【步步高】2011届高考数学一轮复习 第八编 立体几何 文 课件（打包10套）北师大版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第八编 立体几何 文 课件（打包10套）北师大版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第八,立体几何,课件,打包,10,北师大
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备 课 资 讯 16 空间几何体与三视图问 题的解题思想 作为新课程中的新增内容 ， 几何体与三视图必将 成为今后高 考考查的热点 本文以高考题为据 ， 重在 揭示解决此类问题的基本思想 一、直观构造思想 【 例 1 】 ( 20 08 山东 ) 如图是一个几何体的三视 图 ， 根据图中数据 ， 可得该几何体的表面积是 ( ) A 9 B 10 C 11 D 12 解析 几何体为一个球与一个圆柱的组合体， S 4 1 2 1 2 2 2 1 3 12 . 二、内部构造思想 【 例 2 】 (2 00 9 海南 ) 一个棱锥的三视图如下图， 则该棱锥的全面积 ( 单位： 为 ( ) A 48 +1 2 2 B 48 24 2 C 36 12 2 D 36 24 2 解析 该几何体是一个底面为直角 三角形的三棱锥，如图， 5 ， 4 ， 6 ， 6 ， S 全 = S A B C +2 S + S A 【 例 3 】 若某多面体的三视图 ( 单位： c m) 如下图所 示，则此多面体的体积是 _ _ _ _ _ c 解析 通过对三视图的观察，三视图 对应几何体为正四棱锥 P A B C D . 在 正四棱锥 P A B C D 中间构筑底面的垂 面 投影面，侧视图即为 从而求出该几何体的高度 . A B C 例 2 、例 3 在几何体内部构造投影面，通过该投影面观察几何体的 左 视图，就将问题化繁为简投影面的构造需要垂直于几何体的下底面和后投影面 三、外部补形思想 【 例 4 】 ( 200 8 海南， 1 2) 某几何体的一条棱长为7 ，在该几何体的 主 视图中，这条棱的投影是长为6 的线段，在该几何体的 左 视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 a 和 b 的线段，则 a b 的最大值为 ( ) A 2 2 B 2 3 C 4 D 2 5 解析 由题意可构造长方体如图，长方 体的对角线 A 1 C 为题中要求的几何体的棱 长，长方体的三个面分别作为三视图中 的三个投影面设长方体的三棱长分别为 x ， y ， z ，将平面 C 1 C 作为 主 视图投影 面，则 ， ， . 左 视图中棱的投影长为 a 1 ，俯视图中棱的投 影长为 b 1 . a b 1 1 21 1 4. a b 的最大值为 4( 当 x z 时取等号 ) 【 例 5 】 直三棱柱 A 1 B 1 C 1 A B C 的三视图如下图所 示， D ， E 分别是棱 和棱 B 1 C 1 的中点，求图中三棱锥 E 左 视图的面积 解析 通过三视图可知直三棱柱 A 1 B 1 C 1 A B C 的前侧面是边长为 2 的正方形， 左侧面与前侧面互相垂直将直三棱柱 补形成正方体的方法，找到正方体右侧 面作为几何体 左 视图的投影面，可知三棱 锥 E 左 视图为正方体右侧阴影部分故有： 三棱锥 E 左 视图的面积 例 4 通过外部补形成长方体得到斜线的三个投影面，例 5 通过外部补形成正方体得到三棱锥 E 视图的面积，体现了空间几何问题中由局部到整体的全局观察 总之，空间几何体中几何体和三视图问题虚实相间，该问题较能体现学生空间想象能力和学生对空间几何体的认知水平本文通过直观构造、内部构造、外部补形、由下而上的建造思想为解决此类几何体和三视图问题奠定了坚实的思想基础 返回 备 课 资 讯 1 7 求几何体体积的 常用方法 一、分割法 对于给出的一个不规则的几何体 ， 不能直接套用公 式 ， 常常需要运用分割法 ， 按照结论的要求 ， 将原 几何体分割成若干个可求体积的几何体 ， 然后再求 和 【 例 1 】 如右图，在多面体 A B C D ， 已知 A B C D 是边长为 1 的正方形，且 A D E 、 B C F 均为正三角形， 2 ，则该多面体的体积为 . 分析 由于本题中多面体 A B C D E F 为非规则几何体， 不能直接求其体积，因此可以考虑用分割法，使其分 割为如图所示的两个体积相等的三棱锥与一个直三棱柱 解析 分别过 A 、 B 作 垂线，垂足分 别为 G 、 H ， 连结 容易求得 . 21,2 3 B H C D E 中点 P ，则多面体 A B C D E F 分割成正四面体 A D E P 、 P B C F 和正四棱锥 P A B C D ，也易于计算 点评 二、补形法 利用平移、旋转、延展或对称等手段，将原几何体 补成便于求体积的几何体，如正方体、长方体等 【 例 2 】 四面体 S 三组对棱分别相等，且依 次为 2 5 、 13 、 5 ，求该四面体的体积 分析 由三条对棱相等，易联想到长方体的三组相对的面上的对角线长相等，因此可将四面体补成一个长方体来解决 解析 将四面体 “ 补 ” 成如图所示的长方体，使四面体对棱分别为长方体相对面的对角线 设长方体的三边分别为 x ， y ， z ， 所以 V 四面体 = V 长方体 - 4 V D = V 长方体 - 4 V 长方体 = V 长方体 =8 . ,3,2,4,5,)13(,)52(222222222本题是通过将四面体的四个面向外拓展补为长 方体，则问题转化为求一个长方体和四个相等的且有 三个直角的三棱锥，再利用间接法求得最后的结果 三、等积转换法 “ 等积转换法 ” 是针对当所给几何体的体积不能直 接套用公式或涉及的某一量 ( 底面积或高 ) 不易求解 时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进 行计算，该方法尤其适用于求三棱锥的体积 【 例 3 】 在边长为 a 的正方体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 、 N 、 P 分别是棱 A 1 B 1 、 A 1 D 1 、 A 1 A 上的点，且满足 A 1 M = A 1 B 1 ， A 1 N =2 ， A 1 P = A 1 A ， 试求 三棱锥 A 1 M N P 的体积 2143分析 若用公式 V = 接计算三棱锥 A 1 M N P 的 体积，则需要求出 M N P 的面积和该三棱锥的高，两者显然都不易求出，但若将三棱锥 A 1 M N P 的顶点 和底面转换一下，变为求三棱锥 P A 1 体积，显 然就容易解答了 解析 31 V 11 点评 转换顶 点和底面是求三棱锥体积的一种常用的 方法，也是求后面要学习到的求点到平面距离的一个 理论依据，相应的方法叫等积法 四、还原图形法 此类题主要是没有直接给出几何体 ， 而是给出了几 何体的三视图 ， 求体积时一般需要根据三视图还原 成直观图 ， 再进行解答 【 例 4 】 下图是一个几何体的三视图，根据图中所 标的数据求这个几何体的体积 分析 本题题设中三视图已经给出，欲求原几何体的体积，需根据 “ 长对正、高平齐、宽相等 ” 的原则将三视图还原成直观图 解析 由三视图可知这个几何体是由一 个三角形旋转得到的几何体，如右图， A B C 绕着过点 B 且垂直于 直线 旋转一周得到的几何体即为原几何体， 其体积是圆台的体积减去圆锥的体积 因为圆台的上、下底面的半径分别是 1 、 2 ，且高 3 ，故所求几何体的体积 V = V 圆台 - V 圆锥 =7 - 4 =3 . 点评 由三视图还原成几何体时，要注意三视图与原几何体之间的各数据的对应关系 返回 备课资讯 18 例析线面平行的判定与 性质 直线和平面平行的判定定理和性质定理是学习平 面与平面平行的基础，熟记和理解直线与平面平行的判定定理和性质定理， 就能灵活运用并实现 “ 线线 ” 、 “ 线面 ” 、 “ 面面 ” 平行的转化线面平行的判定定理中，包含的要素有：两线一面两线一面的关系是：一线在面外一线在面内，线线平行结论是：线面平行 可由线线平行转化为线面平行证线面平行的根本是要在平面内找一条直线和已知直线平行，常用中位线定理、成比例线段、平行公理等多种方法线面平行的性质定理中，包含 的 要素有：两线两面两线两面的关系是：一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交线 结论是：两线平行可由线面平行转化为线线平行 一、利用三角形中位线 【 例 1 】 已知 P 为平行四边形 A B C D 所 在平面外的一点， M 为 点求证： 平面 M A C . 分析 根据线面平行的判定定理，要证线面平行，只 需证线线平行，即在平面 M A C 内找到一条直线平行于由此可以利用 “ 中点 M ” 构造中位线 证明 连接 交 N ， 连接 四边形 A B C D 是平行四边形， N 是 中点 又 M 是 中点， 在 ， 中位线， 且 平面 M A C . 而 平面 M A C ， 平面 M A C . 点评 线面平行问题通常可转化为线线平行来处理，寻找平行直线是解决此问题的关键，这里用到三角形中位线定理 二、构造辅助平面 【 例 2 】 如图， P 为平行四边形 A B C D 所在平面外一点， M 、 N 分别为 中点，平面 平面 P B C = 直 线 l. (1 ) 求证： l； (2 ) 试判断 平面 P A D 是否平行？并证明你的结 论 分析 根据线面平行的性质定理，要证线线平行，只需证线面平行即找过 平面与另一平面的交线是否为直线 l. 证明 ( 1) 平行四边形 A B C D 中， 又 平面 P A D ， 平面 P A D ， 平面 又平面 P A D 平面 直线 l， 平面 P B C ， l. (2 ) 平行下面进行证明 延长 长线于 Q ，连接 M 是 中点， Q A M C B M . 即 M 是 中点， 又 N 是 中点， 又 平面 P A D ， 平面 P A D ， 平面 点评 应用线面平行的性质定理时，应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线需作出辅助 平面 三、构造平行线 【 例 3 】 正方体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中， M 、 N 分别为 A 1 D 1 的中点 求证： 平面 D 1 D . 分析 要证线面平行，可证面面平行，即证 在平面与平面 D 1 D 平行 证明 取 A 1 B 1 的中点 E ，连结 M 、 E 分别是 A 1 B 1 的中点， ， 平面 D 1 D . 又 N 、 E 分别是 A 1 D 1 、 A 1 B 1 的中点， B 1 D 1 ， 平面 D 1 D ， 又 E ， 平面 M N E 平面 D 1 D 又 平面 M N E ， 平面 D 1 D . 点评 证明直线和平面平行，可转化为直线所在平面与平面平行，再由面面平行转化为线面平行 返回 第八编 立体几何 空间几何体的结构及其三 视图和直观图 要点梳理 (1)棱柱的上下底面 ，侧棱都 且 _ ，上底面和下底面是 的多边形 . (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个 的三角形 . 