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步步高 高考 数学 一轮 复习 温习 第二 函数 导数 课件 打包 十五

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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第二编 函数与导数课件（打包十五套）,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第二,函数,导数,课件,打包,十五

内容简介：

第二编 函数与导数 函数及其表示 基础知识 自主学习 要点梳理 （ 1）函数定义 设 A， ，如果按照某种确定的对应 法则 f,使对于集合 _数 x,在集合 数集 任意一个 都有 的数 f(x)和它对应，那么就称 f:A 从集合 的一个函数，记作 _. (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x 叫做函数的 ；与 值 ,函数值的集合 f(x)|x A叫做函数的 值域是集合 (3)函数的三要素： 、 和 . (4)相等函数：如果两个函数的 和 完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据 . 惟一确定 定义域 值域 定义域 值域 对应法则 定义域 对应法则 y=f(x),x A 表示函数的常用方法有 : 、 、 _. 设 A、 如果按照某种对应法则 f, 使对于集合 在集合 _ 的元素与之对应 ,那么这样的单位对应叫做集合 A 到集合 _，记作 f:A B. 映射是 概念的推广， 函数是一种特殊的映射 ,要注意构成函数的两个集 合 A， . 解析法 图象法 列表法 都有惟一函数 非空数集 映射 基础自测 =x|0 x2 ， N=y|0 y2, 给出下列 4个 图形 ,其中能表示集合 的函数关系的有 _个 . 解析 由函数的概念知正确，不正确 . 1 f(x)=|x|相等的是 _. ; ; y=x; y=解析 中 y=x(x0) ，中 y=x(x0)，中 y=x, 只有中 y=|x|. 2 三个图象各表示两个变量 x, 对应关系 ,则能表示 y是 _(填 序号 ). 解析 根据映射及函数的定义 ,在 3个图象中 , 不 能表示映射，也不能表示函数；是映射，也是 函数 . =x,则 f(x)=_. 解析 x0, 令 =t,即 x= (t0), )( ()(),()()(051051151222 051 2 xx x 【 例 1】 (2010 苏州模拟 )下列函数是否为同一函数 . (1) (2) (3)f(x)=g(t)=(4)f(n)=2g(n)=2n+1,(n Z). 解 (1)f(x)的定义域是 x|x0, g(x)的定义域是 x|x0 或 x f(x)与 g(x)的定义域不同 , 因此 f(x)与 g(x)不是同一函数 . 典型例题 深度剖析 ;)()(,)( 11 (,)( 2242 )f(x)= 的定义域为 x|x R,且 x2, g(x)的定义域为 R, f(x)与 g(x)的定义域不同 , 因此 f(x)与 g(x)不是同一函数 . (3)f(x)、 g(t)虽然自变量用不同的字母表示 ,但定义 域、对应法则都相同 ,所以 f(x)、 g(t)表示同一函数 . (4)f(n)、 g(n)的对应法则不同 ,所以不是同一函数 . 242 下列各组函数中 ,表示同一函数的是 . f(x)=x,g(x)=0x; 解析 中 ,g(x)=x, f(x)=g(x). 中 ,f(x)=|x|,g(x)=x (x0), 两函数定义域不同 ,因此 f(x),g(x)不是同一函数 . 中 ,f(x)=x+1 (x1), g(x)=x+1,定义域不同 . ;)()(,)( 22 ;)(,)( 1112 (,)( 111 2 中 , (x+10 且 ). f(x)的定义域为 x|x1, g(x)的定义域为 x|x1 或 x 两函数定义域不同 ,因此 f(x)与 g(x)不是同一函数 . 答案 11 (【 例 2】 (1)求函数 的定义域 ; (2)已知函数 f(2x)的定义域是 ,求 f(的定义域 . (1)有解析式的定义域，只需要使解析式有 意义 ,列不等式组求解 . (2)抽象函数中 f(2x)与 f(的 2x与 义相同 ,即 2 2292 )l g()(分析 解 (1)要使函数有意义 ,则只需要 解得 t1 ,)( 33 11 , 12,)()( 12 ),()()( 311 3 , 1212 ).,(, 11212 )设 f(x)=ax+b(a0), 则 3f(x+1)3a+3=ax+b+5a=2x+17, a=2,b=7,故 f(x)=2x+7. (4) 把中的 得 2- 得 ,)()( 12 ,)()(,)( 63 ).