关 键 词：

步步高 学年 高中数学 第三 课件 基础 过关

资源描述：

【步步高】2013-2014学年高中数学 第三章课件+基础过关训,步步高,学年,高中数学,第三,课件,基础,过关

内容简介：

3 . 倾斜角与斜率 学习要求 1 理解直线的斜率和倾斜角的概念； 2 理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性； 3 了解斜率公式的推导过程，会应用斜率公式求直线的斜率 学法指导 通过直线的斜率及斜率与倾斜角关系的学习，培养观察、探索和抽象概括能力；通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，进一步理解数形结合思想 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 作为基准， 正向与直线 l 之间所成的角 叫做直线 l 的倾斜角特别地，当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定 0 . 2 斜率的概念：我们把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率斜率常用小写字母 k 表示 ,即 . x 轴 x 轴 向上方向 k ta n 填一填 知识要点、记下疑难点 3 倾斜角与斜率的对应关系 图示 倾斜角 ( 范围 ) 0 0 0 及 k 0 知， 直线 倾斜角均为锐角； 由 k 0 ，所以倾斜角是锐角； ( 2 ) k 2 50 3 1 0 ，所以倾斜角是钝角； ( 3 ) 由 x 1 x 2 2 得： k 不存在，倾斜角是 90 ； ( 4 ) k 2 2 6 3 0 ，所以倾斜角为 0 . 例 2 在平面直角坐标系中 ， 画出经过原点且斜率分别为 1 ， 1 ，2 及 3 的直线 l 1 ， l 2 ， l 3 及 l 4 . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设直线 l 1 上的另一个点 A 1 的坐标为 ( x ， y ) ，根据斜率公式有 1 y 0x 0， 所以 x y ，可令 x 1 ，则 y 1 ，于是点 A 1的坐标为 ( 1,1) 此时过原点和点 A 1 ( 1,1) 可作直线 l 1 ，如图所示同理， l 2 是过原点及 A 2 (1 ， 1) 的直线， l 3 是过原点及 A 3 ( 1,2) 的直线， l 4是过原点及 A 4 (1 ， 3) 的直线可作直线 l 2 ，l 3 ，及 l 4 . 小结 已知直线过定点且斜率为定值，那么直线的位置就确定了，要画出直线，需通过斜率求出另一定点 跟踪训练 2 已知点 P ( 3 ， 1) ，点 Q 在 y 轴上，直线 倾斜角为120 ，则点 Q 的坐标为 _ 研一研 问题探究、课堂更高效 解析 因 为点 Q 在 y 轴上， 则可设其坐标为 (0 ， b ) 直线 斜率 k ta n 120 3 ， k b 10 3 3 ， b 2 ，即点 Q 的坐标为 (0 ， 2) . (0 ， 2) 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 对于下列命题： 若 是直线 l 的倾斜角，则 0 180 ； 若 k 是直线的斜率，则 k R ； 任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； 任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角 其 中正确命题的个数是 ( ) A 1 B 2 C 3 D 4 解析 正确 C 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 若经过 P ( 2 ， m ) 和 Q ( m, 4) 的直线的斜率为 1 ，则 m 等于 ( ) A 1 B 4 C 1 或 3 D 1 或 4 A 解析 由题意，得 k 4 2 1 ，解得 m 1. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 若 A (3 ， 2) ， B ( 9, 4) ， C ( x, 0) 三点共线，则 x 等于 ( ) A 1 B 1 C 0 D 7 解析 由题意，得 k k 即4 2 9 3 0 4x 9 ，解得 x 1. B 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 利用直线上两点确定直线的斜率，应从斜率存在、不存在两方面入手分类讨论，斜率不存在的情况在解题中容易忽视，应引起注意 2 三点共线问题： (1) 已知三点 A ， B ， C ，若直线 三点共线； (2) 三点共线问题也可利用线段相等来求，若 | | | ，也可断定 A ， B ， 3 . 