平行 平行 长度相等 全等 公 共点 基础知识 自主学习 (3)棱台可由 的平面截棱锥得 到，其上下底面的两个多边形相似 . (1)圆柱可以由矩形绕其 旋转得到 . (2)圆锥可以由直角三角形绕其 旋转得到 . (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等 腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由 的平面截圆锥得到 . (4)球可以由半圆或圆绕其 旋转得到 . 平行于棱锥底面 一边所在直线 一条直角边所在 直线 平行于圆锥底面 直径 空间几何体的三视图是用 正投影 得到 ,这种投 影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平 面图形的形状和大小是 的 ,三视图包括 、 、 . 画空间几何体的直观图常用 画法，基 本步骤是： (1)在已知图形中取互相垂直的 轴 相交于点 O,画直观图时 ,把它们画成对应的 x 轴、 y 轴 ,两轴相交于点 O, 且使 x O y . 完全相同 斜二测 =45 （或 135 ） 主视图 左视图 俯视图 (2)已知图形中平行于 直观 图中平行于 . (3)已知图形中平行于 在直观图中长 度 _，平行于 长度变为 . (4)在已知图形中过 在直观图中对应的 z 轴也垂直于 x O y 平 面 ,已知图形中平行于 直观图中 仍平行于 z 轴且长度 . x轴、 y轴 原来 的一半 不变 保持不变 (1)平行投影的投影线 互相平行 ，而中心投影的 投影线 相交于一点 . (2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画 出的直观图都是在 平行 投影下画出来的图形 . 基础自测 ） 两个侧面是矩形 两个侧面垂直于底面 有一个顶点处的三条棱两 两垂直 解析 根据正四棱柱的结构特征加以判断 . C 各个截面都是 圆，则这个几何体一定是（ ） 锥、球体的组合体 解析 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截 面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面 都是圆面 . C 么这个圆锥 的顶角 (圆锥轴截面中两条母线的夹角 )是 ( ) 解析 设母线为 l,底面半径为 r，则 l=2 r. 母线与高的夹角为 30 . 圆锥的顶 角为 60 . ,21 （ ） 解析 由三视图知该几何体为一四棱锥，其中 有一侧棱垂直于底面 ,底面为一直角梯形 . B 底 ，腰 B= ，下 底 ，以下底所在直线为 由斜二测画 法画出的直观图 A B C D 的面积为 . 解析 1(21,42,21,11)2(222 题型一 几何体的结构、几何体的定义 设有以下四个命题： 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 底面是矩形的平行六面体是长方体； 直四棱柱是直平行六面体； 棱台的相对侧棱延长后必交于一点 . 其中真命题的序号是 . 利用有关几何体的概念判断所给命题 的真假 . 【 例 1】思维启迪题型分类 深度剖析 解析 命题符合平行六面体的定义 ,故命题是 正确的 ,底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底 面不垂直 ,故命题是错误的 ,因直四棱柱的底面 不一定是平行四边形 ,故命题是错误的 ,命题 由棱台的定义知是正确的 . 答案 解决该类题目需准确理解几何体的定 义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通 过反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错 误的，设法举出一个反例即可 . 探究提高知能迁移 1 下列结论正确的是（ ） 余 两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 此棱锥可能是六棱锥 都是母线 解析 如图所示，由两个结构 相同的三棱锥叠放在一起构成的几何 体 ,各面都是三角形，但它不一定是棱锥 . 如下图，若 形或是直角三角形 ,但旋转轴不是直角 边，所得的几何体都不是圆锥 . 若六棱锥的所有棱长都相等， 则底面多边形是正六边形 以正 六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长 . 答案 D 题型二 几何体的直观图 一个平面四边形的斜二测画法的直观图 是一个边长为 则原平面四边形的面 积等于 ( ) A. B. C. D. 按照直观图的画法，建立适当的坐 标系将正方形 A B C D 还原，并利用平面 几何的知识求出相应的线段、角，求解时要注 意线段和角的变化规律 . 【 例 2】242 a 222 a 222 a 2322 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规 则可知 ,在 或与 的线段 ,其长度保持 不变 ;在 或与 的线段 ,其长度变为原 来的一半 ,且 x O y=45 (或 135 ),所以 , 若设原平面图形的面积为 S,则其直观图的面积为 可以得出一个平面图形的面积 S 与它的直观图的面积 S 之间的关系是 S= 本题中直观图的面积为 所以原平面四边形的面积 答案 B 2 221 ,42 对于直观图 ,除了解斜二测画法的规 则外 ,还要了解原图形面积 之间的关系 S= 能进行相关问题的计算 . 知能迁移 2 如图所示，直观图四边形 A B C D 是一个底角为 45 ， 腰和上底均为 1的等腰梯形，那么原平面图形的面 积是 . 