【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章课件+基础过关训
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【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章课件+基础过关训,步步高,学年,高中数学,第三,课件,基础,过关
- 内容简介：
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3 . 直线的两点式方程 学习要求 1 掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围； 2 了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围 学法指导 通过应用过两点的斜率公式，探究出直线的两点式方程，经历通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的过程，感知事物之间的普遍联系与相互转化，形成用联系的观点看问题的习惯 填一填 知识要点、记下疑难点 1 直线的两点式方程：经过直线上两点 ， 其 中 的直线方程 叫做直线 的两点式方程，简称两点式 2 直线的截距式方程：我们把直线与 x 轴交点 ( a, 0) 的横坐标a 叫做直线在 x 轴上的截距，此时直线在 y 轴上的截距是 b ， 方程 由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确 定，所以叫做直线的 y y 1y 2 y 1 x x 1x 2 x 1 截距式方程 1 填一填 知识要点、记下疑难点 3 线段的中点坐标公式 若点 P 1 、 P 2 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) 、 ( x 2 ， y 2 ) ，则线段 P 1 P 2 的中点坐标公式为 . x x 2 x 12y y 2 y 12 问题情境 已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在 y 轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 )( 其中 x 1 x 2 ， y 1 y 2 ) ，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？ 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 直线的两点式方程 导引 已知直线上两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 )( 其中 x 1 x 2 ，y 1 y 2 ) ，如何求出过这两点的直线方程？ 问题 1 经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？ 答 利用直线的点斜式方程，将数据代入就能求出直线的 方程 问题 2 能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样 转化？ 答 由于 x 1 x 2 ，所求直线的斜率 k y 2 y 1x 2 x 1. 取 P 1 ( x 1 ， y 1 ) 和 k ，由点斜式方程，得 y y 1 y 2 y 1x 2 x 1( x x 1 ) ， 由 y 1 y 2 ，方程两边同除以 y 2 y 1 ，得 y y 1 y 1 x x 1 x 1. 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 经过直线上两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 )( 其中 x 1 x 2 ， y 1 y 2 )的直线方程y y 1y 2 y 1 x x 1x 2 x 1 叫做直线的两点式方程，简 称两点式 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A ( a, 0) ，与 y 轴的交点为B (0 ， b ) ，其中 a 0 ， b 0 ，求 l 的方程 解 将两点 A ( a, 0) ， B (0 ， b ) 的坐标代入两点式，得y 0b 0x a，即xa1. 小结 我们把直线与 x 轴交点 ( a, 0) 的横坐标 a 叫做直线在 时直线在 y 轴上的截距是 b ，方程xa1由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确定，所以叫做直线的截距式方程 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 三角形的顶点是 A ( 4,0) ， B (3 ， 3) ， C ( 0,3) ，求这个三角形三边所在的直线的方程 解 直线 A ( 4,0) ， B (3 ， 3) 两点，由两点式得y 0 3 0x 4 3 4 ， 整理得 3 x 7 y 12 0 ， 直线 方程为 3 x 7 y 12 0. 直线 A ( 4,0) 和 C ( 0,3) 两点， 由两点式得y 03 0x 4 0 4 ，整理得 3 x 4 y 12 0. 直线 方程为 3 x 4 y 12 0. 直线 B (3 ， 3) 和 C ( 0,3) 两点， 由两点式得 y 3 3 3 x 30 3 . 整理，得 2 x y 3 0 ， 直线 方程为 2 x y 3 0. 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 直线两点式、截距式方程的应用 问题 如图所示，已知 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，M ( x ， y ) 是线段 中点，如何用 A ， B 点的坐标 表示 M 点的坐标？ 解 直线经过点 P ( 2,3) ，且斜率为 2 ，代入点斜式，得： y 3 2( x 2) ，即 2 x y 7 0. 