【步步高】2011届高考数学一轮复习 第八编 立体几何 文 课件（打包10套）北师大版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第八编 立体几何 文 课件（打包10套）北师大版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第八,立体几何,课件,打包,10,北师大
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空间几何体的表面积与体积 要点梳理 、台和球的侧面积和体积： 面积 体积 圆柱 圆锥 侧S V Sh S V 基础知识 自主学习 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 侧S ( 21 (31 下上下上 (31 212221 侧S V S 21 V )(21 (31下上下上 球面S 24 R （ 1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 . （ 2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 . 各面面积 之和 矩 形 扇形 扇环形 侧面积 与底面面积之和 基础自测 的圆锥的侧面展开图的圆心角等 于 ,则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 解析 设圆锥的底面半径为 r，则 348122 818 8154 8110,32,3412 )32(1 2 431 2 .（ 2008 湖北） 用与球心距离为 1的平面去截 球，所得的截面面积为 ，则球的体积为 ( ) A. B. C. D. 解析 截面面积为 ，则该小圆的半径为 1， 设球的半径为 R，则 2+12=2， R= ， 2834 3 .（ 2009 陕西） 若正方体的棱长为 ，则以该 正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积 为 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两 个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为 1，每 一个正四棱锥的高为 ，所以 2 21312 2 4.（ 2009 海南） 一个棱锥的三视图如下图，则该 棱锥的全面积 (单位 : ( ) A. B. C. D. 21248 21236 22436 22448 解析 该几何体是一个底面为直角三角形的三 棱锥，如图， ， ， ， C=6， S S 案 A 265.（ 2008 山东） 如图是一个几何体的三视图 ,根 据图中数据 ,可得该几何体的表面积是 ( ) 析 几何体为一个球与一个圆柱的组合体 , S=41 2+1 22+2 13=12 . D 题型一 几何体的展开与折叠 有一根长为 3 面半径为 1 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端 , 则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离 . 【 例 1】思维启迪题型分类 深度剖析 解 把圆柱侧面及缠绕其上 的铁丝展开，在平面上得到 矩形 图所示）， 由题意知 分别是铁丝的起、止位 置，故线段 故铁丝的最短长度为 5 522 求立体图形表面上两点的最短距离 问题，是立体几何中的一个重要题型 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体 图形的几个平面上或旋转体的侧面上 现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将 图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面 展开为平面，使问题得到解决 开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形， 找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长 . 探究提高知能迁移 1 如图所示，长方体 AB=a， BC=b， c，并且 abc0. 求沿着长方体的表面自 1的最短线路的长 . 本题可将长方体表面展开，利用平面 内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答 . 解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可 能，如图所示 . 思维启迪三个图形甲、乙、丙中 ,0,2)(,2)(,2)(222222222222222222故最短线路的长为题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示 ,半径为 阴影部分以直径 旋 转一周得到一几何体 ,求该几何体的 表面积 (其中 0 )及其体积 . 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状 ,再求表面积 . 【 例 2】思维启迪解 如图所示 , 过 1,在半圆中可得 0 , 0 ,R, , 4 231 ,231123234,2323,23323222211212111 2R 表面积为旋转所得到的几何体的 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割， 然后利用有关公式进行计算 . 41314131,34333111221111221113圆锥圆锥球几何体圆锥圆锥球又探究提高知能迁移 2 已知球的半径为 R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面 . 设圆柱的高为 h，底面半径为 r， 侧面积为 S，则 ,)2(222 2,22,1(4)(最大值是最大圆柱侧面积时即当且仅当即题型三 多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长 为 ，求这个三棱锥的体积 . 本题为求棱锥的体积问题 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积 . 解 如图所示， 正三棱锥 S 设 连接 则 【 例 3】思维启迪15连接 ， 则 的正三角形， ,33623 323222 求锥体的体积，要选择适当的底面和 高，然后应用公式 进行计算即可 法：割补法和等积变换法 . （ 1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几 何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱 体的体积，从而得出几何体的体积 . （ 2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为 三棱锥的底面 . 求体积时，可选择容易计算的方 式来计算；利用 “ 等积性 ” 可求 “ 点到面的 距离 ” . 探究提高1知能迁移 3 如图，在多面体 ，已知 的正方形， 且 ，则该多面体的体积为 ( ) A. B. C. D. 解析 本题中的多面体是一个不规则的几何体 , 因此可考虑对其进行分割或补形 . 