【步步高】2011届高考数学一轮复习 第二编 函数与基本初等函数Ⅰ 文 课件（打包11套）北师大版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习 第二编 函数与基本初等函数Ⅰ 文 课件（打包11套）北师大版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,第二,函数,基本,初等,课件,打包,11,十一,北师大
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第二编 函数与基本初等函数 函数及其表示 基础知识 自主学习 要点梳理 1. （ 1 给定两个非空 ，如果按照某个对应关 系 f，对于集合 一个数 x,在集合 存在 的数 f（ x）与之对应，那么就把对 应关系 上的函数，记作 f： A . 数集 任何 唯一确定 y=f（ x）， x A (2)函数的定义域、值域 在函数 y=f(x),x 集合 数的 ；与 数值的集合 f(x)|x A叫做函数的 域是集合 (3)函数的三要素： 、 和 . (4)相等函数：如果两个函数的 和 完 全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的 依据 . 定义域 值域 定义域 值域 对应关系 定义域 对应关系 表示函数的常用方法有： 、 、 . 两个非空集合 间存在着对应关系 f，而且对于 A 中的每一个元素 x， 对应，就称这种对应为从 的映射，记作 f： A B. 射是 概念的推广，函 数是一种特殊的映射，要注意构成函数的两个集合 A, . 解析法 图像法 列表法 函数 非空数集 唯一 基础自测 =x|0 x2 ， N=y|0 y2 ，那么下面 的 4个图形中，能表示集合 的函数关系的 有 ( ) A. B. C. D. 解析 由映射的定义，要求函数在定义域上都有图 象，并且一个 y，据此排除，选 C. C 函数是其定义域到值域的映射； f（ x） = 是函数；函数 y=2x（ x N）的图像 是一条直线； f（ x） = 与 g(x)= 其中正确的有 （ ） 解析 由函数的定义知正确 . 满足 f（ x） = 的 不正确 . 又 y=2x（ x N)的图像是一条直线上的一群孤立的 点， 不正确 . 又 f（ x）与 g（ x）的定义域不同， 也不正确 . 23 ( ) |1,1|1| 排除 A； 排除 B； 当 即 x1 时 ,y=|x|+|2除 C. 故选 D. 答案 D ,0,1,0,1|,1,1,1,1|1|,01, 的定义域为 . 解析 若使该函数有意义，则有 x x2, 其定义域为 x|x x2. 211 x|x x2 ,0201f（ ） =x,则 f(x)= . 解析 )0(51 2 ()(),()()(),(,0510511510110222 求函数的定义域 【 例 1】 （ 2009 江西） 函数 的定义域为 （ ） A.（ B.（ 1） C.（ 1） D.（ 1 求函数 f(x)的定义域，只需使解析式有 意义，列不等式组求解 . 解析 43)1n(12 30,1由2型分类 深度剖析 探究提高 （ 1）求函数的定义域，其实质就是以函 数解析式所含运算有意义为准则 ,列出不等式或不等 式组，然后求出它们的解集，其准则一般是： 分式中，分母不为零； 偶次方根中，被开方数非负； 对于 y=求 x0 ； 对数式中，真数大于 0，底数大于 0且不等于 1； 由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题 的约束 . （ 2）抽象函数的定义域要看清内、外层函数之间的 关系 . 知能迁移 1 (2008 湖北 )函数 的定义域为 （ ） A.（ - ， 2， + ） B.（ 0） （ 0， 1） C. 0） （ 0， 1 D. 0） （ 0， 1） 2311 2 n()()432 析 答案 D ).,(,)(,.,.,100404323404323110040043023222222的定义域为所以函数时当舍去不满足题意时当的解集为不等式组 求函数的解析式 【 例 2】 （ 1）设二次函数 f(x)满足 f(f( 且图像在 ，被 ，求 f(x)的解析式； （ 2）已知 （ 3）已知 f(x)满足 2f(x)+ =3x,求 f(x). 