9函数 f(x) 3a(a0)的极大值为正数，极小值为负数，则 a 的取值范围是_ 三、解答题 10求下列函数的极值 (1)f(x) 12x； (2)f(x) x. 11设函数 f(x) 926x a. (1)对于任意实数 x， f( x) m 恒成立，求 m 的最大值； (2)若方程 f(x) 0 有且仅有一个实根，求 a 的取值范围 能力提升 12已知函数 f(x) (x a)2(x b)(a， b R， a0 f( x)0 f( x)0 f( x)0 极小值 (3)不是极值 作业设计 1 C 2 C f(x)在 x 1 处存在极小值， ， f( x)0. 3 A f( x) 1 1 f( x)0， 得 x1 或 x1. 由 f x ，x0. 得 00， f(x)在 (0， ) 上有极小值 4 A f(x)的极小值点左边有 f( x)0，因此由 f( x)的图象知只有 1 个极小值点 5 A f( x) 33b，要使 f(x)在 (0,1)内有极小值，则 即 3 解得 00 时，图象与 x 轴的左交点两侧 f( x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧 f( x)的值分别小于零、大于零所以才会有极大值和极小值 412(a 6)0 得 a6 或 f( x)0 时得： xa 或 解得 a 22 . 10解 (1)函数 f(x)的定义域为 R. f( x) 312 3(x 2)(x 2) 令 f( x) 0，得 x 2 或 x 2. 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， 2) 2 ( 2,2) 2 (2， ) f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 从表中可以看出，当 x 2 时，函数 f(x)有极大值，且 f( 2) ( 2)3 12( 2) 16； 当 x 2 时，函数 f(x)有极小值， 且 f(2) 23 122 16. (2)f( x) (1 x)e x.令 f( x) 0，解得 x 1. 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， 1) 1 (1， ) f( x) 0 f(x) 极大值 函数 f(x)在 x 1 处取得极大值 f(1)，且 f(1) 1e. 11解 (1)f( x) 39x 6. 因为 x ( ， ) ， f( x) m， 即 39x (6 m)0 恒成立， 所以 81 12(6 m)0 ，解得 m 34， 即 m 的最大值为 34. (2)因为当 当 12 时， f( x)0. 所以当 x 1 时， f(x)取极大值 f(1) 52 a； 当 x 2 时， f(x)取极小值 f(2) 2 a， 故当 f(2)0 或 f(1)52. 12 (1)解 当 a 1， b 2 时， f(x) (x 1)2(x 2)， 因为 f( x) (x 1)(3x 5)， 故 f(2) 1，又 f(2) 0， 所以 f(x)在点 (2,0)处的切线方程为 y x 2. (2)证明 因为 f( x) 3(x a)(x a 2， 5 由于 ab，故 aa 2 所以 f(x)的两个极值点为 x a， x a 2 不妨设 a， a 2 因为 f(x)的零点， 故 b. 又因为 a 2 a 2(b a 2， 12(a a 2 2a 此时 a， 2a a 2 b 依次成等差数列， 所以存在实数 2a 1 数的最大 (小 )值与导数 课时目标 小值 (其中多项式函数一般不超过三次 ) 1最大值：如果在函数定义域 I 内存在 得对任意的 x I，总有 _，则称 f(函数在 _的最大值 2一般地，如果在区间 a， b上的函数 y f(x)的图象是一条 _的曲线，那么 f(x)必有最大值和最小值此性质包括两个条件： (1)给定函数的区间是 _；(2)函数图象在区间上的每一点必须 _函数的最值是比较整个 _的函数值得出的，函数的极值是比较 _的函数值得到的 3一般地，求 f(x)在 a， b上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求 f(x)在 (a， b)内的 _； (2)将 f(x)的各极值与 _比较，其中 _的一个是最大值， _的一个是最小值 一、选择题 1下列结论正确的是 ( ) A若 f(x)在 a， b上有极大值，则极大值一定是 a， b上的最大值 B若 f(x)在 a， b上有极小值，则极小值一定是 a， b上的最小值 C若 f(x)在 a， b上有极大值，则极小值一定是 x a 和 x b 时取得 D若 f(x)在 a， b上连续，则 f(x)在 a， b上存在最大值和最小值 2函 数 f(x) 4x 1 在 1,5上的最大值和最小值是 ( ) A f(1)， f(3) B f(3)， f(5) C f(1)， f(5) D f(5)， f(2) 3函数 y 0,2上的最大值是 ( ) A当 x 1 时， y 1e B当 x 2 时， y 2当 x 0 时， y 0 D当 x 12， y 12 e 4函数 y x 1 0,1)上的最大值为 ( ) A. 2 B 1 C 0 D不存在 5已知函数 f(x) c，且 f(1) 6，函数在 1,2上的最大值为 20，则 c 的值为( ) A 1 B 4 C 1 D 0 6已知函数 y 2x 3 在 a,2上的最大值为 154 ，则 a 等于 ( ) A 32 