1 . 2 两条直线平行与垂直的判定 学习要求 1 . 理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条 件； 2. 能根据已知条件判断两直线的平行与垂直； 3 . 能应用两条直线平行或垂直进行实际应用 学法指导 通过把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两 条直线的斜率的关系问题，培养运用已有知识解决新问题的能力，以及数形结合的能力 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 两条直线平行与斜率的关系 ( 1) 对于两条不重合的直线 斜率分别为 . ( 2) 如果直线 且 么它们都与 垂直，故 2 两条直线垂直与斜率的关系 ( 1) 如果直线 且分别为 么 . ( 2) 如果两条直线 一个斜率是零，那么 x 轴 1 垂直 问题情境 为了表示直线的倾斜程度，我们引入了直线的倾斜角与斜率的概念，并推导出了斜率的坐标计算公式，即把几何问题转化为代数问题那么，我们能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直呢？本节我们就来研究这个问题 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 两条直线平行的判定 问题 1 如图，设对于两条不重合的直线 l 1 与 l 2 ，其倾斜角分 别为 1 与 2 ，斜率分别为 k 1 、 k 2 ，若 l 1 l 2 ， 1 与 2 之间有什么关系？ k 1 与 k 2 之间有什么关系？ 答 1 与 2 之间的关系为 1 2 ；对于 k 1 与 k 2 之间的关系，当 1 2 时， k 1 k 2 ，因为 1 2 ，所以 ta n 1 ta n 2 ，即k 1 k 2 . 当 1 2 90 时， k 1 、 k 2 不存在 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 对于两条不重合的直线 l 1 与 l 2 ，若 k 1 k 2 ，是否一定有l 1 l 2 ？为什么？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 一定有 l 1 l 2 . 因为 k 1 k 2 ta n 1 ta n 2 1 2 l 1 l 2 . 小结 对于两条不重合的直线 l 1 、 l 2 ，其斜率分别为 k 1 、 k 2 ，有l 1 l 2 k 1 k 2 . 若直线 l 1 和 l 2 可能重合时，我 们得到 k 1 k 2 l 1 l 2或 l 1 与 l 2 重合 例 1 已知 A ( 2,3) ， B ( 4,0) ， P ( 3,1) ， Q ( 1,2) ，试判断直线 位置关系，并证明你的结论 研一研 问题探究、课堂更高效 解 直线 斜率 k 1 3 02 4 12 ， 直线 方程为 y 12 ( x 4) 12 x 2. 直线 斜率 k 2 2 1 1 3 12 ， 直线 方程为 y 1 12( x 3) ，即 y 12x 52. 因为 k 1 k 2 12 ，且 2 52 ，所以直线 小结 判定两条直线的位置关系时，一定要考虑特殊情况，如两直线重合、斜率不存在等一般情况都成立，只有一种特殊情况不成立，则该命题就是假命题 跟踪训练 1 试确定 m 的值，使过点 A ( m 1,0 ) ， B ( 5 ， m ) 的直线与过点 C ( 4,3) ， D ( 0,5) 的直线平行 研一研 问题探究、课堂更高效 解 由题意得： k m 0 5 m 1 m 6 m ， k 5 30 4 12 . 由于 即 k k 所以 m 6 m 12 ，所以 m 2. 例 2 已知四边形 D 的四个顶点分别为 A ( 0,0) ， B (2 ， 1) ，C ( 4,2) ， D ( 2,3) ，试判断四边形 形状，并给出证明 研一研 问题探究、课堂更高效 解 所在直线的斜率 k 12， 所在直线的斜率 k 12， 所在直线的斜率 k 32 ， 所在直线的斜率 k 32. 因为 k k k k 所以 因此，四边形 D 是平行四边形 小结 熟记斜率公式： k y 2 y 1x 2 x 1，该公式与两点的顺序无关，已知两点坐标 ( x 1 x 2 ) 时，根据该公式可求 出经过两点的直线的 斜率当 x 1 x 2 ， y 1 y 2 时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为 90 . 