()( 012 考中主要考查函数的解析式、函数的图象及分段 函数等知识 ,常以填空题为主，属于中低档题目 ,在 解答题中偶尔有对函数建模能力的考查 . 值域 是由定义域和对应法则确定的 f f(x)类型 的值时 ,应遵循先内后外的原则 . 思想方法 感悟提高 高考动态展望 方法规律总结 抓住两点：定 义域是否相同 ; 对应法则即解析式是否相同 .(注 意 :解析式可以化简 .) 首先要选定变量 ,而后 寻找等量关系 ,求得函数解析式 ,但要注意定义域 . 即看 元有象”和“且象惟一” ;但要注意 : 素可有相同的象 ,即允许多对一 ,但不允许一对多 , 即 一、填空题 1.(2009 江西改编 )函数 y= 的定义域为 _. 解析 由题意得 因此 x1 且 x0. 32 )(0,1 ,004322.(2009 福建改编 )下列函数中 ,与函数 y= 有相 同定义域的是 _. f(x)=ln x f(x)= f(x)=|x| f(x)=析 y= 定义域为 (0,+), f(x)=ln 0,+), f(x)= 定义域为 x|x0 ， f(x)=|x|定义域为 R， f(x)=. 2009 广州模拟 )已知函数 f(x)= 若 f(a)= ,则 a=_. 解析 .,1122120221012或时当时当1或4.(2008 陕西理 ,11)定义在 f（ x）满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y R),f(1)=2,则 f(_. 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2 0 1 =f(0)+f(1), f(0)=0. f(0)=f()=f(f(1)+2 ( 1 =f(f(1) f(0. f(f()=f(f(1)+2 ( 1 =f(f(1) f(2. f(f()=f(f(1)+2 ( 1 =f(f(1) f(6. 6 5.(2009 金华模拟 )已知 则 f(x)的解 析式为 _. 解析 因此 f(x)的解析式为 ,)( 221111,)()()(,222121111111111因此则令.)( 21 2 212)(6.(2009 江苏海安高级中学 )定义在 f(x) 满足 f(x+1)=-f(x),且 f(x)= ,则 f(3)= _. 解析 f(3)=f(2+1)=)=+1)=f(1)= )()(101011.（ 2010 泉州第一次月考） 已知函数 (x)=f(x)+ g(x),其中 f(x)是 g(x)是 函数 ,且 则 =_. 解析 设 f(x)=, g(x)= (, ,)(,)( 811631 (.,)(,)(故解得得由,)( 则)(x8.(2010 宿迁模拟 )如右图所示 , 在直角坐标系的第一象限内， 的等边三角形 , 设直线 x=t (0 t2) 截这个三角 形可得位于此直线左方的图形的面积为 f(t),则函 数 y=f(t)的图象 (如下图所示 )大致是 _(填序号 ). 解析 首先求出该函数的解析式 . 当 0 t1 时 ,如下图甲所示 ,有 f(t)=S 当 1 t2时 ,如下图乙所示 , 答案 t.)()()()(,)()(21322310233223222 2009 浙江温州十校联考 )在平面直角坐标系中 , 横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点 ,如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n N*)个整点 ,则称函数 f(x) 为 有下列函数 : f(x)=x; g(x)= h(x)= (x)=ln x,其中是一阶整点函数的是 _. 解析 对于函数 f(x)=x，它只通过一个整点 (0,0),故它是一阶整点函数 ;对于函数 g(x)= x 一定有 g(x)=Z,即函数 g(x)=;)( 数个 整点，它不是一阶整点函数 ；对于函数 h(x)= 当 x=0,2, 时 ,h(x)都是整数 ,故函数 h(x) 通过无数个整点 ,它不是一阶整点函数；对于函数 (x)=ln x,它只通过一个整点 (1,0)，故它是一阶 整点函数 . 答案 ,)( 、解答题 10.(2009 泰州二模 )(1)已知 f(x)的定义域是 0,4, 求 f(定义域 ; f(x+1)+f(定义域 . (2)已知 f(定义域为 0,4,求 f(x)的定义域 . 解 (1) f(x)的定义域为 0,4 , f( 0 , x2, 故 f(定义域为 . f(x+1)+f( x+1, 于是有 1 x3. 故 f(x+1)+f(定义域为 1,3 . (2) f(定义域为 0,4 , 0 x4, 0 6, 故 f(x)的定义域为 0,16 . ,4104102010 徐州模拟 )已知 f(x)=,g(x)是 一次函数 ,且 fg(x)=4 g(x)的解析式 . 