问题（ 1）由题设 f（ x）为二次函数， 故可先设出 f（ x）的表达式，用待定系数法求解； 问题（ 2）已知条件是一复合函数的解析式，因此 可用换元法；问题（ 3）已知条件中含 x， ，可用 解方程组法求解 . 22);(,2)1( )1( 解 （ 1） f（ x）为二次函数， 设 f(x)=bx+c (a0) ，且 f(x)=0的两根为 x1,由 f(f（ 得 4. 由已知得 c=1. 由、式解得 b=2,a= ,c=1, f（ x） = x+1. 2|4| 22221 又2121).()(,)()()().()(),()(,)( ,()(1111111122111112111222222法二方法一).()(,)()()()()(,)()(,)(012363231231231213 求函数解析式的常用方法有 :(1)代入法， 用 g(x)代入 f(x)中的 x,即得到 f g(x)的解析式； (2)拼凑法，对 f g(x)的解析式进行拼凑变形， 使它能用 g(x)表示出来，再用 “ g(x)” 即可； (3)换元法，设 t=g(x),解出 x,代入 f g(x)，得 f(t)的解析式即可； (4)待定系数法， 若已知 f(x)的解析式的类型，设出它的一般形式 ,根 据特殊值，确定相关的系数即可； (5)赋值法，给变 量赋予某些特殊值，从而求出其解析式 . 知能迁移 2 （ 1）已知 f( +1)=lg x，求 f（ x）； (2)已知 f(x)是一次函数，且满足 3f(x+1) =2x+17，求 f（ x）； (3)设 f(x)是 f(0)=1,对任意 x， y R 恒有 f(f(x)，求 f(x)的表达式 . （ 1） （ 2）设 f（ x） =ax+b（ a0 ） ，则 3f（ x+1） =3a+3ax+b+5a=2x+17， a=2， b=7，故 f（ x） =2x+7. （ 3） 方法一 f（ =f（ x） 2）， 令 y=x，得 f（ 0） =f（ x） 2）， f（ 0） =1， f（ x） =x2+x+1. 方法二 令 x=0，得 f(f(0)y+1)=,再 令 y= f(x)=x2+x+1. ,12,12,1(,12,12 分段函数 【 例 3】 设函数 f(x)= 若 f( f(0),f(关于 f(x)=（ ） 方程 f(x)=用待定系 数法求 f（ x）的解析式，再用数形结合或解方程 . ,0,2,0,2解析 由 f(f(0),得 b=4,再由 f( c=2, x 0时，显然 x=2是方程 f(x)=x0 时，方程 f（ x） =x+2=x，解得 x=x= 程 f（ x） =. 答案 C 分段函数是一类重要的函数模型 段函数问题，关键要抓住在不同的段内研究问题 本例，需分 x0时， f（ x） =x0 时， f（ x） = 探究提高 知能迁移 3 设 则 fg(3)=_, =_. 解析 g(3)=2, fg(3)=f(2)=3 2+1=7， )(,)()()( ()(1212 2(216317 .)()()(,)()(1631412412141212122型四 函数的实际应用 【 例 4】 （ 12分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托 车的投入成本为 1万元 /辆，出厂价为 辆，年 销售量为 1 000辆 计划提高 产品档次，适度增加投入成本 加的比例为 x(00, 8分 即 0x+200, 即 3 B.x|N=x|, x=去 ). ,)(113 的定义域为 _. 解析 要使 f(x)有意义， f(x)的定义域为 x|x4 且 x5. 54|)(|540504x|x4 且 x5 三、解答题 解 借助于数轴 ,解这个不等式组 ,得函数的定义域为 (2)x0,即 f(x)图像的对称轴是 x= f(即 1,得 a=1. f（ x） =x. 由函数 g（ x）的图像与 f(x)的图像关于原点对 称， g（ x） =x. （ 2）由（ 1）得 h（ x） = x） =（ +1） （ 1 x. 当 =h(x)=41上是增函数； 当 理则需 又 得 0. 综上，满足条件的实数 的取值范围是 （ - ， 0 . 