【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章课件+基础过关训
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章课件+基础过关训,步步高,学年,高中数学,第三,课件,基础,过关
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3 . 直线的点斜式方程 学习要求 1 了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2 掌握直线的点斜式方程与斜截式方程； 3 会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题 学法指导 通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探究出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解 “ 截距 ” 与 “ 距离 ” 的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点 P ( x ， y ) 的坐标 之间的关系 2 直线 l 经过点 ，当直线斜率不存在时，直线方程为 ；当斜率为 k 时，直线方程为 ，该方程叫做直线的点斜式方程 3 方程 叫做直线的斜截式方程，其中 叫做直线在 轴上的截距 4 对于直线 y y ； . x 和 y y y 1 k ( x x 1 ) y b x x 1 b y k 1 k 2 且 b 1 b 2 k 1 k 2 1 问题情境 给出一定点 P 0 和斜率 k ，直线就可以唯一确定了如果设点 P ( x ， y ) 是直线上的任意一点，那么，如何建立 P 和 P 0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 直线的点斜式方程 问题 1 求直线的方程指的是求什么？ 答 就是求直线上任意一点的坐标 ( x ， y ) 满足的关系式 问题 2 如图，直线 l 经过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) ，且斜率为 k ，设点 P ( x ， y ) 是直线 l 上不同于点 P 0 的任意一点，怎样建立 x ， y 之间的关系？ 答 由斜率公式得 k y y 0x x 0，即 y y 0 k ( x x 0 ) 问题 3 过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) ，斜率是 k 的直线 l 上的点，其坐标都满足问题 2 中得出的方程吗？为什么？ 答 其坐标都满足方程 y y 0 k ( x x 0 ) ；由问题 2 中的推导过程可知 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 坐标满足方程 y y 0 k ( x x 0 ) 的点都在过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 且斜率为 k 的直线上 吗？为什么？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 都在这是因为若点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) 的坐标 x 1 ， y 1 满足方程 y y 0 k ( x x 0 ) ，即 y 1 y 0 k ( x 1 x 0 ) ，若 x 1 x 0 ，则 y 1 y 0 0 ，即 y 1 y 0 ，说明点 P 1 与 P 0 重合，于是可得点 P 1 在直线 l 上；若 x 1 x 0 ，则 k y 1 y 0x 1 x 0，这说明过点 P 1 和 P 0 的直线的斜率为k ，于是可得点 P 1 在过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 且斜率为 k 的直线上 小结 由上述问题 2 和问题 3 的讨论可知，方程 y y 0 k ( x x 0 ) 就是过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 且斜率为 k 的直线的方程方程 y y 0 k ( x x 0 ) 由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式 问题 5 如何求 x 轴所在的直线方程？如何求出经过点P 0 ( x 0 ， y 0 ) 且平行于 x 轴的直线方程？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 由于 x 轴过坐标原点 ( 0,0) ，且倾斜角为 0 ，即 k ta n 0 0 ，将点 ( 0,0) 及 k 0 代入直线的点斜式得 y 0 ；因所求直线 l 平行于 x 轴，所以 k ta n 0 0 ，将 ( x 0 ， y 0 ) 及 k 0 代入直线的点斜式得 y y 0 0 ，即 y y 0 . 问题 6 y 轴所在的直线方程是什么？如何求过点 P 0 ( x 0 ， y 0 )且平行于 y 轴的直线方程 ？ 答 y 轴所在的直线方程为 x 0 ；由于直线 l 平行于 y 轴，所以直线 l 斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示因为这时直线 l 上每一点的横坐标都等于 x 0 ，所以它的方程是 x x 0 0 ，即 x x 0 . 