32333423如图所示，分别过 A、 垂足分别为 G、 H，连接 容易求得 21,2 3 212221B C A 题型四 组合体的表面积及其体积 (12分 )如图所示 ,在等腰梯形 ， 0 ， 将 D、 使 A、 求形成的三棱锥的外接球的体积 . 易知折叠成的几何体是棱长为 1的正 四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的 半径即可 . 解题示范 解 由已知条件知，平面图形中 B=D=E=. 折叠后得到一个正四面体 . 2分 【 例 4】思维启迪方法一 作 平面 足为 F， 取 ，连接 过球心 H 平面 则垂足 4分 外接球半径可利用 在 据三角形相似可知， ,3 6)3 3(1,2 3 2 分 10分 12分 方法二 如图所示，把正四面体放在正 方体中 四面体的外接球就 是正方体的外接球 . 3分 正四面体的棱长为 1， 正方体的棱长为 ， 6分 6(34,46,22323为该三棱锥外接球的体积体积为外接球直径12分 （ 1）折叠问题是高考经常考查的内容 之一，解决这类问题的关键是搞清楚处在折线同 一个半平面的量是不变的，然后根据翻折前后图 形及数量的关系的变化，借助立体几何与平面几 何知识即可求解 . （ 2）与球有关的组合体，是近几年高考常考的 题目，主要考查空间想象能力及截面图的应用， 因此画出组合体的截面图是解决这类题的关键 . 探究提高知能迁移 4 （ 2009 全国 ） 直三棱柱 若 C= ， 20 ，则此球的表面积等 于 . 解析 在 由余弦定理知 2AC20 =4+42 2 由正弦定理知 r=2,由题意知球心到平面 ， 设球的半径为 R，则 4 0. ,12)21( 1 2 0r,512 2 方法与技巧 锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决 . 关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中 的已知元素彼此离散时 ,我们可采用“割”、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体 （柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供 便利 . 思想方法 感悟提高 （ 1）几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要 求 ,分割成若干个易求体积的几何体 ,进而求之 . (2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补 成易求体积的几何体，如长方体、正方体等 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法 , 由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体 补成锥体研究体积 . （ 3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算， 应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角 形、直角梯形求有关的几何元素 . 失误与防范 要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母线剪开 . 种是内切，一种是 外接 确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正 方体各个面的中心 ,正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 上，正方体的体对角线长等于球的直径 旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题 , 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或“切点”、“接点”作出截面图 . 一、选择题 个空间几何体的主视图、左视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角 形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为 ( ) 定时检测 解析 由三视图知该几何体为三 棱锥，记为 S 中 B= 且两两互相垂直， D ，则这个正方体的内切球的 表面积是 ( ) 析 设正方体的棱长为 a,则 , a=正方体的内切球直径为 2, 4 . C ， 体积为 6，则这个球的表面积是 ( ) 析 设正四棱锥高为 h，底面边长为 a， 可利用三角形相 似计算出球的半径 r=2， 4 6. ,6,631 22 这个几何体的体 积是 ( ) 析 由三视图知该几何体为组合体，由一个正 四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱 长为 3，正四棱锥高为 1，底面正方形边长为 3, V= 答案 B 相切，若这个球的体积是 则这个三棱柱的体 积是 ( ) A. B. C. D. 解析 由 得 R=2. 正三棱柱的高 h=4. 设其底面边长为 a，则 ,332396324316348,3 3234 3 2331 3484)34(4 3 2 工作台由主体和附属两部分组成， 主体部分全封闭，附属部分是 为了防止工件滑出台面而设置的 护墙，其大致形状的三视图如图 所示（长度单位： 则按图中尺寸，做成的 工作台用去的合板的面积为（制作过程合板损耗 和合板厚度忽略不计） ( ) 00 00 00(22+ ) 00 7解析 由三视图知该工作台是棱长为 80 体上面围上一块矩形和两块直角三角形的合板， 如图所示，则用去的合板的面积S=6 802+80 20 2=41 600 答案 D 二、填空题 7.（ 2009 辽宁） 设某几何体的三视图如 下（尺寸的长度单位： m） . 则该几何体的体积为 解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥 （如图）， ， ， , 答案 4 A B ，则四面体 A . 解析 四面体 A 接球，所以 3.)32(32 2 3 36 知一个多面体的平面 展开图由一个边长为 1的正方形和 4 个边长为 1的正三角形组成，则该多 面体的体积是 . 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长 为 1，侧棱长为 1，斜高为 ，连结顶点和底面 中心即为高，可求高为 ，所以体积 2322 62三 、解答题 面三角形的边长分别为 3 5 棱柱削成圆柱，求削去部 分体积的最小值 . 解 如图所示，只有当圆柱的底面圆 为直三棱柱的底面三角形的内切圆时， 圆柱的体积最大，削去部分体积才能 最小，设此时圆柱的底面半径为 R， 圆柱的高即为直三棱柱的高 . 在 ， ， ， 根据直角三角形内切圆的性质可得 7， R=1. h=6. 而三棱柱的体积为 削去部分体积为 36（ 6 （ . 即削去部分体积的最小值为 6（ 6 个直三棱柱形容器 中盛有水，且侧棱 面恰好过 底面 时，液面高为多少？ 解 当侧面 的形状为四 棱柱形，底面 设 ，则 当底面 的形状为三棱柱形， 设水面高为 h，则有 6 S= h=6. 故当底面 面高为 6.
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