探究提高,42 把直观图还原为平面图形得： 直角梯形 ， + ， ， 2(21 面积为答案 22题型三 几何体的三视图 (2009 山东 )一空间几何体的三视图 如图所示，则该几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【 例 3】322 324 3322 3324 由几何体的三视图，画出几何体的直 观图，然后利用体积公式求解 . 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成， 圆柱的底面半径为 1，高为 2，体积为 2，四棱锥 的底面边长为 ，高为 ，所以体积为 所以该几何体的体积为 答案 C 通过三视图间接给出几何体的形状 ,打 破以往直接给出几何体并给出相关数据进行相关 运算的传统模式 ,使三视图与传统意义上的几何体 有机结合 ,这也体现了新课标的思想 . 2 2)2(31,3 323 22 探究提高3思维启迪知能迁移 3 一个几何体的三视图如图所示，其中正 视图与侧视图都是边长为 2的正三角形，则这个几 何体的侧面积为 （ ） A. B. C. D. 解析 由三视图知，该几何体为一圆锥，其中 底面直径为 2，母线长为 2， 1 2=2. 33 2 3 4B 题型四 多面体与球 （ 12分）棱长为 2的正四面体的四个顶点 都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面 如图所示，求图中三角形（正四面体的截面） 的面积 . 截面过正四面体的两顶点及球心， 则必过对边的中点 . 【 例 4】思维启迪解 如图所示， ,38344,33232,3232,2228分 解题示范 解决这类问题的关键是准确分析出组 合体的结构特征 ,发挥自己的空间想象能力 ,把立 体图和截面图对照分析 ,有机结合 ,找出几何体中 的数量关系 ,为了增加图形的直观性 ,常常画一个 截面圆作为衬托 . 3832121所求的三角形的面积为的面积为 知能迁移 4 在一个倒置的正三棱锥容器内 ,放入 一个钢球 ,钢球恰好与棱锥的四个面都接触 ,经 过棱锥的一条侧棱和高作截面 ,正确的截面图形 是 ( ) 解析 正三棱锥的内切球心在高线上 ,与侧面有 公共点 ,与棱无公共点 . B 方法与技巧 握基本概念和性质，并能 灵活应用 . 棱、斜高、底 面正多边形、内切圆半径、外接圆半径、底面 边长的一半构成的直角三角形中解决 . 锥、圆台、球应抓住它们是旋转体这 一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面 . 思想方法 感悟提高 失误与防范 一定强调截 面与底面平行 . 在绘制三视图时 ,若相邻两物体的表面相交 ,表面 的交线是它们的分界线 界线和可 见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚 线 俯视图长对正，主左视图高平齐， 俯左视图宽相等” . 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段 . “ 平行于 度不变； 平行于 度减半 .” 也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图 . 提升空间想象能力 . 一、选择题 （ ） 解析 几何体的上部为圆锥，下部为圆台，只 有 柱和一圆锥， A 定时检测 立的是 （ ） 棱锥一 定是正棱锥 侧棱 相等的棱锥一定是正棱锥 解析 要将底面全等的两个棱锥 的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是 三角形，但这个多面体不是棱锥； 个面共顶点，另有三边围成三角形 是四面体也必定是个三棱锥； 图所示，棱锥的侧面 是全等的等腰三角形，但该棱锥 不是正三棱锥； 面多边形既有内切 圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形， 因此不是正棱锥 . 答案 B 且仅有两个视图 相同的是 （ ） A. B. C. D. 解析 在各自的三视图中正方体的三个视图 都相同；圆锥的两个视图相同；三棱台的 三个视图都不同；正四棱锥的两个视图相同， 故选 D. D 4.（ 2008 广东） 将正三棱柱截去三个角（如图 1 所示）， A， B， 几何体如图 2，则该几何体按图 2所示方向的左 视图（或称侧视图）为 （ ） 解析 当三棱锥没有截去三个角时的侧视图如图 （ 1）所示，由此可知截去三个角后的左视图如 图（ 2）所示 . 答案 A (如图 )，那么原三角形的面积为 （ ） A. B. C. D. 223 a 243 a 26 在原图与直观图中有 11在直观图中，过 1 因为 所以 在 5 ， 根据直观图画法规则知： 答案 C ,23a,26 a,62 622 11 621 2的正方体 个顶点都在 球 E、 直线 截得的线段长为 （ ） A. C. D. 解析 由题知球 ，球心 F 的距离为 ，由垂径定理可知直线 截 得的线段长 22 21二、填空题 列平面图形可能是 截面的是 . 正方形；长方形；等边三角形；直角 三角形；菱形；六边形 . 解析 如图所示正方体 行于 为正方形，截面 截面 取 、 F，则截面 、 N、 P、 Q，过这四点的截面为六 边形，截面不可能为直角三角形 . 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底 面和截面之间的部分叫棱台； 棱台的各侧棱延长后一定相交于一点； 圆台可以看做直角梯形以其垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面 围成的几何体； 半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球 . 