解 设 g(x)=ax+b(a0), 则 f g(x) =(ax+b)2-2(ax+b)+1 =2x+=4解得 a= 2,b=1. g(x)=2x+1或 g(x)=. .,0120224222009 广东三校一模 )某租赁公司拥有汽车 100辆 . 当每辆车的月 租金为 3 000元时 ，可全部租出 辆车的月租金每增加 50元时 ,未租出的车将会增加 一辆 50元 ,未租出 的车每辆每月需要维护费 50元 . (1)当每辆车的月租金定为 3 600元时 ,能租出多少 辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时 ,租赁公司的月 收益最大？最大月收益是多少？ 解 (1)当每辆车的月租金为 3 600元时 , 未租出的车辆数为 所以这时租出了 88辆车 . ,1250 00036003 (2)设每辆车的月租金定为 则租赁公司的月收益为 整理得 f(x)= +16200 = (50)2+307 050. 当 x=4 050时 ,f(x)最大 , 最大值为 f(4 050)=307 050. 答 (1)当每辆车的月租金定为 3 600元时 ,能租出 88辆 车 ; (2)当每辆车的月租金定为 4 050元时 ,租赁公司的月 收益最大 ,最大收益为 307 050元 . ,)()( 5050 000315050 0003100 01返回 要点梳理 对于函数 y=f(x)，如果在某区间上 f( x)0，那么 f(x)为该区间上的 _；如果在某区间上 f( x) 0 f( x)0 f( x)=0 f( x)=0 极大值 极小值 (1)在闭区间 a,b上连续的函数 f(x)在 a,b上必 有最大值与最小值 . (2)若函数 f(x)在 a,b上单调递增，则 _为函数 的最小值， _为函数的最大值；若函数 f(x)在 a,b上单调递减 ,则 _为函数的最大值 ,_ 为函数的最小值 . (3)设函数 f(x)在 a,b上连续 ,在 (a,b)内可导，求 f(x)在 a,b上的最大值和最小值的步骤如下 : 求 f(x)在 (a,b)内的 _; 将 f(x)的各极值与 _比较 ,其中最大的一 个是最大值 ,最小的一个是最小值 . f(a) f(b) f(a) f(b)极值 f(a),f(b) 基础自测 f(x)=是减函数的区间为 _. 解析 f( x)=()=3 当 f( x)0; 当 x1时 ,y0, 因此 f(x)的递增区间是 递减区间是 , 或解得),(),( ,( 31【 例 2】 已知函数 f(x)=x3+bx+c，曲线 y=f(x)在点 x=1处的切线为 l:3=0,若 x= 时 ,y=f(x)有极值 . (1)求 a,b, (2)求 y=f(x)在 上的最大值和最小值 . (1)根据条件列出 a,b,(2)按 照求最值的步骤求出最值 . 分析 32解 (1)由 f(x)=x3+bx+c, 得 f( x)=3ax+b, 当 x=1时 ,切线 ,可得 2a+b=0 当 x= 时 ,y=f(x)有极值 ,则 可得 4a+3b+4=0 由解得 a=2,b=由于切点的横坐标为 x=1, f(1)=4. 1+ a+b+c=4. c=5. 32 ,)( 032 f(2)由 (1)可得 f(x)=, f( x)=3令 f( x)=0,得 x=-2,x= 当 y,y 的取值及变化如下表 : y=f(x)在 上的最大值为 13,最小值为 x 2) y + 0 - 0 + y 8 单调递增 13 单调递减 单调递增 4 ),( 32232 ),( (2009 广东三校联考 )已知 函 数 f(x)=()(x+a).若 f( 0,求函数 y=f(x)在 上的最大值和最小值 . 解 f( x)=2x(x+a)+=3 f( 0,3 =0,即 a=2. f( x)=3x+1=3(x+ )(x+1). 由 f( x)0,得 x 由 f( x)1, 当 n=2时 ,f(x)= + 所以 ( 11211)( x.)()()(32112 当 a0时 ,由 f( x)=0,得 当 x(1, ,f( x)0,f(x)单调递增 . 当 a0 时 ,f( x)0时 ,f(x)在 处取得极小值 , 极小值为 当 a0 时 ,f(x)无极值 . .)()()(,321211121121此时)( 1221 (2)证明 方法一 因为 a=1, 当 所以 ,当 x 2,+) 时 ,g(x)单调递增 ,又 g(2)=0, 因此 , g(2)=0恒成立 , 所以 f(x) ).l n ()()( 111 ()()()(),l n ()()(201121111111111l n ()()( 1111 n当 要证 f(x) 于 所以只需证 ln( 令 h(x)= 所以 ,当 x 2,+) 时 ,h(x)=调递增 , 又 h(2)=10,所以当 x2 时 ,恒有 h(x)0, 即 ln( ,则 当 f( x),f(x)的变化情况如下表 : 所以函数 f(x)的单调增区间为 (-, () 单调减区间为 (2a). 