C 12 D 12或 32 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7函数 f(x) ln x x 在 (0， e上的最大值为 _ 8函数 f(x) 12ex(x x)在区间 0， 2 上的值域为 _ 9若函数 f(x) 3x a 在区间 0,3上的最大值、最小值分别为 M、 N，则 M N 的 2 值为 _ 三、解答题 10求下列各函数的最值 (1)f(x) 12x x， x 0,2 ； (2)f(x) 36x 2， x 1,1 11已知 f(x) x 3， x 1,2， f(x) 成立，求实数 m 的取值范围 13若 f(x) 6b， x 1,2的最大值为 3，最小值是 29，求 a、 b 的值 1求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时 x 对应的 函数值，通过比较大小确定函数的最值 2在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题 3 数的最大 (小 )值与导数 答案 知识梳理 3 1 f(x) f(定义域上 2连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点附近 3 (1)极值 (2)端点处的函数值 f(a)， f(b) 最大 最小 作业设计 1 D 函数 f(x)在 a， b上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会在端点处取得 ，而在 a， b上一定存在最大值和最小值 2 D f( x) 2x 4，令 f( x) 0，得 x 2. f(1) 2， f(2) 3， f(5) 6. 最大值为 f(5)，最小值为 f(2) 3 A y xe 1 令 y 0 得 x 1. x 0 时， y 0， x 1 时， y 1e， x 2 时， y 2 最大值为 1e (x 1 时取得 ) 4 A y 12 x 12 1 x.由 y 0，得 x 12. 又 00 ， 120，即 f(x)在 1,2上是增函数， f(x)f(2) 22 3 c 20， c 4. 6 C y 2x 2，令 y 0，得 x 1.当 a 1 时，最大值为 f( 1) 4，不合题意当 10 得 01， f(x)在 (0,1上是增函数，在 (1， e上是减函数 当 x 1 时， f(x)有最大值 f(1) 1. 8. 12， 12 解析 x 0， 2 ， f( x) x0 ， f(0) f(x) f 2 . 即 12 f(x) 12. 9 20 解析 f( x) 33，令 f( x) 0， 得 x 1， (x 1 舍去 ) f(0) a， f(1) 2 a， f(3) 18 a. 4 M 18 a， N 2 a. M N 20. 10解 (1)f( x) 12 x. 令 f( x) 0，又 0 x2 ， x 23 或 x 43 . f 23 3 32 ， f 43 23 32 ， 又 f(0) 0， f(2) . 当 x 0 时， f(x)有最小值 f(0) 0， 当 x 2 时， f(x)有最大值 f(2) . (2)f( x) 36x 6 3(2x 2) 3(x 1)2 3， f( x)在 1,1内恒大于 0， f(x)在 1,1上为增函数 故 x 1 时， f(x)最小值 12； x 1 时， f(x)最大值 2. 即 f(x)在 1,1上的最小值为 12，最大值为 2. 11解 由 f(x) mf(x)恒成立， 知 mf(x) f( x) 32x 1，令 f( x) 0， 解得 x 13或 x 1. 因为 f( 13) 8627， f(1) 2， f( 1) 2， f(2) 5. 所以 f(x)的最大值为 5， 故 m 的取值范围为 (5， ) 12解 (1)f( x) 12x 2) 由 x 2)0，解得 x0 或 成立， ，最大值为 b 3， 最小值为 16a b 29，解得 a 2，b 3， 当 a0 时，最大值为 16a b 3， b 29， 解得 a 2b 29 ， 综上所述： a 2b 3 或 a 2b 29 . 1 活中的优化问题举例 课时目标 通过用料最省、利润最大、效率最高等优化问题，使学生体会导数在解决实际问题中的作用，会利用导数解决简单的实际生活中的优化问题 1生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为_，通过前面的学习，我们知道 _是求函数最大 (小 )值的有力工具，运用_，可以解决一些生活中的 _ 2解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有惟一的极值，则它就是函数的最值 3解决优化问题的基本思路是： 用函数表示的数学问题 用函数表示的数学问题 优化问题的答案 用导数解决数学问题 上述解决优化问题的过程是一个典型的 _ _过程 一、选择题 1某箱子的容积与底面边长 x 的关系为 V(x) 60 (00 ；当 x9 时， y0)， 则 L 2 512 令 L 0，得 x 16. x0， x 16. 当 x 16 时， L 极小值 64，此时堆料场的长为 51216 32(米 ) 4 C 设底面边长为 a，直三棱柱高为 h. 体积 V 34 以 h 4 表面积 S 2 34 3a 432 4 3 4 S 3a 4 3由 S 0，得 a 3 4V. 