其中所有正确命题的序号是 . 解析 符合棱台的定义；棱台是由棱锥被 平行于底面的平面所截而得，各侧棱延长后一 定相交于一点；是圆台的另一种定义形式； 中形成的是球面而不是球 . 9.（ 2009 天津） 如图是一个几何体的三 视图 ，则 a= . 解析 由三视图可知，此几何体为直三棱柱， 其底面为一边长为 2，高为 由棱 柱的体积公式得 33221 以3三、解答题 0 面半径为 30 圆锥中，求正方体的棱长 . 解 如图所示，过正方体的体对角 线作圆锥的轴截面，设正方体的棱 长为 x，则 ,40403022,22 ),223(120 23(120 ，侧棱长为 ，求侧面上斜高 （棱锥侧面三角形的高）为多少？ 解 如图所示，正四棱锥 S= ， 侧棱 B=D= ， 在 . C=A=2 . 作 ，则 连接 在 ，即侧面上的斜高为 . 37,222 ,3,221 视图和俯视 图如图所示 . （ 1）画出该三棱锥的直观图 ; （ 2）求出侧视图的面积 . 解 （ 1）如图所示 . （ 2）根据三视图间的关系可得 ,212)322332(422 V B 空间几何体的表面积与体积 要点梳理 、台和球的侧面积和体积： 面积 体积 圆柱 圆锥 侧S V Sh S V 基础知识 自主学习 圆台 直棱柱 正棱锥 正棱台 球 侧S ( 21 (31 下上下上 (31 212221 侧S V S 21 V )(21 (31下上下上 球面S 24 R （ 1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是 . （ 2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是 、 、 ；它们的表面积等于 . 各面面积 之和 矩 形 扇形 扇环形 侧面积 与底面面积之和 基础自测 的圆锥的侧面展开图的圆心角等 于 ,则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 解析 设圆锥的底面半径为 r，则 348122 818 8154 8110,32,3412 )32(1 2 431 2 .（ 2008 湖北） 用与球心距离为 1的平面去截 球，所得的截面面积为 ，则球的体积为 ( ) A. B. C. D. 解析 截面面积为 ，则该小圆的半径为 1， 设球的半径为 R，则 2+12=2， R= ， 2834 3 .（ 2009 陕西） 若正方体的棱长为 ，则以该 正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积 为 ( ) A. B. C. D. 解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两 个正四棱锥组成的，底面正方形的边长为 1，每 一个正四棱锥的高为 ，所以 2 21312 2 4.（ 2009 海南） 一个棱锥的三视图如下图，则该 棱锥的全面积 (单位 : ( ) A. B. C. D. 21248 21236 22436 22448 解析 该几何体是一个底面为直角三角形的三 棱锥，如图， ， ， ， C=6， S S 案 A 265.（ 2008 山东） 如图是一个几何体的三视图 ,根 据图中数据 ,可得该几何体的表面积是 ( ) 析 几何体为一个球与一个圆柱的组合体 , S=41 2+1 22+2 13=12 . D 题型一 几何体的展开与折叠 有一根长为 3 面半径为 1 圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2圈，并 使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端 , 则铁丝的最短长度为多少？ 把圆柱沿这条母线展开，将问题转 化为平面上两点间的最短距离 . 【 例 1】思维启迪题型分类 深度剖析 解 把圆柱侧面及缠绕其上 的铁丝展开，在平面上得到 矩形 图所示）， 由题意知 分别是铁丝的起、止位 置，故线段 故铁丝的最短长度为 5 522 求立体图形表面上两点的最短距离 问题，是立体几何中的一个重要题型 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体 图形的几个平面上或旋转体的侧面上 现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将 图中的某些平面旋转到同一平面上，或者将曲面 展开为平面，使问题得到解决 开（有时全部展开，有时部分展开）为平面图形， 找出表示最短距离的线段，再计算此线段的长 . 探究提高知能迁移 1 如图所示，长方体 AB=a， BC=b， c，并且 abc0. 求沿着长方体的表面自 1的最短线路的长 . 本题可将长方体表面展开，利用平面 内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答 . 解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可 能，如图所示 . 思维启迪三个图形甲、乙、丙中 ,0,2)(,2)(,2)(222222222222222222故最短线路的长为题型二 旋转体的表面积及其体积 如图所示 ,半径为 阴影部分以直径 旋 转一周得到一几何体 ,求该几何体的 表面积 (其中 0 )及其体积 . 先分析阴影部分旋转后形成几何体的 形状 ,再求表面积 . 