111111返回 函数的单调性与最大 (小 )值 要点梳理 （ 1）单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数 y=f（ x）的定义域内的一个区间 果对于任意两数 A 基础知识 自主学习 定义 当 上升的 下降的 (2)单调区间的定义 如果 y=f（ x）在区间 么称 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 条件 对于任意 x I，都有 _； 存在 I,使得 _. 对于任意 x I，都有 _； 存在 I,使得 _. 结论 f（ x） M f（ =M f（ x） M f（ =M 基础自测 区间（ 0， 2）上为增函数的是 ( ) x+1 C.y= D. 解析 y=,y=, 分别为一次函 数、 二次函数、反比例函数，从它们的图像上可 以看出在（ 0， 2）上都是减函数 . y=f(x)是定义在 则 f(x)=0的 根 （ ） 个 解析 f（ x）在 对任意 x1,R,若 (f(f(0, )2)( x,01 112 思维启迪 题型分类 深度剖析 又 0,0, 于是 f(f( 故函数 f(x)在（ ）上为增函数 . ,0)1( 12112 )1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(1212121221211211221212112212 求导数得 a1, 当 xa0, f( x)0在（ + ）上恒成立， 则 f(x)在（ ）上为增函数 . 对于给出具体解析式的函数，判断或证明 其在某区间上的单调性问题，可以结合定义（基本步 骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解 数则可以利用导数解之 . ,)1(32 1(131)( x,0)1(32 知能迁移 1 试讨论函数 x( )的单 调性（其中 a0 ） . 解 方法一 根据单调性的定义求解 . 设 即 ,1)( 2 x 1)(1()1)(11)()(2221211222221121|,01,01 212221 此，当 a0时， f(f(0, 即 f(f(此时函数为减函数； 当 f（ x)在（ 1）上为减函数； 合二次函数的 对称轴直线 x=1知 ,在对称轴左边函数 y= 减函数，所以在区间（ - ， 是减函数 ,由 此可得 故选 D. 思维启迪 D （ 1）复合函数是指由若干个函数复合而 成的函数，它的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u) 的单调性密切相关，其单调性的规律为 “ 同增异减 ” ， 即 f(u)与 g(x)有相同的单调性，则 fg(x)必为增函 数，若具有不同的单调性，则 fg(x)必为减函数 . （ 2）讨论复合函数单调性的步骤是： 求出复合函数的定义域； 把复合函数分解成若干个常见的基本函数并判断其 单调性； 把中间变量的变化范围转化成自变量的变化范围； 根据上述复合函数的单调性规律判断其单调性 . 探究提高 知能迁移 2 函数 y= 的递减区间为 （ ） A.(1,+) B. C. D. 解析 作出 t=2的示意 图如图所示， 00恒成立，试求实 数 第 (1)问可先证明函数 f(x)在 1,+) 上的单调性 ,然后利用函数的单调性求解，对于第 (2)问可采用转化为求函数 f(x)在 1,+) 上的最小 值大于 0的问题来解决 . 思维启迪 ,)( x 2221解 设 1 , f(f(0,f(恒成立 x+a0恒成立 . ,)(,)( 22 1211 当, 0211212102121),)(2112 211设 y=x+a,x1,+), 则函数 y=x+a=(x+1)2+1,+) 上是 增函数 . 当 x=1时， +a, 于是当且仅当 +a0时 ,函数 f(x)0恒成立， 故 a 要注意函数思想在求函数值域中的运 用 ,(1)中用函数单调性求函数的最小值 ;(2)中用函 数的最值解决恒成立问题 2)中，还可以使用分 离参数法，要使 x+a0在 1,+) 上恒成立 , 只要 a(x+1)2+1恒成立，由二次函数 的性质得 -(x+1)2+1 以只要 a 探究提高 知能迁移 3 已知函数 (a0,x0), (1)求证 :f(x)在 (0,+) 上是单调递增函数 ; (2)若 f(x)在 上的值域是 求 (1)证明 设 x2,则 , f(f( f(x)在 (0,+) 上是单调递增的 . )(, 221 , 221 ,)()()()(01111112112211212.)