答 过点 A ， B ， M 分别向 x 轴， y 轴作垂线 ， ， ， ， ， ，垂足分别为 A 1 ( x 1, 0) ， A 2 (0 ， y 1 ) ， B 1 ( x 2, 0) ， B 2 (0 ， y 2 ) ，M 1 ( x, 0) ， M 2 (0 ， y ) 因为 M 是线段 中点，所以点 M 1 和点 M 2 分别是 A 1 B 1 和 A 2 B 2的中点， 即 A 1 M 1 M 1 B 1 ， A 2 M 2 M 2 B 2 . 所以 x x 1 x 2 x ， y y 1 y 2 y . 即 x x 1 x 22， y y 1 y 22. 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 已知 P 1 ， P 2 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，且线段 P 1 P 2的中点 M 的坐标为 ( x ， y ) ，则x x 2 x 12，y y 2 y 12，这个公式为线段的中点坐标公式 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 已知三角形的三个顶点 A ( 5,0) ， B (3 ， 3) ， C ( 0,2) ，求所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程 解 如图，过 B (3 ， 3) ， C ( 0,2 ) 的两点式方程为y 2 3 2x 03 0， 整理得 5 x 3 y 6 0. 这就是 所在直线的方程 上的中线是顶点 A 与 中点 M 所连线段，由中点坐标公式可得点 M 的坐标为 (3 02， 3 22) ，即 (32，12) 过 A ( 5,0) ，M (32，12) 的直线的方程为y 012 0x 532 5， 即 12 x 13 2 y 52 0 ，即 x 13 y 5 0. 这就是 上中线所在直线的方程 小结 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程 研一研 问题探究、课堂更高效 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 已知 A 三个顶点坐标为 A ( 3,0) ，B ( 2, 1) ， C ( 2,3) ，求： ( 1) 所在直线的方程； ( 2) 上的高 在直线的方程； ( 3) 上的中线 在直线的方程 解 ( 1) 直线 方程为 y 13 1 x 2 2 2 ， 即 x 2 y 4 0. ( 2) 由 ( 1) 知 k 12 ，则 k 2 ， 又 A ( 3,0 ) ， 故直线 方程为 y 2( x 3) ， 即 2 x y 6 0. ( 3) 中点为 E ( 0,2 ) ， 故 在直线方程为 x 3 1 ， 即 2 x 3 y 6 0. 研一研 问题探究、课堂更高效 例 3 求过定点 P ( 2,3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线 解 设直线的两截距都是 a ，则有 当 a 0 时，直线为 y 将 P ( 2,3) 代入得 k 32， l ： 3 x 2 y 0 ； 当 a 0 时，直线设为 1 ，即 x y a ， 把 P ( 2,3) 代入得 a 5 ， l ： x y 5. 直线 l 的方程为 3 x 2 y 0 或 x y 5 0. 小结 ( 1) 如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可 ( 2) 选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 3 求过点 (4 ， 3) 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程 解 设直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a ， b ， 则直线过两点 A ( a, 0) 和 B (0 ， b ) ( 1) 当 a 0 且 b 0 时， 由截距式求得直线 l 的方程为 1. 直线 l 过点 (4 ， 3) ， 4a 3b 1 又 |a | |b | 由 联立，得方程组 4a 3b 1|a | |b |， 由此解得 a 1b 1 或 a 7b 7 ， 故直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 7 0. 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 2) 当 a b 0 时， 直线 l 过原点 O ( 0,0 ) 和点 (4 ， 3) ， 由两点式得直线 l 的方程为 3 x 4 y 0. 综上可知，直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 7 0 或 3 x 4 y 0. 1 在 x 、 y 轴上的截距分别是 3 、 4 的直线方程是 ( ) 31 y 4 1 31 y 3 1 练一练 当堂检测、目标达成落实处 A 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 过点 M (3 ， 4) ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 解析 若直线过原点，则 k 43 ， y 43 x ，即 4 x 3 y 0. 若直线不过原点，设 1 ，即 x y a . 4 x 3 y 0 或 x y 1 0 a 3 ( 4) 1 ， x y 1 0. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 直线 l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为 2 ，两截距之差为 3 ，求直线 l 的方程 解 由题意，得直线 l 在两坐标轴上截距都大于零， 故可设直线方程为 1 ( a 0 ， b 0) ， 由已知得： 12 2|a b | 3， 解得 a 1b 4或 a 4b 1或 a 1b 4( 舍 ) 或
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