【 例 2】思维启迪解 如图所示 , 过 1,在半圆中可得 0 , 0 ,R, , 4 231 ,231123234,2323,23323222211212111 2R 表面积为旋转所得到的几何体的 解决这类题的关键是弄清楚旋转后所 形成的图形的形状，再将图形进行合理的分割， 然后利用有关公式进行计算 . 41314131,34333111221111221113圆锥圆锥球几何体圆锥圆锥球又探究提高知能迁移 2 已知球的半径为 R，在球内作一个内 接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它 的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？ 解 如图为轴截面 . 设圆柱的高为 h，底面半径为 r， 侧面积为 S，则 ,)2(222 2,22,1(4)(最大值是最大圆柱侧面积时即当且仅当即题型三 多面体的表面积及其体积 一个正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长 为 ，求这个三棱锥的体积 . 本题为求棱锥的体积问题 边长和侧棱长，可先求出三棱锥的底面面积 和高，再根据体积公式求出其体积 . 解 如图所示， 正三棱锥 S 设 连接 则 【 例 3】思维启迪15连接 ， 则 的正三角形， ,33623 323222 求锥体的体积，要选择适当的底面和 高，然后应用公式 进行计算即可 法：割补法和等积变换法 . （ 1）割补法：求一个几何体的体积可以将这个几 何体分割成几个柱体、锥体，分别求出锥体和柱 体的体积，从而得出几何体的体积 . （ 2）等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为 三棱锥的底面 . 求体积时，可选择容易计算的方 式来计算；利用 “ 等积性 ” 可求 “ 点到面的 距离 ” . 探究提高1知能迁移 3 如图，在多面体 ，已知 的正方形， 且 ，则该多面体的体积为 ( ) A. B. C. D. 解析 本题中的多面体是一个不规则的几何体 , 因此可考虑对其进行分割或补形 . 32333423如图所示，分别过 A、 垂足分别为 G、 H，连接 容易求得 21,2 3 212221B C A 题型四 组合体的表面积及其体积 (12分 )如图所示 ,在等腰梯形 ， 0 ， 将 D、 使 A、 求形成的三棱锥的外接球的体积 . 易知折叠成的几何体是棱长为 1的正 四面体，要求外接球的体积只要求出外接球的 半径即可 . 解题示范 解 由已知条件知，平面图形中 B=D=E=. 折叠后得到一个正四面体 . 2分 【 例 4】思维启迪方法一 作 平面 足为 F， 取 ，连接 过球心 H 平面 则垂足 4分 外接球半径可利用 在 据三角形相似可知， ,3 6)3 3(1,2 3 2 分 10分 12分 方法二 如图所示，把正四面体放在正 方体中 四面体的外接球就 是正方体的外接球 . 3分 正四面体的棱长为 1， 正方体的棱长为 ， 6分 6(34,46,22323为该三棱锥外接球的体积体积为外接球直径12分 （ 1）折叠问题是高考经常考查的内容 之一，解决这类问题的关键是搞清楚处在折线同 一个半平面的量是不变的，然后根据翻折前后图 形及数量的关系的变化，借助立体几何与平面几 何知识即可求解 . （ 2）与球有关的组合体，是近几年高考常考的 题目，主要考查空间想象能力及截面图的应用， 因此画出组合体的截面图是解决这类题的关键 . 探究提高知能迁移 4 （ 2009 全国 ） 直三棱柱 若 C= ， 20 ，则此球的表面积等 于 . 解析 在 由余弦定理知 2AC20 =4+42 2 由正弦定理知 r=2,由题意知球心到平面 ， 设球的半径为 R，则 4 0. ,12)21( 1 2 0r,512 2 方法与技巧 锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的 结构特点与平面几何知识来解决 . 关的计算公式无 法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中 的已知元素彼此离散时 ,我们可采用“割”、 “补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体 （柱、锥、台），或化离散为集中，给解题提供 便利 . 思想方法 感悟提高 （ 1）几何体的“分割” 几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要 求 ,分割成若干个易求体积的几何体 ,进而求之 . (2)几何体的“补形” 与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补 成易求体积的几何体，如长方体、正方体等 补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法 , 由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体 补成锥体研究体积 . （ 3）有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算， 应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角 形、直角梯形求有关的几何元素 . 失误与防范 要注意在何处剪 开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一 条母线剪开 . 