10分 函数 f(x)在 x=f( 且 f(4函数 f(x)在 x=f( 且 f(3 12分 32x (-, ) f( x) + 0 - 0 + f(x) 极大值 极小值 跟踪练习 4 已知函数 f(x)=x3+ (6),且函数 g(x)=f( x)+6 (1)求 m、 y=f(x)的单调区间 ; (2)若 a0,求函数 y=f(x)在区间 (a+1)内的极值 . 解 (1)由函数 f(x)的图象过点 (6), 得 3. 由 f(x)=x3+ f( x)=3mx+n, 则 g(x)=f( x)+6x=32m+6)x+n. g(x)的图象关于 所以 所以 m=入得 n=0. ,032 62 f( x)=3x( 由 f( x)0得 x2或 得 x2. ) 32,22 2 2,+) 4.(2010 无锡调研 )用边长为 48 一个无盖的铁盒时 ,在铁皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形 ,然后把四边折起，就能焊接成铁 盒 ,所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形 的边长为 _解析 设小正方形边长为 x,铁盒体积为 y. y=(48 x=4 304x. y=12 304=12( 48 ,00或 a x a, 00,曲线 2至多只有一个交 点 ,则 _. 解析 令 f( x)=3, 得 x= 1, 函数 f(x)=x= 1处 取得极值 ,且 f(2, f(1)=数 f(x)的图象如图所示 1经平移后 得到 对任意 v0,曲线 2至多只有一个交 点 ,则 1的极小值 ; 即 2 v4. 4 9.(2008 江苏 ,14)f(x)=对于 x 1总 有 f(x)0 成立 ,则 a=_. 解析 若 x=0,则不论 f(x)0 都成立 ; 当 x0即 x(0,1 时 ,f(x)=0 可化为 所以 g(x)在区间 上单调递增 , 在区间 上单调递减 , 因此 g(x) =4,从而 a4; ,)()(,)(则设)(21g,( 210, 121 当 数 (1)证明 :函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个 ; (2)若函数 f(x)的极大值为 1,极小值为 求 (1)证明 令 f( x)=0,得 (*) =4, 方程 (*)有两个不相等的实根 ,记为 x1,x2(b 存在符合条件的实数 b,bb - 3. ,)(03034162009 天津 ,21)设函数 f(x)= x3+x (x R),其中 m0. (1)当 m=1时 ,求曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线 的斜率 ; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值 ; (3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0,x1, )恒成立 ,求 m 的取值范围 . 解 (1)当 m=1时 , f(x)= x3+x2,f( x)=x,故 f(1)=1. 所以曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线的斜率为 1. 3131(2)f( x)=x+令 f( x)=0,解得 x=1 x=1+m. 因为 m0,所以 1+m1当 f( x),f(x)的变化情况如下表 : 函数 f(x)的增区间为 (1+m), 减区间为 (-,1 (1+m,+). 函数 f(x)在 x=1f(1 x (-,1 11+m) 1+m (1+m,+) f( x) - 0 + 0 - f(x) 极小值 极大值 .)( 31321 23 f(x)在 x=1+f(1+m), (3)由题设 ,f(x)=x( x2+x+ x( 所以方程 x2+x+有两个相异的实根 x1, x1+,且 =1+ (0, 因为 ,故 若 0, , 则 f(x)= x(0. 又 f(0,所以 f(x)在 x1,的最小值为 0, 于是对任意的 x x1,f(x)f(1)恒成立的充要条件 是 f(1)= 0,解得 综上 ,3131 m).,( 3321返回 要点梳理 (1)单调函数的定义 设函数 f（ x）的定义域为 A,如果对于定义域 个区间 区间 I (2)单调区间的定义 若函数 f(x)在区间 _或 _,则称函数 f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性 ,_叫做 f(x)的单调区间 . (1)设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果存在实数 M,满足 : 对于任意的 x A,都有 _. 存在 A,使得 _. 则称 M是 f(x)的最大值 . (2)设函数 y=f(x)的定义域为 A,如果存在实数 M,满足 : 对于任意的 x A,都有 _. 存在 A,使得 _. 