(,)(,)(,)()(522221212212212212型四 函数单调性与不等式 【 例 4】 (12分 )函数 f(x)对任意的 a、 b R,都有 f(a+b) =f(a)+f(b)且当 x0时， f(x)1. （ 1）求证： f(x)是 （ 2）若 f(4)=5,解不等式 f(3, f(1. 2分 f(f(f(f(=f(f(1-f(=f(10. 5分 f（ f( 即 f(x)是 6分 （ 2） f（ 4） =f（ 2+2） =f（ 2） +f（ 2） ， f（ 2） =3， 8分 原不等式可化为 f(3时， f(x)0, 代入得 f(1)=f(f(0,故 f(1)=0. )(212）任取 x1,0,+) ，且 x1 由于当 x1时， f(x)9, x9或 函数 f(x)的单调减区间为 23,( ),23 23,1( )4,23425)23( 2 x ),4,23)3D （ a0且 a1 ）是 的减函数，则 ( ) A.（ 0， 1） B. C. D. 解析 据单调性定义， f（ x）为减函数应满足： 0,0,3)(,3131,0( 32,0(.,1313100.(2009 天津 )已知函数 若 f(2f(a)，则实数 a 的取值范围是 （ ） A.（ -, (2,+) B.( ) C.() D.(-, (1,+) 解析 由 f(x)的图像 可知 f(x)在 (-,+) 上是单调递增函数 ,由 f(2 f(a)得 2a,即 a2+ m综上， f(x)在（ 1,+ ）内单调递减，求 值范围 . （ 1） 证明 任设 , 要使 f(f(0,只需 (0恒成立， a1. 综上所述知 00及 得 x0, 由 f(6)=1及 得 fx(x+3)2f(6),即 fx(x+3)f(6), 亦即 因为 f(x)在 (0,+) 上是增函数 ,所以 解得 综上所述，不等式的解集是 ,01 x)6)3( ()3( 6)3( x 要点梳理 函数的概念 图像关于原点对称的函数叫作奇函数 . 图像关于 函数的奇偶性 基础知识 自主学习 判断函数的奇偶性 ,一般都按照定义严格进行 ,一般 步骤是 : （ 1）考查定义域是否关于 _对称； （ 2）考查表达式 f（ 否等于 f（ x）或 x）： 若 f（ =_，则 f（ x）为奇函数； 若 f（ =_，则 f（ x）为偶函数； 若 f（ =_且 f（ =_,则 f(x)既是 奇函数又是偶函数； 若 f（ x）且 f（ f（ x），则 f（ x）既 不是奇函数又不是偶函数，即非奇非偶函数 . 原点 x） f（ x） x） f（ x） 函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 _, 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性 _(填 “相同”、“相反”） . (2)在公共定义域内 两个奇函数的和是 _,两个奇函数的积是偶 函数； 两个偶函数的和、积是 _； 一个奇函数，一个偶函数的积是 _. 奇函数 偶函数 奇函数 相同 相反 基础自测 x,下列函数为奇函数的是 （ ） 3.y=x |x|x 解析 B、 设 y=f(x)=x=, f（ =x） . C 2.（ 2008 全国 ） 函数 的图像关于 （ ） y= y=解析 f（ x）是奇函数 . f（ x）的图像关于原点对称 . 1)(,1)( ).()1(1)( C 又在区间 上单调递 减的函数是 ( ) A.f(x)=x B.f(x)=-|C. D. 解析 函数是奇函数 ,排除 B、 C（ 非偶函数， 1 f（ x） =上是增函数 ,排除 A,故选 D. )(21)( xx 22, 22D f(x） =2a上的偶函数 , 那么 a+ （ ） A. B. C. D. 解析 依题意得 31312121,031,021 .