【步步高】2011届高考数学一轮复习课件：第三章_数列 理 （打包9套）人教版
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【步步高】2011届高考数学一轮复习课件：第三章_数列 理 （打包9套）人教版,步步高,高考,数学,一轮,复习,温习,课件,第三,数列,打包,人教版
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要点梳理 如果一个数列 ， 那么这个数列叫做等比数列 ， 这个常数叫做等比数列的 ，通常用字母 表示 . 设等比数列 首项为 公比为 q， 则它的通项 . 等比数列及其前 从第二项起 ， 后项与相邻前项的比是 一个确定的常数 （ 不为零 ） 公比 q 础知识 自主学习 若 ， 那么 a与 （ 1） 通项公式的推广： an= ,(n， m N*). （ 2） 若 等比数列 ， 且 k+l=m+n， （ k， l， m，n N*） ， 则 . （ 3） 若 项数相同 ） 是等比数列 ， 则 0） ， ， ， 仍是等比数列 . G2=a b al= 等比数列 公比为 q（ q 0） ， 其前 n，当 q=1时 ， Sn= q 1时 ， 公比不为 前 n， 则 2 其公比为 . ( 111础自测 1.设 ,数列 是以 3为公比的等比数列 ， 则 （ ） 析 由已知得 =() 即 =3 3n, 40. A ， ,则 ） 析 =16. 4. D 24 2009 广东文 ， 5） 已知等比数列 公比为正数 ， 且 ,则 ） B. C. D. 解析 设公比为 q,由已知得 (,即公比为正数 ,所以 q= ,故 C 25 ， 前 n， 若 ， 3，则公比 （ ） 析 方法一 依题意 ， q 1, =7， =63. 得 1+, , q=2. 方法二 (a1+a2+ q3=a4+a5+而 a4+a5+66, 7 6,q=2. A 1)1( 311)1( 615. （ 2008 浙江理 ， 6 ） 已知 是等比数列 , ,则 +等于 （ ） C. (1D. (1解析 =4 （ ） 4 （ ） n=25故 + =23+21+2 +25 1325 1(332411)411(8题型一 等比数列的基本运算 【 例 1】 已知 等比数列 ， ， a2+ ， 求通项公式 . 根据等比数列的定义 、 通项公式及性质建立首项 ,公比的方程组 . 解 方法一 设等比数列 公比为 q， 则 q 0， a4=q， +2q= 解得 ， . 320思维启迪 ,23 32031题型分类 深度剖析 当 q= 时 ， 8， 8 （ ） =2 33 当 q=3时 ， ， 3 3综上所述 ， 33 3方法二 由 ,得 ， 又 a2+ ， 则 x+4=0的两根 ， 31311318 解得 或 . 3232 当 时 ,q=3,an= 3 当 时 ， q= , 33 3 33（ 1） 等比数列 ， an=中有五个量 ， 可以知三求二； （ 2） 注意分 类讨论的应用 . 3231探究提高 n1)1(1知能迁移 1 已知等比数列 ， ,是 （ 1） 求数列 通项公式； （ 2） 记 bn=数列 前 n. 解 （ 1） 设数列 公比为 q, 由题意知： 2()=a2+ ， 即 ()=0. q=2， 即 2n. （ 2） bn=n 2n, 2+2 22+3 23+ +n 2n. 2 22+2 23+3 24+ +（ 2n+n 2n+1. - 得 1+22+23+24+ +22n+1 = 2n+1. +（ 2n+1. 题型二 等比数列的判定与证明 【 例 2】 （ 2008 湖北文 ， 21） 已知数列 足： ,= an+-1)n(1),其中 为实数 ， （ 1） 证明：对任意实数 ,数列 是等比数列 ; （ 2） 证明：当 数列 等比数列 . （ 1） 可用反证法 . （ 2） 根据递推关系推出 =- 用 0， 即 0. 32思维启迪 32 证明 （ 1） 假设存在一个实数 ,使 等比数列 , 则有 = 9=0,矛盾 . 所以 是等比数列 . （ 2） =(-1)n+1 -3(n+1)+21 =(-1)n+1( 4) =- (-1)n( 1)=- 又 所以 ( +18) 0. 22a )494()332( 2 4949494 22 323232 由上式知 0,所以 (n N*). 