则称 M是 f(x)的最小值 . 增函数 减函数 区间 I f(x) M f(M f(x) M f(M (1)定义法 :利用定义严格判断 . (2)利用函数的运算性质 : 如若 f(x)、 g(x)为增函数 ,则 f(x)+g(x)为增函数 . 为减函数 (f(x) 0). 为增函数 (f(x)0). f(x) g(x)为增函数 (f(x) 0,g(x) 0). -f(x)为减函数 . )( )利用复合函数关系判断单调性 . 法则是“ _” ，即两个简单函数的单调性相同 , 则这两个函数的复合函数为 _,若两个简单函数的 单调性相反 ,则这两个函数的复合函数为 _. (4)图象法 . (5)奇函数在两个对称的区间上具有 _的单调性；偶 函数在两个对称的区间上具有 _的单调性 . (6)导数法 若 f(x)在某个区间内可导 ,当 f( x)0时， f(x)为 _函 数 ;当 f( x)0, 典型例题 深度剖析 )2)( x,01 112 分析 又 0,0, 于是 f(f( 故函数 f(x)在（ ）上为增函数 . ,0)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(1212121221211211221212112212 )1( 12112 求导数得 a1, 当 xa0, f( x)0在（ + ）上恒成立， 则 f(x)在（ ）上为增函数 . 方法三 a1, y= 又 在 () 上也是增函数 . 在 () 上为增函数 . ,)( 213x),1(131)( x,0)1(32 x,13112 (2010 淮安模拟 )证明 :f(x)=区 间 (1,+) 上是增函数 . 证明 方法一 设 x1,1,+) 上的任意两 个值 ,且 . 1221221212221222221211222222)()()(,)(,)(又 1,+), x2, 即有 x1+, x1+. f(f(0,即有 f(f( 故 f(x)=1,+) 上是增函数 . 方法二 利用导数 f( x)=2( x1, f( x)0. f(x)在 (1,+) 上为增函数 . 【 例 2】 求函数 f(x)=)的单调区间 . 将函数看作 y=u=2两函数的复 合函数 ,利用复合函数的单调性去求 ,注意对底数 a 分类讨论 . 解 由 20,解得 x 函数的定义域是 x|x . 令 u(x)=2, 由二次函数的图象可知 u(x)在 (-,1) 上是减函数 , 在 ( ,+) 上是增函数 ; 分析 a1时 ,f(u)= 当 01时 ,f(x)=)的单调递增区间是 ( ,+), 单调递减区间是 (-,1); 当 0x+10,由基本不等式得 分析 ;1 121312 .)()()( 11111 1112 当且仅当 ,即 x=0时 ,有 y=1; 当 0, 解得 00时 ,f(x)1. (1)求证 :f(x)是 (2)若 f(4)=5,解不等式 f(3, f(1. 分析 f(f(f(f(=f(f(1-f(=f(10. f(f( 即 f(x)是 8分 （ 2） f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)， f(2)=3， 原不等式可化为 f(3，且 f(x)为增函数 ,f(x y)=f(x)+f(y). (1)求证 : =f(x)-f(y); (2)已知 f(3)=1,且 f(a)f(2,求 (1)证明 ).()()()()()()()()解 f(3)=1,f(a)f(2, f(a)-f(2. f( )2=f(3)+f(3)=f(9). f(x)是增函数 , 9, 10, 1, 函数 f(x)的单调减区间为 42523 2 )( x), 423)., 423), 423定时检测 2.(2009 湖南改编 )设函数 y=f(x)在 (-,+) 内有 定义，对于给定的正数 K，定义函数 fK(x)= 取函数 f(x)=2-|x|,当 K= 时，函 数 fK(x)的单调递增区间为 _. 解析 由 f(x)=2-|x| 得 -|x| | x|1. x1 或 x fK(x)= 当 x(1,+) 时 ,fK(x)=2 ,在 (1,+) 上为减 函数 . 当 x( -, ,fK(x)=2x,在 (-, 为增函数 . .)(,)(),(.,|112111221x)(21(-, 213.(2009 江苏扬州模拟 )已知 f(x)是 则满足 f( )f(1)的 _. _. 解析 （ -,0 ） ,+) .,),()(010111112010 徐州调研 )若 f(x)在 (0,+) 上是减函数， 则 f()与 f( )的大小关系是 _. 解析 43).()(,),()(,)(43104343211222上是减函数在)()( 4312 5.（ 2010 山东临沂模拟） 若 f(x)=g(x)= 在区间 1,2上都是减函数 ,则 是 _. 解析 由 f(x)=x=a, 在 1,2上是减函数 ,所以 a1, 又由 g(x)= 在 1,2上是减函数 , 所以 a0,综合得 0,1 . 