（ 2008 福建） 函数 f（ x） =x3+x+1 (x R), 若 f（ a） =2，则 f（ 值为 （ ） 析 设 g(x)=x3+x,很明显 g(x)是一个奇函数 . f（ x） =g（ x） +1. f（ a） =g（ a） +1=2， g（ a） =1， g（ = f（ =g（ +1=0. B 题型一 函数奇偶性的判断 【 例 1】 判断下列函数的奇偶性： (1) (2) 判断函数的奇偶性 ,应先检查定义域是否 关于原点对称 ,然后再比较 f(x)与 f(间是否相等 或相反 . 思维启迪 ;11 .)()(111题型分类 深度剖析 解 (1) 定义域关于原点对称 . 故原函数是奇函数 . (2) 0 且 1 f(x)在 (0,1)内单调递减 . 由于 f(x)是奇函数 ,所以 f(x)在 ()内单调递减 . f(x)的单调递减区间为 ()和 (0,1). ,)() .( l o g)()(0112112112112101111211211111111122221211222212222112121 根据函数的奇偶性 ,讨论函数的单调区间 是常用的方法 偶函数在对称区间上的单调性相反 性的函数的单调性的研究 ,只需研究对称区间上的单 调性即可 . 知能迁移 2 已知定义域为 f(x)= 是奇函数 . (1)求 a， (2)若对任意的 t R，不等式 f(f(22t2+k. 即对一切 t . 从而判别式 =4+12 f(x)在（ 0， + ）上是减函数 . 8分 又 f（ x）为奇函数， f（ 0） =0， f（ x）在（ -,+ ）上是减函数 . f（ 最大值， f(6)为最小值 . 10分 f(1)= f()=)=1, f(6)=2f(3)=2f（ 1） +f（ 2） = 所求 f(x)在区间 6上的最大值为 1，最小值 为 12分 ,21方法二 设 f(1,故有 f(3)0时， f(x)=1不等式 f(x)0时， 1 0与题意不符， 当 f（ =1 又 f（ x）为 f（ =x）， x） =1 f（ x） =2 f（ x） =2在区间 上有四个不同 的根 x1,x2,x3, x1+x2+x3+_. 解析 因为定义在 足 f(-f(x), 所以 f(4f(x)数图像关于直线 x=2对称 且 f(0)=0,由 f(-f(x)知 f(f(x)f(x) 在区间 0,2上是增函数，所以 f(x)在区间 上也是增函数 , 如图所示，那么方程 f(x)=m(m0)在区间 8上 有四个不同的根 x1,x2,x3,妨设 . f(x)= 即 f(x)=+|x|) (x R). )2),0()2 (x0, 常数 a R). (1)讨论函数 f(x)的奇偶性，并说明理由； （ 2）若函数 f(x)在 2， + ）上为增函数，求实数 a 的取值范围 . 2)(解 （ 1）当 a=0时， f（ x） =x( -,0)(0,+) ， 有 f(=x2=f(x), f(x)为偶函数 . 当 a0 时， (x0, 常数 a R)， 若 x= 1，则 f(f(1)=20 ； f( ),f( f(1). 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数 . 综上所述，当 a=0时， f(x)为偶函数； 当 a0 时， f（ x)为非奇非偶函数 . 2)(（ 2）设 2 即 x1+16, - ， 16 . ,)()()(2121212122212121返回 要点梳理 次函数的图像及性质 (1)一次函数 y=kx+b，当 k0时，在实数集 数 ,当 =0 0) 方程 bx+c=0的解 _ _ 无解 bx+c0的解集 _ _ _ bx+ 排除 A. 当 二次函数 开口向下，相互矛盾，排除 , y=bx+当 a0,b0时， 排除 B. 当 a2时， 0， 1上单调递增， 有 f(1),f(1)=2 综上，得 a=a= 2a,2)2(41),2(41 22m a x (1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对 函数最值的影响 . (2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二 次函数化为 y=a(+顶点（ m， n）或 对称轴方程 x=m，分三个类型： 顶点固定，区间固定； 顶点含参数，区间固定； 顶点固定，区间变动 . 知能迁移 2 已知函数 f(x)=x,求函数 f(x)在区间 t,t+1上的最大值 h(t). 解 f（ x） =x=-(+16 当 t+14时， f(x)在 t,t+1上单调递减 . 