研一研 问题探究、课堂更高效 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 求证：顺次连接 A (2 ， 3) ， B (5 ，72) ， C ( 2,3) ，D ( 4,4) 四点所得的四边形是梯形 证明 72 3 5 216， k 4 3 4 216， k k 从而 又 k 3 722 5136， k 3 42 4 76， k k 从而直线 平行， 四边形 A B 梯形 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 两条直线垂直的判定 问题 1 如图，设直线 l 1 与 l 2 的倾斜角分别为 1与 2 ，斜率分别为 k 1 、 k 2 ，且 1 2 ，若 l 1 l 2 ， 1 与 2 之间有什么关系？为什么？ 答 2 90 1 ，因为三角形任意一外角等于不相邻两内角之和 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 已知 t 0 ) 1t ，据此，如何推出问题 1 中两直线的斜率 k 1 、 k 2 之间的关系？ 答 因为 2 90 1 ，所以 ta n 2 ta n( 90 1 ) ，由于ta n( 90 ) 1ta n ， ta n 2 1ta n 1， 即 ta n 2 ta n 1 1 ，所以 k 1 k 2 1. 问题 3 如果两直线的斜率存在且满足 k 1 k 2 1 ，是否一定有 l 1 l 2 ？为什么？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 一定有 l 1 l 2 . 不防设 k 2 0 ，即 2 为纯角，因为 k 1 k 2 1 ，则有 ta n 2 ta n 1 1 ，所以 ta n 2 1ta n 1 ta n( 90 1 ) ，则 2 90 1 ，所以 l 1 l 2 . 问题 4 对任意两条直线，如果 l 1 l 2 ，一定有 k 1 k 2 1 吗？为什么？ 答 不一定，因为如果直线 l 1 和 l 2 分别平行于 x 、 y 轴，则 k 2不存在，所以 k 1 k 2 1 不成立 小结 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于 1 ；反之，如果它们的斜率之积等于 1 ，那么它们互相垂直，即 k 1 k 2 1 l 1 l 2 . 例 3 已知长方形 A 的三个顶点的坐标分别为 A ( 0,1) ， B ( 1,0) ，C ( 3,2) ，求第四个顶点 D 的坐标 研一研 问题探究、课堂更高效 解 设第四个顶点 D 的坐标为 ( x ， y ) ，因为 所以 k k 1 ，且 k k 所以y 1x 0y 2x 3 1y 1x 02 03 1， 解得 x 0y 1 ( 舍去 ) ， x 2y 3 . 所以第四个顶点 D 的坐标为 ( 2,3 ) 小结 在应用斜率解决与两条直线的平行或垂直有关的问题时，应考虑到斜率存在与不存在的情况，避免出现漏解两条 直线垂直与斜率之间的关系： l 1 l 2 k 1 k 2 1 或一条直线斜率为零，另一条斜率不存在 跟踪训练 3 已知 A ( 6,0) ， B ( 3,6) ， P ( 0,3) ， Q (6 ， 6) ，试判断直线 位置关系 研一研 问题探究、课堂更高效 解 直线 斜率 k 23，直线 斜率 k 32. 由 k k 23 32 1 ，所以直线 解析 由题意知直线 直 x 轴，斜率不存在， m 1. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 已知点 A ( 1,2) ， B ( m, 1) ，直线 直线 y 0 垂直，则m 的值 为 ( ) A 2 B 1 C 0 D 1 B 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 已知直线 2 ，直线 12，则 ( ) A 平行 B 相交但不垂直 C 垂直 D 重合 C 解析 由于 k 1 k 2 2 ( 12 ) 1 ，所以 l 1 l 2 . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 直线 l 1 ： x 1 与直线 l 2 ： x 0 的位置关系是 _ 解析 直线 l 2 的斜率都不存在，且 1 0 ， 平行 l 1 l 2 . 练一练 当堂检测、目标达成落实处 4 已知 A (5 ， 1) ， B ( 1,1 ) ， C ( 2,3 ) 三点，试判断 形状 解 所在直线的斜率 k 1 1 1 512 ， 所在直线的斜率 k 3 12 1 2. 由 k k 1 ，得 即 90 . 