经验证，当 a 3 4面积最小 5 D 设高为 x 底面半径为 202 x2 体积 V 3x(20 2 (00 ，当 x 20 33 ， 20 时， V400 时， p0 ， 所以当 x 2 4时， L 取最小值， 此时 2S 24 44 4 1. 9 3 5 解析 设半径为 r，则高 h 27 27 水桶的全面积 S(r) 2 r 27 54r . S (r) 2 r 54令 S (r) 0，得 r 3. 当 r 3 时， S(r)最小 10解 (1)设需新建 n 个桥墩，则 (n 1)x m， 即 n 1 (00， f(x)在区间 (64,640)内为增函数，所以 f(x)在 x 64 处取得最小值，此时 n 1 64064 1 9. 故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小 11解 (1)设商品降低 x 元时，多卖出的 商品件数为 记商品在一个星期的销售利润为 f(x)，则依题意有 f(x) (30 x 9)(432 (21 x)(432 又由已知条件 24 k2 2，于是有 k 6， 所以 f(x) 6126432x 9 072， x 0,30 (2)根据 (1)，有 f( x) 18252x 432 18(x 2)(x 12) 当 x 变化时， f(x)与 f( x)的变化情况如下表： x 0,2) 2 (2,12) 12 (12,30 f( x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 故 x 12 时， f(x)达到极大值因为 f(0) 9 072， f(12) 11 664，所以定价为 3012 18(元 )能使一个星期的商品销售利润最大 12解 设楼房每平方米的平均综合费用为 f(x)元，则 f(x) (560 48x)2 16010 0002 000x 560 48x 10 800x (x10 ， x N*)， f( x) 48 10 800 令 f( x) 0 得 x 15. 6 当 x15 时， f( x)0； 当 00 ； 当 84q200 时， L0 ， 所以当 q 84 时， L 取得最大值 所以产量 q 为 84 时，利润 L 最大 1 第三章 导数及其应用章末总结 知识 点一 导数与曲线的切线 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求 “ 在某点处的切线方程 ” ，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求 “ 过某点的切线方程 ” ，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q(则切线方程为 y f( x 再由切线过点 P( f( 又 f( 由 求出 即 求出了过点 P(切线方程 例 1 已知曲线 f(x) 3x，过点 A(0,16)作曲线 f(x)的切线，求曲线的切线方程 知识点二 导数与函数的单调性 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求导数 f( x)； (2)解不等式 f( x)0 或 f( x)0(或 f( x)0(或 f( x)0， 解得 2 23 0 时， 函数 f(x)的单调递增区间为 ( ， a)， ， 单调递减区间为 a， 当 a 0 时， f( x) 3 ， 函数 f(x)的单调区间为 ( ， ) ，即 f(x)在 例 3 解 令 f( x) 330， 得 0， a. 当 x 变化时， f( x)与 f(x)的变化情况如下表： x 1 ( 1,0) 0 (0， a) a (a,1) 1 f( x) 0 0 4 f(x) 132a b b b 1 32a b 从上表可知，当 x 0 时， f(x)取得极大值 b，而 f(0)f(a)， f(1)f( 1)，故需比较f(0)与 f(1)的大小因为 f(0) f(1) 32a 10，所以 f(x)的最大值为 f(0) b1. 又 f( 1) f(a) 12(a 1)2(a 2)0， 2a0 ， a2 x 2， ) 上恒成立 a(2 x3) x 2， ) ， y 2 (2x3)16， a16. 当 a 16 时， f( x) 2160 ( x 2， ) 有且只有 f(2) 0， a 的取值范围是 a16. 例 5 解 f(x) 122x 5， f( x) 3x 2. 令 f( x) 0，即 3x 2 0， x 1 或 x 23. 当 x 1， 23 时， f( x)0， f(x)为增函数； 当 x 23， 1 时， f( x)0， f(x)为增函数 所以，当 x 23时， f(x)取得极大值 f 23 15727 ； 当 x 1 时， f(x)取得极小值 f(1) 72. 又 f( 1) 112 ， f(2) 7， 因此， f(x)在 1,2上的最大值为 f(2) 7. 要使 f(x)7. 所以，所求实数 m 的取值范围是 (7， ) 1 第三章 导数及其应用章末检测（ A） (时间： 120 分钟 满分： 150 分 ) 一、选择题 (本大题 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 ) 1已知曲线 y 2x 2 在点 M 处的切线与 x 轴平行，则点 M 的坐标是 ( ) A ( 1,3) B ( 1， 3) C ( 2
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