1,1 12009 山东烟台调研 )关于下列命题 : 若函数 y=2x|x0, 则它的值域是 y|y1; 若函数 y= 的定义域是 x|x2,则它的值域是 y|y ; 若函数 y=y|0 y4, 则它的定义域 一定是 x|x2; 若函数 y=y|y3, 则它的定义域 是 x|02,y= (0, ); 中 ,y=y|0 y4 ，但它的定义域不一 定是 x|x2; 中 ,y=,00且 f(x)在 (1,+) 内单调递减 ,求 范围 . (1)证明 任设 , 要使 f(f(0,只需 (0恒成立 , a1. 综上所述知 00时有 f(x)0. (1)求证 :f(x)在 (-,+) 上为增函数 ; (2)若 f(1)=1,解不等式 f . f(f(f(f(=f(f(f(=f(0, f(f( 故 f(x)在 (-,+) 上为增函数 . (2)解 f(1)=1, 2=1+1= f(1)+f(1)=f(2). 又 f2, ff(2). (2, 即 -2xx3. 原不等式的解集为 x|-2xx3. ,.,3221420222 要点梳理 函数的奇偶性 基础知识 自主学习 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都 有 _，那么函 数 f(x)是偶函数 关于 _对称 f(f(x) 奇偶函数的定义域有何特点？ 由于定义中对任意一个 f(f(x)或 f(-f(x)，说明定义域中任意一个 关于原点对称的 即说明奇偶函数 的定义域关于原点对称 . 奇函数 如果对于函数 f(x)的定 义域内任意一个 x,都有 _,那么函数 f(x)是奇函数 关于 _对称 f(-f(x) 原点 提示 思考 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 _, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 _ (填 “相同”、“相反”） . (2)在公共定义域内 两个奇函数的和是 _,两个奇函数的积是偶 函数； 两个偶函数的和、积是 _； 一个奇函数，一个偶函数的积是 _. 奇函数 偶函数 奇函数 相同 相反 基础自测 x,下列函数中是奇函数的是 _. y=2 y= y=x; y=-|x|x. 解析 非奇非偶 , 为偶函数 , 为奇函数 , y=f(=-f(x). 是奇函数，则实数 于 _. 解析 函数 f(x)的定义域为 R, f(0)=0,2 ,即 a=1. f(x)=(x+1)(x+a)为偶函数 ,则 a=_. 解析 f(x)=(x+1)(x+a)=a+1)x+a, 又 f(f(x), a+1=0, a= 12212()(1 ,若 f(a)=b,则 f(_. 解析 方法一 要使函数 有意义 , 需 0,得 f(-(2=x+2=f(x). x1时 ,f(x)=, f(x)在（ 0， + ）上是减函数 . 又 f（ x）为奇函数， f（ 0） =0， f（ x）在（ -,+ ）上是减函数 . f（ 最大值， f(6)为最小值 . f(1)= f()=)=1, f(6)=2f(3)=2f（ 1） +f（ 2） = 所求 f(x)在区间 6上的最大值为 1，最小值 为 ,21方法二 设 f(f( 函数 f(x)在 (3)解 方法一 由 (1)知 由上式易知 f(x)在 (-,+) 上为减函数 . 又因为 f(x)是奇函数 ,从而不等式 f(f(22t2+k. ,)()()(02222121012122212112121122121122121 ( 12 12122 12 1 t . 从而判别式 =4+12上式对一切 t 从而判别式 =4+12 f(x)1. (1)求证 :f(x) (2)求证 :f(x)是 (3)若 f(4)=5,解不等式 f(3. f(x1+f(f(1, f(f(f(1 =f( f(1 =f(f(1. 当 x0时 ,f(x)1 f(f(f(11, f(,由 f(x)为奇函数知 f(x)=x)=-(x)=即 f(x)=x(|x| ).(),()(020222x)=x(|x|3.(2010 浙江宁波检测 )已知函数 f(x)=g(x)+2,x ,且 g(x)满足 g(-g(x),若 f(x)的最大值、 最小值分别为 M、 N,则 M+N=_. 解析 因为 g(x)是奇函数 ,故 f(x)关于 (0,2)对称 , 所以 M+N=4. 4 4.(2010 泰州模拟 )f(x)、 g(x)都是定义在 奇函数 ,且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若 F(a)=b,则 F(_. 解析 令 G(x)=F(x)f(x)+5g(x), 故 G(x)是奇函数 , 又 解得 F(. ,)()(,)()(222010 无锡模拟 )已知函数 y=f(x)是定义在 奇函数 ,则下列函数中是奇函数的是 _(填序号 ). y=f(|x|); y=f( y=x f(x); y=f(x)+x. 