所以 直角三角形 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 代数方法判定两直线平行或垂直的结论 ：若直线 其中 ；若 1. 2 判定两条直线是平行还是垂直要 “ 三看 ” ：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为 0 ，另一条直线的斜率不存在，则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为 1 ；三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行 . 3 . 直线的点斜式方程 学习要求 1 了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2 掌握直线的点斜式方程与斜截式方程； 3 会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题 学法指导 通过已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素，探究出直线的点斜式、斜截式方程；通过对比理解 “ 截距 ” 与 “ 距离 ” 的区别，体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养数形结合的思想 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 求直线的方程，其实就是研究直线上任意一点 P ( x ， y ) 的坐标 之间的关系 2 直线 l 经过点 ，当直线斜率不存在时，直线方程为 ；当斜率为 k 时，直线方程为 ，该方程叫做直线的点斜式方程 3 方程 叫做直线的斜截式方程，其中 叫做直线在 轴上的截距 4 对于直线 y y ； . x 和 y y y 1 k ( x x 1 ) y b x x 1 b y k 1 k 2 且 b 1 b 2 k 1 k 2 1 问题情境 给出一定点 P 0 和斜率 k ，直线就可以唯一确定了如果设点 P ( x ， y ) 是直线上的任意一点，那么，如何建立 P 和 P 0点的坐标之间的关系呢？本节我们就来研究这个问题 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 直线的点斜式方程 问题 1 求直线的方程指的是求什么？ 答 就是求直线上任意一点的坐标 ( x ， y ) 满足的关系式 问题 2 如图，直线 l 经过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) ，且斜率为 k ，设点 P ( x ， y ) 是直线 l 上不同于点 P 0 的任意一点，怎样建立 x ， y 之间的关系？ 答 由斜率公式得 k y y 0x x 0，即 y y 0 k ( x x 0 ) 问题 3 过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) ，斜率是 k 的直线 l 上的点，其坐标都满足问题 2 中得出的方程吗？为什么？ 答 其坐标都满足方程 y y 0 k ( x x 0 ) ；由问题 2 中的推导过程可知 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 坐标满足方程 y y 0 k ( x x 0 ) 的点都在过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 且斜率为 k 的直线上 吗？为什么？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 都在这是因为若点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) 的坐标 x 1 ， y 1 满足方程 y y 0 k ( x x 0 ) ，即 y 1 y 0 k ( x 1 x 0 ) ，若 x 1 x 0 ，则 y 1 y 0 0 ，即 y 1 y 0 ，说明点 P 1 与 P 0 重合，于是可得点 P 1 在直线 l 上；若 x 1 x 0 ，则 k y 1 y 0x 1 x 0，这说明过点 P 1 和 P 0 的直线的斜率为k ，于是可得点 P 1 在过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 且斜率为 k 的直线上 小结 由上述问题 2 和问题 3 的讨论可知，方程 y y 0 k ( x x 0 ) 就是过点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 且斜率为 k 的直线的方程方程 y y 0 k ( x x 0 ) 由直线上一点及其斜率确定，把这个方程叫做直线的点斜式方程，简称点斜式 问题 5 如何求 x 轴所在的直线方程？