故当 数列 以 -( +18)为首项 ， 为公比的等比数列 . 证明一个数列是等比数列的主要方法有 两种：一是利用等比数列的定义 ， 即证明 (q 0,n N*)， 二是利用等比中项法 ， 即证明 = 0 (n N*) 要注意根据欲证明 的问题 ， 对给出的条件式进行合理地变形整理 ， 构 造出符合等比数列定义式的形式 ， 从而证明结论 . 探究提高 321 3212 1 （ 2009 全国 理 ， 19） 设数列 前 n,已知 ， =4. （ 1） 设 bn=证明数列 等比数列； （ 2） 求数列 通项公式 . （ 1） 证明 由已知有 a1+,解得 =5,故 b1=. 又 = =4+2-(4)=4于是 =2( 即 =2 因此数列 首项为 3,公比为 2的等比数列 . (2)解 由 （ 1） 知等比数列 ,公比 q=2, 所以 2是 因此数列 是首项为 ,公差为 的等差数列 , 所以 3 2,4322 11 143,414343)1(212 等比数列的性质及应用 【 例 3】 在等比数列 ， a1+a2+a3+a4+且 =2,求 （ 1） 由已知条件可得 解出 q， 再利用通项公式即可得 （ 2） 也可利用性质 =a5=解 方法一 设公比为 q,显然 q 1, 等比数列 ， 也是等比数列 ， 公比 为 . 思维启迪 1123a =（ 2=4， 2. 方法二 由已知得 =4. 2. 由已知条件得 211)11(181)1(5151421 探究提高 在解决等比数列的有关问题时 ， 要注意挖掘隐含条件 ， 利用性质 ， 特别是性质 “ 若m+n=p+q,则 an=， 可以减少运算量 ，提高解题速度 . 知能迁移 3 （ 1） 已知等比数列 ， 有 数列 等差数列 ， 且 b7= b5+ （ 2） 在等比数列 ， 若 ,8,求 解 （ 1） =4 0， ， ， 等差数列 ， b5+. 27a（ 2） 方法一 . . ： = ， 又 ( 0 =1 210=1 024. 4141a 41a 41 由性质可知 ， 依次 4项的积为等比数列 ， 设公比为 p， 设 T1=， T4=， 1 ， p=2. 1 10=1 024. 题型四 等差 、 等比数列的综合应用 【 例 4】 （ 12分 ） 已知等差数列 首项 ,公差 d 0， 且第 2项 、 第 5项 、 第 14项分别是等比数列 第 2项 、 第 3项 、 第 4项 . （ 1） 求数列 通项公式； （ 2） 设数列 n N*均有 =成立 ， 求 c1+c2+ +10. （ 1） 可用基本量法求解； （ 2） 作差 2211思维启迪 （ 1） 由已知有 +d,+4d,+13d, （ 1+4d） 2=(1+d)(1+13d). 解得 d=2或 d 0（ 舍去 ). 2分 +( 2=2 3分 又 b2=,b3=, 数列 公比为 3, 3 5分 （ 2） 由 得 当 n 2时 , 两式相减得 :n 2时 , =. 8分 12211 3n 2). 又当 n=1时 ， = . 3 (n=1) 2 3n 2). 10分 c1+c2+ +10 =3+ =3+(2 010)=32 010. 12分 在解决等差 、 等比数列的综合题时 ， 重 点在于读懂题意 ， 灵活利用等差 、 等比数列的定义 、 通项公式及前 本题第 （ 1） 问就是用基本量 公差 、 公比求解；第 （ 2） 问在作差 n 2. 探究提高 1131326 0 1 02知能迁移 4 已知数列 ， ,且 =(1+q)n 2,q 0). （ 1） 设 bn=n N*),证明： 等比数 列； （ 2） 求数列 通项公式； （ 3） 若 求 并证明： 对任意的 n N*,与 的等差中项 . （ 1） 证明 由题设 =（ 1+q） n 2） ， 得 q(即 bn=n 2. 由 b1=,q 0,所以 首项为 1， 公比为 q 的等比数列 . （ 2） 解 由 （ 1） ， ,q, n 2). 将以上各式相加 ， 得 +q+ +n 2)， 即 an=+q+ +n 2). 所以当 n 2时 ， （ 3） 解 由 （ 2） ， 当 q=1时 ， 显然 等差中项 ， 故 q 1. 由 q 0得 上式对 n=1显然成立 . 1,1111 整理得 （ 2+,解得 2或 （ 舍去 ） . 于是 q= . 