此时 h(t)=f(t)=t. 综上可知 .)4(8)43(16)3(76)(22 幂函数的图像及应用 【 例 3】 点 ( ,2)在幂函数 f(x)的图像上 ,点 在幂函数 g（ x）的图像上，问当 f(x) g(x)， f(x)=g(x)， f(x) g(x). 由幂函数的定义，求出 f(x)与 g(x) 的解析式，再利用图像判断即可 . 解 设 则由题意得 =2，即 f（ x） =设 则由题意得 = g（ x） = 思维启迪 2 )41,2(,)( ,)2(2 ,)( ,)2(41 在同一坐标系中作出 f(x)与 g(x)的图像，如图所示 . 由图像可知： 当 x 1或 x f（ x） g（ x） ; 当 x= 1时 ,f(x)=g(x); 当 x 1且 x0 时， f（ x） g（ x） . (1)函数图像在解方程和不等式时有着 重要的应用 . (2)注意本题中， g（ x）的定义域为 x|x0. 探究提高 知能迁移 3 已知幂函数 的图像与 x、 y 轴都无公共点，且关于 整数 出该函数的草图 . 解 函数图像与 x、 ， n3. 又 n 0， 1， 2， 3. 又图像关于 n=1， 3. 322 n=时 ,， y=1）所示 ; 当 n=1时， y=像如图（ 2）所示 . 图（ 1） 图（ 2） 题型四 幂函数的性质 【 例 4】 （ 12分）已知幂函数 (m N+) 的图像关于 在（ 0， + ）上是减函数， 求满足 的 由 (m N+)的图像关于 y 轴对称知 又在（ 0， + ）上是减函 数， 或 0a+13a+19)的图像可能是（ ） )( 解析 函数为偶函数，图像关于 排除 A、 B. 令 n=18，则 当 x0 时， 由其在 第一象限的图像知选 C. 答案 C ),(|)(99,|)( 21 ,)( 21(1+b)b C. D.(1-a)a(1-b)b 解析 方法一 由 01+a1, （ 1+b） b(1+a)b(1+a)a，故 B 错 . 方法二 令 a= ， b= ，逐一验证即可 . bb 1()1(12)1()1(bb D f(x)=2x|+1的定义域被分成了四个 不同的单调区间，则实数 （ ） A. B. C. D. 32 f（ x） =2x|+1是由函数 f(x)=(2x+1变化得到，第一步保留 作关于 因为定义域被分成四个单调区 间，所以 f(x)=2x+1的对称轴在 使 称后有四个单调区间 . 所以 答案 C 212 y1,则下列关系式中正确的个数是 （ ） ax xa 析 0y1, y=不正确； y=正确； y=不正确 . y0，故不过第四象限； 当 , （ 0,+) 三、解答题 f(x)=( f(x):(1)是正比例函数 ;(2)是反比例函数 ; (3)是二次函数 ;(4)是幂函数 . 解 (1)若 f(x)是正比例函数， 则 ,解得 此时 , 故 (2)若 f(x)是反比例函数，则 1, 则 m= 此时 ，故 m= ,54m,52 3)若 f(x)是二次函数，则 , 即 m=时 ，故 m=(4)若 f(x)是幂函数，则 ， 即 ,解得 m=2或 m=综上所述， (1)当 m= 时， f(x)是正比例函数 . (2)当 m= 时， f(x)是反比例函数 . (3)当 m=f(x)是二次函数 . (4)当 m=2或 m=f(x)是幂函数 . 5452y= mN +）的图像关于 在（ 0， + ）上是减函数，求满足 的 解 幂函数 y=0， + ）上是减 函数， b R， c R). （ 1）若函数 f（ x）的最小值是 f（ =0，且 c=1， f（ x）， x0, -f(x), -（ x+1） 2， x0. F（ 2） +F（ =（ 2+1） 2+ -()2 =8. F（ x） = 求 F（ 2） +F（ 值； F（ x） = （ 2） f（ x） =x2+命题等价于 x2+ 在 （ 0， 1上恒成立， 即 b b - 0， 1上恒成立 . 又 ， - 2， b0. 要点梳理 （ 1）根式的概念 如果一个数的 a（ n 1且 n N+），那么这 个数叫做 a的 也就是，若 xn=a，则 其中 n 1且 n N+ 叫做根式 , 这里 指数 开方数 . 指数与指数函数 n 自主学习 （ 2）根式的性质 当 正数的 数的 时， a的 _ 表示 . 