如何求出经过点P 0 ( x 0 ， y 0 ) 且平行于 x 轴的直线方程？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 由于 x 轴过坐标原点 ( 0,0) ，且倾斜角为 0 ，即 k ta n 0 0 ，将点 ( 0,0) 及 k 0 代入直线的点斜式得 y 0 ；因所求直线 l 平行于 x 轴，所以 k ta n 0 0 ，将 ( x 0 ， y 0 ) 及 k 0 代入直线的点斜式得 y y 0 0 ，即 y y 0 . 问题 6 y 轴所在的直线方程是什么？如何求过点 P 0 ( x 0 ， y 0 )且平行于 y 轴的直线方程 ？ 答 y 轴所在的直线方程为 x 0 ；由于直线 l 平行于 y 轴，所以直线 l 斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示因为这时直线 l 上每一点的横坐标都等于 x 0 ，所以它的方程是 x x 0 0 ，即 x x 0 . 例 1 直线 l 经过点 P 0 ( 2,3) ，且倾斜角 4 5 ，求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l . 研一研 问题探究、课堂更高效 解 直线 l 经过点 P 0 ( 2,3) ，斜率是 k ta n 45 1 ， 代入点斜式方程得 y 3 x 2. 画图时，只需再找出直线 l 上另一点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ，例如，取 x 1 1 ，y 1 4 ，得 P 1 的坐标为 ( 1,4) ，过 P 0 ， P 1 的直线即为所求，如图： 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 由点斜式写直线方程时，由于过 P ( x 0 ， y 0 ) 的直线有无数条，大致可分为两类： ( 1) 斜率存在时方程为 y y 0 k ( x x 0 ) ； ( 2) 斜率不存在时，直线方程为 x x 0 . 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 一条直线经过点 P ( 2,3) ，斜率为 2 ，求这条直线的方程 解 直线经过点 P ( 2,3) ，且斜率为 2 ，代入点斜式，得： y 3 2( x 2) ，即 2 x y 7 0. 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 直线的斜截式方程 问题 1 已知直线 l 的斜率为 k ，且与 y 轴的交点为 (0 ， b ) ，得到的直线 l 的方程是什么？ 答 将 k 及点 (0 ， b ) 代入直线方程的点斜式得： y b . 小结 我们称 b 为直线 l 在 y 轴上的截距方程 y b 由直线的斜率 k 与它在 y 轴上的截距 b 确定，所以这个方程也叫做直线的斜截式方程 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 直线 y b 在 y 轴上的截距 b 是直线与 y 轴交点到原点的距离吗？它的取值范围是什么？ 答 不是直线与 y 轴交点到原点的距离，是直线 y b 在 距 b 的取值范围是 R. 问题 3 一次函数的解析式 y b 与直线的斜截式方程 y b 有什么不同？ 答 一次函数的 x 的系数 k 0 ，否则就不是一次函数了；直线的斜截式方程 y b 中的 k ，可以为 0. 例 2 已知直线 l 1 ： y k 1 x b 1 ， l 2 ： y k 2 x b 2 ， 试讨论： ( 1) l 1 l 2 的条件是什么？ ( 2) l 1 l 2 的条件是什么？ 研一研 问题探究、课堂更高效 解 ( 1) 若 l 1 l 2 ，则 k 1 k 2 ， 此时 l 1 ， l 2 与 y 轴的交点不同，即 b 1 b 2 ； 反之， k 1 k 2 且 b 1 b 2 时， l 1 l 2 . ( 2) 若 l 1 l 2 ，则 k 1 k 2 1 ； 反之， k 1 k 2 1 时， l 1 l 2 . 小结 已知 l 1 ： y k 1 x b 1 ， l 2 ： y k 2 x b 2 ，则 l 1 l 2 k 1 k 2 ，且 b 1 b 2 ； l 1 l 2 k 1 k 2 1. 