【步步高】2011届高考数学一轮复习课件：第三章_数列 理 （打包9套）人教版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习课件：第三章_数列 理 （打包9套）人教版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,课件,第三,数列,打包,人教版
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第三章 数 列 数列的概念与简单表示法 要点梳理 按照 排列着的一列数称为数列，数列中 的每一个数叫做这个数列的项 . 一定顺序 基础知识 自主学习 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数 无穷数列 项数 按项与项间 的大小关系 分类 递增数列 中 nN * 递减数列 数列 =其他 标准分类 有界数列 存在正数 M，使 | M 摆动数列 1， 1， 有限 无限 数列有三种表示法，它们分别是 、 和 . 如果数列 第 n项 之间的关系可 以用一个公式 来表示 ， 那么这个公式叫 做这个数列的通项公式 . 列表法 图象法 解析法 序号 n an=f(n) .,.,.)2(,)1(, 基础自测 数列可以看成一个定义在 N*（ 或它的有限子集 1， 2， 3， ， n）上的函数； 数列的项数是有限的； 数列若用图象表示 ， 从图象上看都是一群孤立 的点； 数列的通项公式是惟一的 . 其中说法正确的序号是 （ ） A. B. C. D. 解析 由数列与函数的关系知 对 ， 由数 列的分类知 不对 ， 数列的通项公式不是惟一 的，不对 . C ， ， 的一个通项公式 ） A. B. C. D. 解析 1可以写成 ， 分母为 3， 5， 7， 9， 即 2n+1,分子可以看为 1 3,2 4,3 5,4 6,故 为 n(n+2)，即 . 此题也可用排除法求解 ， 只需验证当 n=1时 ， A 选项为 ， ， ， 均不为 1， 故 排除 A、 B、 C，从而选 D. 924,715,58122(21)1( 2( ,=n N*), 则 （ ） 析 方法一 由 ,a n+2=a n+1-a n (n N*)可得该数列为 1， 5， 4， 1， 5， 4， . 由此可得 6+4=1. 方法二 =， 两式相加可得 = 6+4=1. B 4 . 若数列 a n 的前 n 项和 S n = n 2 - 1 , 则 ( ） 析 4232=7. A ， ， ，则 n= . 解析 99 11 111 n 题型一 由数列的前几项写数列的通项公式 【 例 1】 根据数列的前几项，写出下列各数列的一 个通项公式： （ 1） 7， 19， （ 2） （ 3） （ 4） （ 5） 0， 1， 0， 1， ,6461,3229,1613,85,41,21 ,179,107,1,23题型分类 深度剖析 思维启迪 先观察各项的特点，然后归纳出其通项 公式，要注意项与项数之间的关系，项与前后项之 间的关系 . 解 （ 1） 符号问题可通过 （ n+1表 示 ， 其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝 对值总比前面数的绝对值大 6， 故通项公式为 (-1)n(6 （ 2）将数列变形为 )8,),8),8),8 (3)各项的分母分别为 21,22,23,24, 易看出第 2,3, 4项的分子分别比分母少 项变为 , 原数列可化为 (4)将数列统一为 对于分子 3， 5， 7， 9， ， 是序号的 2倍加 1， 可得分子的通项公式 为 n+1， 对于分母 2， 5， 10， 17， 联想到数 列 1， 4， 9， 16， 即数列 可得分母的通项 公式为 cn= 因此可得它的一个通项公式为 232 (,232,232,232,23244332211,179,107,55,231122 （ 1） 由数列的前几项求它的一个通项 公式 ， 要注意观察每一项的特点 ， 可使用添项 、 还 原 、 分割等方法 ， 转化为一些常见数列的通项公式 来求 . （ 2） 由数列的前几项写出数列的一个通项公式是 