种是内切，一种是 外接 确切点和接点 的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正 方体各个面的中心 ,正方体的棱长等于球的直 径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面 上，正方体的体对角线长等于球的直径 旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题 , 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和 球心，或“切点”、“接点”作出截面图 . 一、选择题 个空间几何体的主视图、左视图、 俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角 形的直角边长为 1，那么这个几何体的体积为 ( ) 定时检测 解析 由三视图知该几何体为三 棱锥，记为 S 中 B= 且两两互相垂直， D ，则这个正方体的内切球的 表面积是 ( ) 析 设正方体的棱长为 a,则 , a=正方体的内切球直径为 2, 4 . C ， 体积为 6，则这个球的表面积是 ( ) 析 设正四棱锥高为 h，底面边长为 a， 可利用三角形相 似计算出球的半径 r=2， 4 6. ,6,631 22 这个几何体的体 积是 ( ) 析 由三视图知该几何体为组合体，由一个正 四棱锥与一个正方体叠加构成，其中正方体的棱 长为 3，正四棱锥高为 1，底面正方形边长为 3, V= 答案 B 相切，若这个球的体积是 则这个三棱柱的体 积是 ( ) A. B. C. D. 解析 由 得 R=2. 正三棱柱的高 h=4. 设其底面边长为 a，则 ,332396324316348,3 3234 3 2331 3484)34(4 3 2 工作台由主体和附属两部分组成， 主体部分全封闭，附属部分是 为了防止工件滑出台面而设置的 护墙，其大致形状的三视图如图 所示（长度单位： 则按图中尺寸，做成的 工作台用去的合板的面积为（制作过程合板损耗 和合板厚度忽略不计） ( ) 00 00 00(22+ ) 00 7解析 由三视图知该工作台是棱长为 80 体上面围上一块矩形和两块直角三角形的合板， 如图所示，则用去的合板的面积S=6 802+80 20 2=41 600 答案 D 二、填空题 7.（ 2009 辽宁） 设某几何体的三视图如 下（尺寸的长度单位： m） . 则该几何体的体积为 解析 由三视图可知，该几何体为三棱锥 （如图）， ， ， , 答案 4 A B ，则四面体 A . 解析 四面体 A 接球，所以 3.)32(32 2 3 36 知一个多面体的平面 展开图由一个边长为 1的正方形和 4 个边长为 1的正三角形组成，则该多 面体的体积是 . 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长 为 1，侧棱长为 1，斜高为 ，连结顶点和底面 中心即为高，可求高为 ，所以体积 2322 62三 、解答题 面三角形的边长分别为 3 5 棱柱削成圆柱，求削去部 分体积的最小值 . 解 如图所示，只有当圆柱的底面圆 为直三棱柱的底面三角形的内切圆时， 圆柱的体积最大，削去部分体积才能 最小，设此时圆柱的底面半径为 R， 圆柱的高即为直三棱柱的高 . 在 ， ， ， 根据直角三角形内切圆的性质可得 7， R=1. h=6. 而三棱柱的体积为 削去部分体积为 36（ 6 （ . 即削去部分体积的最小值为 6（ 6 个直三棱柱形容器 中盛有水，且侧棱 面恰好过 底面 时，液面高为多少？ 解 当侧面 的形状为四 棱柱形，底面 设 ，则 当底面 的形状为三棱柱形， 设水面高为 h，则有 6 S= h=6. 故当底面 面高为 6. , （单位： m） : （ 1）试画出它的直观图； （ 2）求它的表面积和体积 . 解 （ 1）直观图如图所示： （ 2） 方法一 由三视图可知该几何体是长方体被截 去一个角 ,且该几何体的体积是以 11棱的长方体的体积的 ， 在直角梯形 作 ， 则 E=1. 43在 ， ， . 几何体的表面积 2 111 2 梯形正方形111111矩形 C 形正方形 ).(1(21212m)27(),( 几何体也可以看作是以 直四棱柱，其表面积求法同方法一， 7().(1(213231111体积为几何体的表面积为直四棱柱 空间点、直线、平面之间 的位置关系 要点梳理 公理 1：如果一条直线上的 在一个平面内， 那么这条直线所有的点都在这个平面内 . 公理 2：经过 _的三点，有且只 有一个平面 . 公理 3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有 且只有 通过这个点的公共直线 . 两点 不在同一条直线上 一条 基础知识 自主学习 一个平面内不同在异面直线共面直线:平行 相交 任何 、 、 三种情况 . 、 两种情况 . 平行于 的两条直线平行 . 空间中 ,如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角 . 平行 相交 在平面内 平行 相交 同一条直线相等或互补 基础自测 三条交线互相平行， 则这三个平面把空间分成（ ） 解析 如图所示 ,三个平面 、 、 两两相 交，交线分别是 a、 b、 c且 a b 、 、 把空间分成 7部分 . C （ ） 解析 如图所示， a b,c与 a与 D 3 ( 2 0 0 9 湖南 ) 平行六面体 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 中，既与 面也与 共面的棱的条数为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 解析 如图，平行六面体 D A 1 B 1 C 1 D 1 中，与面也与 共面的棱有 ， ，C 1 D 1 ，共 5 条 C 对”，那么在正方 体的十二条棱中共有异面直线（ ） 解析 如图所示，与 有 因为各棱具有相同的位置且正方体 共有 12条棱，排除两棱的重复计 算，共有异面直线 B . 