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 已知直线 l 的斜率为16，且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形，求 l 的方程 解 设直线方程为 y 16x b ，则 x 0 时， y b ； y 0 时， x 6 b . 由已知可得 12 | b | | 6 b | 3 ， 即 6| b | 2 6 ， b 1. 故所求直线方程为 y 16 x 1 或 y 16 x 1 ， 即 x 6 y 6 0 或 x 6 y 6 0. 1 方程 y k ( x 2) 表示 ( ) A 通过点 ( 2,0) 的所有直线 B 通过点 ( 2,0) 的所有直线 C 通过点 ( 2,0) 且不垂直于 x 轴的所有直线 D 通过点 ( 2,0) 且除去 x 轴的所有直线 解析 易验证直线通过点 ( 2,0) ，又直线斜率存在，故直线不垂直于 x 轴 练一练 当堂检测、目标达成落实处 C 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 已知直线 l 过点 P (2, 1) ，且直线 l 的斜率为直线 x 4 y 3 0 的斜率的 2 倍，则直线 l 的方程为 _ _ 解析 由 x 4 y 3 0 ，得 y 14 x 34 ，其斜率为 14 ， 故所求直线 l 的斜率为 12 ，又直线 l 过点 P ( 2,1 ) ， 所以直线 l 的方程为 y 1 12 ( x 2) ，即 x 2 y 0. x 2 y 0 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 写出下列直线的点斜式方程： ( 1) 经过点 A ( 2,5) ，且与直线 y 2 x 7 平行； ( 2) 经过点 C ( 1 ， 1) ，且与 x 轴平行 解 ( 1) 由题意知，直线的斜率为 2 ， 所以其点斜式方程为 y 5 2( x 2) ( 2) 由题意知，直线的斜率 k ta n 0 0 ， 所以直线的点斜式方程为 y ( 1) 0 ，即 y 1. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 已知直线 l 经过的一个点和直线斜率就可用点斜式写出 直线的方程用点斜式求直线方程时，必须保证该直线斜率存在而过点 P ( ，斜率不存在的直线方程为x 直线的斜截式方程 y b 是点斜式的特例 2 求直线方程时常常使用待定系数法，即根据直线满足的一个条件，设出其点斜式方程或斜截式方程，再根据另一条件确定待定常数的值，从而达到求出直线方程的目的但在求解时仍然需要讨论斜率不存在的情形 3 . 直线的两点式方程 学习要求 1 掌握直线方程的两点式的形式、特点及适用范围； 2 了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围 学法指导 通过应用过两点的斜率公式，探究出直线的两点式方程，经历通过新旧知识的比较、分析、应用获得新知识的过程，感知事物之间的普遍联系与相互转化，形成用联系的观点看问题的习惯 填一填 知识要点、记下疑难点 1 直线的两点式方程：经过直线上两点 ， 其 中 的直线方程 叫做直线 的两点式方程，简称两点式 2 直线的截距式方程：我们把直线与 x 轴交点 ( a, 0) 的横坐标a 叫做直线在 x 轴上的截距，此时直线在 y 轴上的截距是 b ， 方程 由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确 定，所以叫做直线的 y y 1y 2 y 1 x x 1x 2 x 1 截距式方程 1 填一填 知识要点、记下疑难点 3 线段的中点坐标公式 若点 P 1 、 P 2 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) 、 ( x 2 ， y 2 ) ，则线段 P 1 P 2 的中点坐标公式为 . x x 2 x 12y y 2 y 12 问题情境 已知直线上一点的坐标和直线的斜率我们能用直线的点斜式表示直线的方程；已知直线的斜率及直线在 y 轴上的截距能用直线的斜截式表示直线的方程，那么，如果已知直线经过两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 )( 其中 x 1 x 2 ， y 1 y 2 ) ，是否存在直线的某种形式的方程直接表示出直线的方程呢？ 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 直线的两点式方程 导引 已知直线上两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 )( 其中 x 1 x 2 ，y 1 y 2 ) ，如何求出过这两点的直线方程？ 