当 数的 们互为 相反数 ,这时，正数的正的 _表示 , 负的 _表示 可以合写为 _（ a 0） . =_. n an an an a)(a 当 =_; 当 =_. 负数没有偶次方根 . (1)幂的有关概念 正整数指数幂： （ n N+）； 零指数幂： _（ a0 ）； 负整数指数幂： _（ a0 ， p N+）； n n )0()0( 个nn 1 正分数指数幂： =_（ a0， m、 n N+， 且 n1）； 负分数指数幂： = = (a0,m、 n N+,且 n1). 0的正分数指数幂等于 _， 0的负分数指数幂 _. （ 2）有理数指数幂的性质 _(a0,r、 s Q); (ar)s= _(a0,r、 s Q); (ab)r= _(a0,b0,r Q). n s 没有意义 y=ax a1 00时 ,_; _; x1 y1 0d1a1 a1 解析 a=2. 0,133,1022 且C 题型一 指数幂的化简与求值 【 例 1】 计算下列各式： .)()();()()(;)()(;)()().)(题型分类 深度剖析 先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运 算性质进行计算 . 解 3()6(2)3(5(1)25()25(125)2(7125()1(06531216121322312原式原式原式思维启迪 根式运算或根式与指数式混合运算时 ,将 根式化为指数式计算较为方便，对于计算的结果，不 强求统一用什么形式来表示，如果有特殊要求，要根 据要求写出结果 数，也不能既有分母又含有负指数 . .)(224)24)(2(224)8()4(331313131313131313231313232313132313131313131313231313231原式探究提高 知能迁移 1 .),()(;)()()().()(的值求若化简：解 .)1(1)1(1,)1(2)1(4)1()21)(21()4(4,21,)2(25(7)000127()1(2222222221212121231原式得由原式题型二 指数函数的性质 【 例 2】 (12分 )设函数 f(x)= 为奇函数 . 求： （ 1）实数 （ 2）用定义法判断 f（ x）在其定义域上的单调性 . 由 f（ =x）恒成立可解得 第 (2)问按定义法判断单调性的步骤进行求解即可 . 思维启迪 1222xx (1)方法一 依题意，函数 f（ x）的定义域为 R， f（ x）是奇函数， f（ =x）， 2分 2(2x+1)=0， a=1. 6分 方法二 f(x)是 f(0)=0，即 a=1. 6分 （ 2）由 (1)知， 设 f(x)在 12分 (1)若 f(x)在 x=0处有定义 ,且 f(x)是奇函 数 ,则有 f(0)=0,即可求得 a=1. （ 2）由 a 1)的图像有两个公共点 ,则 _. 解析 数形结合 . 当 a1时，如图 ,只有一个公共点，不符合题意 . 当 01， x - 时 ,y0; 当 a1时， 像越靠近 增的速度越快； 当 00,a1) 的图像和性质与 有关，要特别注意区分 a1与 01,b1,b0 在（ 1,+) 上 单调递减，故 在 (-,+) 上单调递 减，且无限趋于 0，故无最小值 . ,12 1)( A 的部分图像大致是如图所 示的四个图像中的一个，根据你的判断 ,值是 （ ） A. B. 32)32(21 2123解析 函数为偶函数，排除，又函数值恒为正 值，则排除，故图像只能是，再根据图像先增 后减的特征可知 2,即 a2,符合条件的只有 项，故选 D. 答案 D 二、填空题 7. 若 f(x)=g(x)=a0且 a1) 的图像关于直 线 x=1对称，则 a=_. 解析 g（ x）上的点 P（ a， 1）关于直线 x=1的对称 点 P(2 )应在 f(x)= 1= ,即 a=2. 2 f(x)=a-|x| (a0且 a1), 若 f(2)=4，则 f( 与 f(1)的大小关系是 _. 解析 由 f(2)=,解得 a= f(x)=2|x|, f(42=f(1). f(f(1) ,219.(2009 江苏 )已知 函数 f(x)=实数 m、 f(m)f(n),则 m、 _. 解析 函数 f(x)=上是减函数 . 又 f(m)f(n), x =（ m+1） 2m+4） 0且 a1) 在 x 上的 最大值为 14，求 解 令 ax=t, t0，则 y=t+1)2对称轴 为 t=+ ）上是增函数 . 