例 1 直线 l 经过点 P 0 ( 2,3) ，且倾斜角 4 5 ，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 直线 l 经过点 P 0 ( 2,3) ，斜率是 k ta n 45 1 ， 代入点斜式方程得 y 3 x 2. 画图时，只需再找出直线 l 上另一点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ，例如，取 x 1 1 ，y 1 4 ，得 P 1 的坐标为 ( 1,4) ，过 P 0 ， P 1 的直线即为所求，如图： 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 由点斜式写直线方程时，由于过 P ( x 0 ， y 0 ) 的直线有无数条，大致可分为两类： ( 1) 斜率存在时方程为 y y 0 k ( x x 0 ) ； ( 2) 斜率不存在时，直线方程为 x x 0 . 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 一条直线经过点 P ( 2,3) ，斜率为 2 ，求这条直线的方程 解 直线经过点 P ( 2,3) ，且斜率为 2 ，代入点斜式，得： y 3 2( x 2) ，即 2 x y 7 0. 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 直线的斜截式方程 问题 1 已知直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 (0 ， b ) ，得到的直线 l 的方程是什么？ 答 将 k 及点 (0 ， b ) 代入直线方程的点斜式得： y b . 小结 我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距方程 y b 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 直线 y b 在 y 轴上的截距 b 是直线与 y 轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？ 答 不是直线与 y 轴交点到原点的距离，是直线 y b 在 距 b 的取值范围是 R. 问题 3 一次函数的解析式 y b 与直线的斜截式方程 y b 有什么不同？ 答 一次函数的 x 的系数 k 0 ，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程 y b 中的 k ，可以为 0. 例 2 已知直线 l 1 ： y k 1 x b 1 ， l 2 ： y k 2 x b 2 ， 试讨论： ( 1) l 1 l 2 的条件是什么？ ( 2) l 1 l 2 的条件是什么？ 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 若 l 1 l 2 ，则 k 1 k 2 ， 此时 l 1 ， l 2 与 y 轴的交点不同，即 b 1 b 2 ； 反之， k 1 k 2 且 b 1 b 2 时， l 1 l 2 . ( 2) 若 l 1 l 2 ，则 k 1 k 2 1 ； 反之， k 1 k 2 1 时， l 1 l 2 . 小结 已知 l 1 ： y k 1 x b 1 ， l 2 ： y k 2 x b 2 ，则 l 1 l 2 k 1 k 2 ，且 b 1 b 2 ； l 1 l 2 k 1 k 2 1. 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 已知直线 l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，求 l 的方程 解 设直线方程为 y 16x b ，则 x 0 时， y b ； y 0 时， x 6 b . 由已知可得 12 | b | | 6 b | 3 ， 即 6| b | 2 6 ， b 1. 故所求直线方程为 y 16 x 1 或 y 16 x 1 ， 即 x 6 y 6 0 或 x 6 y 6 0. 1 方程 y k ( x 2) 表示 ( ) A 通过点 ( 2,0) 的所有直线 B 通过点 ( 2,0) 的所有直线 C 通过点 ( 2,0) 且不垂直于 x 轴的所有直线 D 通过点 ( 2,0) 且除去 x 轴的所有直线 解析 易验证直线通过点 ( 2,0) ，又直线斜率存在，故直线不垂直于 x 轴 练一练 当堂检测、目标达成落实处 C 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 已知直线 l 过点 P (2, 1) ，且直线 l 的斜率为直线 x 4 y 3 0 的斜率的 2 倍，则直线 l 的方程为 _ _ 解析 由 x 4 y 3 0 ，得 y 14 x 34 ，其斜率为 14 ， 故所求直线 l 的斜率为 12 ，又直线 l 过点 P ( 2,1 ) ， 所以直线 l 的方程为 y 1 12 ( x 2) ，即 x 2 y 0. x 2 y 0 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 写出下列直线的点斜式方程： ( 1) 经过点 A ( 2,5) ，且与直线 y 2 x 7 平行； ( 2) 经过点 C ( 1 ， 1) ，且与 x 轴平行 解 ( 1) 由题意知，直线的斜率为 2 ， 所以其点斜式方程为 y 5 2( x 2) ( 2) 由题意知，直线的斜率 k ta n 0 0 ， 所以直线的点斜式方程为 y ( 1) 0 ，即 y 1. 练一练 当堂检测、目标
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