另一方面 ， = 由 可得 =即 2an=+,n N*. 所以对任意的 n N*,与 的等差中项 . 3 2),1(113112 1(116151 方法与技巧 (1)定义： =q ( n N*) 等比数列 . (2)通项公式： an=c、 n N*) 等比数列 . (3)中项公式 : =( 0, n N*) 等比数列 . 2 1 感悟提高 首项和公比 a1,q） 思想仍 然是求解等比数列问题的基本方法：在 a1,q,n,n 五个量中 ， 知三求二 . 0,q 1或 0,0 q 1时 ， 递增数列；当 0,q 1或 0, 0 q 1时 ， 递减数列；当 q 0时 ， 为摆动数列；当 q=1时 ， 常数列 . 失误与防范 q=1时 ， Sn= 2.由 =q 0,并不能立即断言 等比数 列 ， 还要验证 0. m=Sn+一 、 选择题 1.（ 2009 广东理 ， 4） 已知等比数列 足 ,n=1,2, ,且 2n(n 3)， 则当 n 1时 ， +（ ） B.(n+1)2 D.( 解析 由题意知 n, +3+ +(2C 定时检测 2.（ 2009 辽宁理 ， 6） 设等比数列 前 =3,则 = （ ） B. C. 析 由题意知 . B 361111)1(1)1(336316136 1)(1111)1(1)1(233369619169 ， 其公比 q 0， 且 a4+ （ ） 析 a1+， a3+=（ a1+ 又 q 0， q= a4+ a3+q=4 （ =B ， =， 且前 n=3n+k， 则实数 （ ） 析 等比数列的充要条件是 由 n+k知 k=C ),1(1 1 公比为 q， 其前 n， 并且满足条件 1,0， 0 q 1； 0； 使 1成立的最大自然数 （ ） A. B. C. D. 1110099 中 ， 正确 . 1 99 1 101110)1)(1(10 099110 09910 0991,0(991 0 0 中 ， 1, 正确 . 错误 . 中 ， 中 ， ( (9 1, ( 1, 正确 . 答案 A ， ，a4+,则 等于 （ ） A. B. C. D. 解析 设公比为 q,则由 q 1, 由 ， 得 =6. ， a4+解得 q= D 75566 6(1,62 2275 填空题 7.（ 2009 浙江 ， 11） 设等比数列 公比 q= 前 n， 则 = . 解析 a4=15 ,2144)1( 41(1)1()1(3434314144 2009 海南文 ， 15） 等比数列 公比 q 0. 已知 ， +=6则 前 4项和 . 解析 等比数列 ， +=6为 + q2+ q 0, q=2, 21521)21(211)1(441 2009 江苏 ， 14） 设 公比为 |q| 1,令 bn=(n=1,2, )， 若数列 连续 四项在集合 23， 19， 37， 82中 ， 则 6q= . 解析 由题意知 ， 数列 连续四项在集合 9,37,82中 ， 说明 连续四项在集合 8,36,81中 ， 由于 连续四项至少有一项 为负 ， q 0, 又 |q| 1, 连续四项为一 24,36,1. q= 6q=232436 三 、 解答题 足 :a1+1, ， 且公 比 q( 0,1). （ 1） 求数列 通项公式； （ 2） 若该数列前 n=21， 求 解 （ 1） a4= ， 由条件知 a1, =0的两根 ， 解得 x= 或 x= 93293293231 又 0 q 1, , . 即 q= an= ( )（ 2） 令 =21， 得 , n=6. 31332,32116 213121211)21(13321( ， ,且 是以 3为公比的等比数列 ， 记 bn=n N*). （ 1） 求 a3,a4,a5, （ 2） 求证： 等比数列 . （ 1） 解 是公比为 3的等比数列 ， =3 3n， =6， =9， =18， =27. 2232a3332a5532a4432a（ 2） 证明 是公比为 3的等比数列 ， =3即 =3 ， 与 a2,a4, ， 都是公比为 3的等比数列 . 3 3 bn= 3故 以 5为首项 ， 3为公比的等比数列 . ,3353511 f(x)满足 f(0)=1,且对任意 x,y R，
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