没有公共点的两条直线是异面直线； 分别和两条异面直线都相交的两直线异面； 一条直线和两条异面直线中的一条平行，则 它和另一条直线不可能平行； 一条直线和两条异面直线都相交，则它们可 以确定两个平面 . 解析 没有公共点的两直线平行或异面 ,故错； 命题错 ,此时两直线有可能相交；命题正确， 因为若直线 a和 c a,则 c与 用反证法证明如下：若 c b,又 c a,则 a b，这 与 a, c b;命题也正确，若 异面直线 a,公理 3可知， a,一个平面 ,b,样 ,a,b,定两个平面 . 答案 题型分类 深度剖析 题型一 平面的基本性质 【 例 1 】 下列说法正确的是 ( ) A 如 果两个不重合的平面 、 有一条公共直线 a ， 就说平面 、 相交，并记作 a B 两个平面 、 有一个公共点 A ，就说 、 相交 于过 A 点的任意一条直线 C 两 个平面 、 有一个公共点 A ，就说 、 相交 于 A 点，并记作 A D 两个平面 交于线段 解析 根据平面的基本性质可知， A 选项是正确的； 对于 B ，其错误在于 “ 任意 ” 二字上；对于 C , 错误在 于 A 上；对于 D ，应为平面 平面 D 相交于直线 故选 A. 答案 A 探究提高 根据公理 3 我们知道，若两个平面有一 个公共点，则必有一条过这个公共点的公共直线， 且这条直线是唯一的这一结论指出了两个平面相 交的特征，也为证明点共线提供了依据 知能迁移 1 已知 A 、 B 、 C 是空间不同的点， a 、 l 表 示空间不同的直线， 、 表示空间不同的平面，则 下列推理错误的是 ( ) A A l ， A ， B l ， B l B A ， B ， C l ， A l A D ， C ， A ， B ， C ，且 A 、 B 、 C 不共 线 与 重合 解析 对于 C 选项，可能出现 l A ，其余选项都是 正确的 C 【 例 2 】 如图所示，空间四边形 A 中， E 、 F 、 G 分别在 ， 且满足 2 1 ， 3 1 ，过 E 、 F 、 G 的平面交 H ，连接 (1) 求 (2) 求证： 线共点 (1) 解 2 ， 平面 而 平面 H ， 且平面 H 平面 A 而 3 ，即 3 1. 题型二 共点、共线、共面问题 ( 2) 证明 且3，4， 四边形 H 为梯形 令 P ，则 P 而 平面 A P 平面 ，平面 A 平面 B P 线共点 所谓线共点问题就是证明三条或三条以 上的直线交于一点 (1) 证明三线共点的依据是公理 3. (2) 证明三线共点的思路是：先证两条直线交于一点， 再证明第三条直线经过该点，把问题转化为证明点在 直线上的问题实际上，点共线、线共点的问题都可 以转化为点在直线上的问题来处理 探究提高 知能迁移 2 如图所 示，四边形 F 和 是直角梯形， F 90 ， 12 12 G 、 H 分别为 中点 (1 ) 证明 ：四边形 B C 平行四边形； (2 ) C 、 D 、 F 、 E 四点是否共面？为什么？ (1) 证明 由已知 可得 12 又 12 四边形 为平行四边形 ( 2) 解 方法一 由 12 G 为 点知 , 四边形 平行四边形， 由 ( 1) 知 面 又 D C 、 D 、 F 、 E 四点共面 方法二 如图所示，延长 别与 于点 M ， M ， 12 B 为 点 12 B 为 M A 中点， M 与 M 重合，即 于点 M ( M ) ， C 、 D 、 F 、 E 四点共面 题型三 异面直线的判定 【 例 3】 (12分 )如图所示，正方体 M、 1 问： （ 1） 明理由； （ 2） 明理由 . （ 1）易证 以 面 . （ 2）由图易判断 明时 常用反证法 . 思维启迪 解 （ 1）不是异面直线 连接 M、 1 又 A、 M、 N、 异面直线 . （ 2）是异面直线 B、 C、 3分 6分 解题示范 假设 则存在平面 ，使 面 ， 面 ， B、 C、 ，与 方体矛盾 . 假设不成立，即 解决这类开放型问题常用的方法有直 接法 (即由条件入手，经过推理、演算、变形等 ), 如第（ 1）问，还有假设法，特例法，有时证明两 直线异面用直接法较难说明问题 ,这时可用反证 法，即假设两直线共面，由这个假设出发，来推 证错误，从而否定假设，则两直线是异面的 . 探究提高10分 12分 知能迁移 3 (1)如图是一几何体的平面展开图， 其中四边形 E、 A、 在此几何体中 ,给出下面四个结论： 直线 直线 直线 平面 平面 平面 其中正确结论的序号是（ ） A. B. C. D. 解析 由 错；正确；正确；错 . B （ 2）如图，正方体 M、 别为棱 以下四个结论： 直线 直线 直线 直线 其中正确的结论为 （注：把你认为正确 的结论的序号都填上） . 解析 直线 线 N 也是异面直线，故错误 . 方法与技巧 （ 1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部 分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点 也在这个平面内（即“纳入法”） . （ 2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的 交线 ,只要证明这些点都是这两个平面的公共 点 ,根据公理 3可知这些点在交线上 ,因此共线 . （ 1）判定定理：平面外一点 的连 线和平面内不经过该点
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