不完全归纳法 ， 得出的结果是不可靠的 ， 要注意代 值检验 ,对于正负符号变化 ,可用 (-1)-1)n+1 来调整 . o (1)(1)(0）5（或或为偶数为奇数探究提高 知能迁移 1 写出下列各数列的一个通项公式： （ 1） 4， 6， 8， 10， （ 2） （ 3） （ 4） 3， 33， 333， 3 333， 解 （ 1）因为各项是从 4开始的偶数， 所以 n+2. （ 2） 由于每一项分子比分母少 1， 而分母可写为 21， 22， 23， 24， 25， ， 故所求数列的一个通 项公式可写为 . ,3231,1615,87,43,21,1337,1126,917,710,1,32 12 （ 3） 由于带有正负号 ， 故数列可以用 （ n+1来 调整，而后去掉负号，观察可得 . 将第二项 . 分母可化为 3,5,7,9,11,13, 为正奇数 ， 而分子 可化为 12+1,22+1,32+1,42+1,52+1,62+1， 故其一 个通项公式可写为 （ 4）将数列各项改写为 ，分 母都是 3， 而分子分别是 10102103 104, 所以 55)1(21 9 9 99,39 9 9,399,39)1 由数列的递推公式求通项 例 2】 根据下列条件，确定数列 通项公式 . （ 1） ， =3； （ 2） ， =（ n+1） （ 3） ， =（ 1）构造等比数列；（ 2）转化后 利用累乘法求解；（ 3）转化后利用累加法求解 . 解 （ 1） =3， +1=3（ ）， 数列 为等比数列，公比 q=3,又 =2, =23 3 3111 .！123)2()1(,3,1,1,)1()2(1122321111故累乘可得211,113(111221111探究提高 已知数列的递推关系 ， 求数列的通项 时，通常用累加、累乘、构造法求解 . 当出现 a n=a n -1+ 构造等差数列；当出现 an= 构造等比数列；当出现 an=f(n) 时 ， 用累加法求解；当出现 时 ， 用累乘 法求解 . )( 1知能迁移 2 根据下列各个数列 首项和基本 关系式，求其通项公式 . （ 1） ,an=n2); （ 2） , n2). 解 （ 1） an=n2), a2=1. 以上（ 式子相加得 an=1+32+3 1+3+32+3 . 213 n (2),2(12（1112211个式子相乘得以上题型三 由 例 3】 （ 12分 ） 已知数列 前 (n2, n N*), ,求 由已知条件可将 n 2)代 入等式 ， 得关于 经变形推 得数列 具有等差数列的特征 ， 进而求得 再得 1 21解 当 n2, nN *时， ， 2)1(21,21,21111111又的等差数列是公差为数列即解题示范 3分 4分 8分 .)N,2()1(21)1(21,)1(21)1(212122,N,21*当数列的通项 a ,此公式经常使用 ， 应引起 足够的重视 但已知 当 n 2时求出 n=1时的情形 ,可直接写成 则分段表示 . )2()1(11 12分 知能迁移 3 已知下列数列 前 n,求 的通项公式： （ 1） (2)n+b. 解 （ 1） 1=21， 当 n2 时， （ 2- 2(-3( =4 由于 （ 2） 1=3+b, 当 n2 时 ,3n+b)-(3b)=23 当 b= 当 b 当 b=3 当 b 2,1,31 数列的性质 【 例 4】 已知数列的通项公式为 . （ 1） （ 2）判断此数列的增减性 . （ 1）令 能否求出正整数 n; （ 2）判断 解 （ 1）假设 存在正整数 n, 满足 = n=7时等式成立， 思维启迪 122此数列为递增数列 . （ 1）看某数 是看关于 an= （ 2）判断数列的单调性就是比较 的大小 . (1)1(1211)1()1(2（2222221知能迁移 4 已知数列 前 n=4n （ n N*） . （ 1）求 通项公式； （ 2）当 最大值是多少 ? 解 （ 1） n=1时， 1=23. n2 时， 4n+(=5. 经验证， 3符合 2n+25, 2n+25（ n N*） . （ 2） 方法一 4n， n=12时， n=144. 方法二 2n+25， 2n+25 0，有 n . 0， 0，故 大值为 144. 