若 a1， x 1， t= 故当 t=a,即 x=1时， 4, 解得 a=3(a=. ,1 若 00,且 a1). (1)判断 f(x)的单调性； (2)验证性质 f(-f(x),当 x( )时，并应 用该性质求满足 f(1f(10的实数 围 . 解 12 )11)(1)()(,01,)1(21212121221221211,10,);,()(),()(22121 11),1,1(,),1()1()1()1(,0)1()1().()(),(1)(),(1)()2(,);,()(),()(,0)11)(1)()(222222212212121 要点梳理 （ 1）对数的定义 如果 (a0且 a1) ，那么数 的对 数 ,记作 _,其中 _叫做对数的底数 ,_ 叫做真数 . a N 对数与对数函数 b=础知识 自主学习 （ 2）几种常见对数 （ 1）对数的性质 =_; _(a0且 a1). 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a(a0且 a1) _ 常用对数 底数为 _ _ 自然对数 底数为 _ _ e 0 （ 2）对数的重要公式 换底公式 : (a,于 1)； 推广 bc_. (3)对数的运算法则 如果 a0且 a1, M0,N0,那么 N)=_; =_; lo g ,lo _(n R); g m a1 01时 ,_ 当 01时 ,_ 当 00 y0 y1,b0 , 数 f(x)=a,2a上的最大值与 最小值之差为 则 （ ） A. C. 析 根据已知条件 a) 整理得： 则 即 a=4. ,212 22,21,21 ,221 的定义域是 _. 解析 要使 有意义 需使 0bc B.acb C.bac D.bca (1)引入中间量如 “ 1” 或 “ ” 比较 . (2)利用对数函数的图像及单调性 . 解析 a=, ab,ac. bc, abc. ,3lo g 2b,2lo g 3c,12lo 3lo 2 2又思维启迪 21A 探究提高 比较对数式的大小，或证明等式问题是 对数中常见题型，解决此类问题的方法很多 , 当底 数相同时可直接利用对数函数的单调性比较 ; 若底 数不同，真数相同 ,可转化为同底（利用换底公式） 或利用对数函数图像，数形结合解得；若不同底， 不同真数，则可利用中间量进行比较 . 知能迁移 2 比较下列各组数的大小 . (1) (2)(3)已知 比较 2b,2a,2小关系 . 解 （ 1） , ;56lo g 53 与,lo g 53 (2)方法一 0即由换底公式可得 c,而 y=2 2b2a2c. ,lo 且g,题型三 对数函数的性质 【 例 3】 (12分 )已知函数 f(x)=a0,a1) ，如 果对于任意 x3 ， +) 都有 |f(x)|1 成立，试求 当 x3 ， +) 时，必有 |f(x)|1 成立 , 可以理解为函数 |f(x)|在区间 3， +) 上的最小值 不小于 1. 解题示范 解 当 a1时，对于任意 x3 ， +), 都有 f(x)0. 所以 ,|f(x)|=f(x), 而 f(x)=3， +) 上为增函数， 对于任意 x3 ， +), 有 f(x) 4分 思维启迪 因此 ,要使 |f(x)|1 对于任意 x3 ， +) 都成立 . 只要 = 13时， y= 而 u=(3-a) 此时 f(x)在其定义域内为减函数，不符合要求 . 当 01, 则点 A、 因为 A、 的直线上， 所以 点 C、 x1, (x2, 由于 =3 由此可知 k1= O、 C、 ,lo 2x,lo ,lo （ 2） 解 由于 即得 代入 由于 ,知 , 故 又因 ,解得 ,于是点 利用函数图像和解析几何的思想方法 ,突 出了本题的直观性 现了数形结合的思想 . 探究提高 ,122212 ,lo g 1811831 ,3 131 3 )g,3( 8知能迁移 4 已知函数 是奇函数 (a0, a1 ） . (1)求 (2)判断 f(x)在区间 (1,+) 上的单调性并加以证明 . 解 （ 1） f（ x）是奇函数， f（ =x）在其定义域内恒成立， 1 m=
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