解析 f(x)的定义域为 R, f(|=f(|x|), y=f(|x|)是偶函数 ; 令 F(x)=f( 则 F(f(x)=x)=-F(x), F(x)是奇函数 , 是奇函数 ; 令 M(x)=x f(x), 则 M(f(x f(x)=M(x), M(x)是偶函数 ; 令 N(x)=f(x)+x, 则 N(f(x=-f(x)=- f(x)+x =-N(x), N(x)是奇函数 ,故、是奇函数 . 答案 6.(2009 重庆 )若 f(x)= 是奇函数 ,则 a=_. 解析 f(-f(x), .,)()(,2111122112212122121121 12 1 217.(2009 江苏如东模拟 )定义两种运算 : 则函数 的奇 偶性为 _. 解析 函数 f(x)为奇函数 . ,)(, 222 222)( ()(,(),)(,(),|)()(:222224200242002224224又定义域为由题意知奇函数 2009 四川改编 )已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数 xf(x+ 1)=(1+x)f(x),则 的值是 _. 解析 由 xf(x+1)=(1+x)f(x)可得 又 f()=(1-1)f( )=0f(0. f(0)=0, .)(,)(,)(),()().()(),()(),()(0250230212121212121212123232123252523)( 25()( 0025 .(2009 连云港模拟 )函数 y=f(x)是偶函数， y= f( 0,2上单调递增 ,则 f(f(0),f(2)的 大小关系是 _. 解析 f(x)是偶函数 , 其图象关于 又 y=f(图象是由 y=f(x)向右平移 2个单位得 到的 ,而 y=f( 0,2上单调递增 , f(x)在 上单调递增 ,在 0,2上单调递减 , f(f(1)且 f(0)f(1)f(2), 其大小关系为 f(0)f(f(2). f(0)f(f(2) 二、解答题 10.(2009 江苏金陵中学三模 ) 已知 f(x)是实数集 R 上的函数 ,且对任意 x R,f(x)=f(x+1)+f(成立 . (1)求证 :f(x)是周期函数 ; (2)已知 f(3)=2,求 f(2 004). (1)证明 f(x)=f(x+1)+f( f(x+1)=f(x)-f( 则 f(x+2)=f(x+1)+1=f(x+1)-f(x) =f(x)-f(f(x)=-f( f(x+3)=f(x+1)+2=x+1)-f(x). f(x+6)=f(x+3)+3=-f(x+3)=f(x). f(x)是周期函数且 6是它的一个周期 . (2)解 f(2 004)=f(334 6)=f(0)=)=11.(2009 广东东莞模拟 )已知函数 f(x)=1, a R. (1)试判断 f(x)的奇偶性 ; (2)若 求 f(x)的最小值 . 解 (1)当 a=0时 , 函数 f(+|1=f(x), 此时 ,f(x)为偶函数 . 当 a0 时 ,f(a)=,f(|a|+1, f(a) f(f(a) a), 此时 ,f(x)为非奇非偶函数 . ,2121 a(2)当 x f(x)=a+1 a 故函数 f(x)在 (-, a上单调递减 , 从而函数 f(x)在 (-, a上的最小值为 f(a)=. 当 x 函数 f(x)=x2+ a 故函数 f(x)在 a,+) 上单调递增 , 从而函数 f(x)在 a,+) 上的最小值为 f(a)=. 综上得 ,当 时 ,函数 f(x)的最小值为 . ,)( 4321 2 ( 4321 2 1,212121 2009 东北三省联考 )设函数 f(x)在 (-,+) 上满足 f(2f(2+x),f(7f(7+x),且在闭区间 0,7上 ,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性 ; (2)试求方程 f(x)=0在闭区间 05,2 005上 的根的个数 ,并证明你的结论 . 解 (1) f(4f(14f(x)=f(x+10), 从而知函数 y=f(x)的周期为 T=10. 又 f(3)=f(1)=0,而 f(7)0, 故 f(0. 故函数 y=f(x)是非奇非偶函数 . )()()()()()()()(2)由 (1)知 y=f(x)的周期为 10. 又 f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=f(f(0, 故 f(x)在 0,10和 上均有两个解 , 从而可知函数 y=f(x)在 0,2 005上有 402个解 , 在 05,0上有 400个解 , 所以函数 y=f(x)在 05,2 005上有 802个解 . 返回 要点梳理 (1)根式 一般地 ,如果一个数的 a(n 1且 n N*)， 那么这个数叫做 a的 也就是 ,若 xn=a,则 做 _，其中 n 1且 n N* 叫做 _,这里 _， _. a的 n 根指数 被开方数 指数与指数函数 基础知识 自主学习 （ 2）根式的性质 当 正数的 数的 时， a的 _ 表示 . 