225 方法与技巧 通常用观察法 （ 对于交错数列一般用 （ -1)n+1来区分奇偶项的符号 ） ；已知数列中的递推关系 ， 一般只要求写出数列的前几项 ， 若求通项可用归纳 、 猜想和转化的方法 . .)2()1(11 感悟提高 类问题的要求不高 ， 但试题难度较难把握 （ 1） 算出前几项 ， 再归纳 、 猜想； （ 2） “ =q” 这种形式通常转化为 + = p( ),由待定系数法求出 ， 再化为等比数列； （ 3） 逐差累加或累乘法 . 现新情境 ， 体现与其它知识的交汇 . 失误与防范 即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数 ， 当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值 ， 就是数列 在研究函数问题时既要注意函数方法的普遍性 ， 又要考虑数列方法的特殊性 . 需仔细观察分析 ， 抓住其几方面的特征：分式中分子 、 分母的各自特征；相邻项的联系特征；拆项后的各部分特征；符号特征 ， 应多进行对比 、 分析 ， 从整体到局部多角度观察 、 归纳 、 联想 . 一 、 选择题 ， 2， 2， 3， 3， 3， 4， 4， 4， 4， 5， 的第 100项是 （ ） 析 易知数字为 到数字 总共的数字的个数为 1+2+3+ +n= n=13时 ，最后一项为第 91项 ， n=14共有 14个 ， 故第 100项为14. A 2)1( 2. 已知数列 ， a1=b (， = (n=1,2,3, )， 能使 an=b的 （ ） 析 a1=b, , ,a4=b, 此数列的周期为 3, 能使 an=b的 n=3k N*). C 11 b ， ,(-1)n(n 2,n N*), 则 的值是 （ ） A. B. C. D. 解析 由已知得 +(=2, a2=, , +(, , 3+(, , C 前 n=则 a5+ （ ） 析 a5+6352. B 足 ,= (n N*)， 则 （ ） B. C. D. 解析 =0, 数列 周期为 3的一个循环数 列 , 6+2= . 133323,313 33,310 30 3 3B 前 n=第 8,则 （ ） 析 Sn= n 2时 ， 1= n N*） 5 28,得 k 9. k=8. B 二 、 填空题 前 n， 且满足 n+1)=n+1, 则 . 解析 由已知条件可得 =2n+1. n+1 当 n=1时 ， 1=3, 当 n 2时 ， n+1=2n， n=1时不适合 3（ n=1） 2n（ n 2） 3（ n=1） 2n（ n 2） 8. （ 2008 四 川 文 ， 16 ） 设 数 列 中 ，,=an+n+1,则通项 . 解析 由 n+1可得 ， n， ， ， 以上 +3+ +n， +（ 1+2+3+ +n） = +1. 12 )1( ( 2009 北京理 ,14)已知数列 足： , ,an,n N*,则 09= , 14= . 解析 09=503,14=07=4. 10 三 、 解答题 通项 n+1) (n N*)， 试问该数列 没有最大项 ？ 若有 ， 求最大项的项数；若没有 ， 说明理由 . 解 n+2） 当 n 9时 ， 0,即 当 n=9时 ， ， 即 = 当 n 9时 ， 0,即 故 a9= , 所以数列中有最大项为第 9、 10项 . n1110 1110)1(1110 ， (n N*,a R, 且 a 0). （ 1） 若 a=求数列 的最大项和最小项的值； （ 2） 若对任意的 n N*， 都有 求 解 （ 1） （ n N*， a R， 且 a 0） ， a= (n N*). 结合函数 f(x)= 的单调性 . )1(211 (211 1 (n N*). 数列 的最大项为 ,最小项为 . （ 2） + 对任意的 n N*,都有 并结合函数 f(x)=1+ 的单调性 ， 5 6, a (21222122 af(x)=a(x R)同时满足： 不等式 f(x) 0的解集有且只有一个元素； 在定义域内存在 0 得不等式 f( f(立 前 n=f（ n） . （ 1） 求函数
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