当 数的 们互为 相反数 ,这时，正数的正的 _表示 , 负的 _表示 可以合写为 _（ a 0） . =_. n an an an a)(a 当 =_; 当 =_. 负数没有偶次方根 . 零的任何次方根都是零 . (3)分数指数幂的意义 =_（ a0， m、 n N*，且 n1）； = (a0,m、 n N*,且 n1). n n )0()0( 分数指数幂与根式有何关系？ 分数指数幂是根式的另一种写法 ,因此分数指 数幂与根式之间可以相互转化 中 ,我们只对正数和零的分数指数幂进行了定义 ,但 事实上 ,负数也有分数指数幂 ,但必须保证相应的根式 有意义 . （ 2）有理数指数幂的运算性质 _(a0, t Q,s Q); _(a0, t Q,s Q); (as)t= _(a0,t Q,s Q); (ab)t= _(a0,b0,t Q). as+t 示 (1)指数函数的定义 :一般地 ,函数 y=ax(a 0且 a 1)叫做指数函数 ,其中 (2)指数函数 y=a 0且 a1) 的图象及性质如下 表所示 : a 1 0 a 1 图 象 性 质 y 0 当 x=0时 ,y=1 当 x 0时 ,y 1, x 0时 ,0 y 1. 当 x 0时 ,0 y 1, x 0时 ,y 1. 在 (-,+) 上是增函数 . 在 (-,+) 上是减函数 . 基础自测 的结果是 _. 解析 原式 =41. 2.(2010 淮安模拟 )设 0.9, ,则 y1,y2,_. 解析 1.8, y1y3 5121 .)( y1y3 32 54 )( )( )( . 51513 221 a0,a1, 则函数 y=_. 解析 由函数 y=0,1)可知函数 y=的图象过点 (1,1). 4.当 x 0,2时 ,函数 y=3x+1_. 解析 y=3x+1是增函数 , 当 x 0,2时 ,33 x+13 3, 13 x+15. (1,1) 1,25 【 例 1】 (2010 镇江调研 )化简与计算 : (1) (2) (3) 有理指数幂的运算 ,注意将小数化成分数 ,根 式化成分数指数幂 . 典型例题 深度剖析 ;)()(43111aa; 312.)(. . 2503150 6 2 5271250 分析 解 .)()()()()()()()(.)()()()()(.)()()()()()(0532531215312153141321111111114143132124143132121212121212131232321213121212213121124143434原式原式原式 已知 a,=0的两根 (ab), 求 :(1)a3+2) 解 (1) a,ab, a+b=6, a, a3+a+b)(a+b)(a+b)2 代入 a+b=6,得 a3+ (624)=6 24=144. (2) ab0, 代入 a+b=6, ,02121 ( 222121.,)( 22426 212122121 例 2】 已知函数 (1)作出图象 ; (2)由图象指出其单调区间 ; (3)由图象指出 ,当 先化去绝对值符号 ,将函数写成分段函数的 形式 ,再作出其图象 ,然后根 据图象判断其单调性、 最值 . 解 (1)由函数解析式可得 其图象分成两部分 ,)( | 221 .,)()( |2222121222一部分是 (x 图象 , 由下列变换可得到 另一部分 y=2x+2 (a1) 的图象 有两个公共点 ,则 _. 解析 (1)方法一 函数 的定义域是 R. 因为 当 x0 时 ,00且 a1) 图象 , 当 a1时 ,不可能有两个公共点 , 当 01, 由复合函数的单调性可知 , ,)( 492545 22 (,133045004522 ( 4925 2 在 (-,1 上是减函数 , 在 4,+) 上是增函数 . 故 f(x)的增区间是 4,+), 减区间是 (-,1 . 函数的定义域为 R,令 t= (t0), g(t)=t+5=-(+9, t0, g(t)=-(+99, 等号成立的条件是 t=2, 即 g(x)9, 等号成立的条件是 =2,即 x= g(x)的值域是 (-,9 . 4523 (,)()()()()()( 5214215214412 2 21x)(21由 g(t)=-(+9 (t0),而 t= 是减函数 , 要求 g(x)的增区间实际上是求 g(t)的减区间 , 求 g(x)的减区间实际上是求 g(t)的增区间 . g(t)在 (0,2上递增 ,在 2,+) 上递减 , 由 00,且 a1) 在 区间 1上的最大值为 14, 求实数 指数函数与二次函数复合函数的性质的讨 论，可用换元法 ,同时要注意底数 y=性的影响 . 解 令 y=)2由 x 知 当 a1时 , 显然当 ax=a,即 x=1时 ,a+1)2( a+1)24,即 a=3(a=. , x 1分析 当 0