问题 1 经过一点，且已知斜率的直线，如何求它的方程？ 答 利用直线的点斜式方程，将数据代入就能求出直线的 方程 问题 2 能不能把上述问题转化成已经解决的问题？怎样 转化？ 答 由于 x 1 x 2 ，所求直线的斜率 k y 2 y 1x 2 x 1. 取 P 1 ( x 1 ， y 1 ) 和 k ，由点斜式方程，得 y y 1 y 2 y 1x 2 x 1( x x 1 ) ， 由 y 1 y 2 ，方程两边同除以 y 2 y 1 ，得 y y 1 y 1 x x 1 x 1. 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 经过直线上两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 )( 其中 x 1 x 2 ， y 1 y 2 )的直线方程y y 1y 2 y 1 x x 1x 2 x 1 叫做直线的两点式方程，简 称两点式 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 3 从两点式方程的形式上看，直线方程的两点式适合求什么样的直线方程？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 已知直线 l 与 x 轴的交点为 A ( a, 0) ，与 y 轴的交点为B (0 ， b ) ，其中 a 0 ， b 0 ，求 l 的方程 解 将两点 A ( a, 0) ， B (0 ， b ) 的坐标代入两点式，得y 0b 0x a，即xa1. 小结 我们把直线与 x 轴交点 ( a, 0) 的横坐标 a 叫做直线在 时直线在 y 轴上的截距是 b ，方程xa1由直线 l 在两个坐标轴上的截距 a 与 b 确定，所以叫做直线的截距式方程 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 三角形的顶点是 A ( 4,0) ， B (3 ， 3) ， C ( 0,3) ，求这个三角形三边所在的直线的方程 解 直线 A ( 4,0) ， B (3 ， 3) 两点，由两点式得y 0 3 0x 4 3 4 ， 整理得 3 x 7 y 12 0 ， 直线 方程为 3 x 7 y 12 0. 直线 A ( 4,0) 和 C ( 0,3) 两点， 由两点式得y 03 0x 4 0 4 ，整理得 3 x 4 y 12 0. 直线 方程为 3 x 4 y 12 0. 直线 B (3 ， 3) 和 C ( 0,3) 两点， 由两点式得 y 3 3 3 x 30 3 . 整理，得 2 x y 3 0 ， 直线 方程为 2 x y 3 0. 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 直线两点式、截距式方程的应用 问题 如图所示，已知 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，M ( x ， y ) 是线段 中点，如何用 A ， B 点的坐标 表示 M 点的坐标？ 解 直线经过点 P ( 2,3) ，且斜率为 2 ，代入点斜式，得： y 3 2( x 2) ，即 2 x y 7 0. 答 过点 A ， B ， M 分别向 x 轴， y 轴作垂线 ， ， ， ， ， ，垂足分别为 A 1 ( x 1, 0) ， A 2 (0 ， y 1 ) ， B 1 ( x 2, 0) ， B 2 (0 ， y 2 ) ，M 1 ( x, 0) ， M 2 (0 ， y ) 因为 M 是线段 中点，所以点 M 1 和点 M 2 分别是 A 1 B 1 和 A 2 B 2的中点， 即 A 1 M 1 M 1 B 1 ， A 2 M 2 M 2 B 2 . 所以 x x 1 x 2 x ， y y 1 y 2 y . 即 x x 1 x 22， y y 1 y 22. 这就是线段中点坐标的计算公式，简称中点公式 研一研 问题探究、课堂更高效 小结 已知 P 1 ， P 2 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ，且线段 P 1 P 2的中点 M 的坐标为 ( x ， y ) ，则x x 2 x 12，y y 2 y 12，这个公式为线段的中点坐标公式 研一研 问题探究、课堂更高效 例 2 已知三角形的三个顶点 A ( 5,0) ， B (3 ， 3) ， C ( 0,2) ，求所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程 解 如图，过 B (3 ， 3) ， C ( 0,2 ) 的两点式方程为y 2 3 2x 03 0， 整理得 5 x 3 y 6 0. 这就是 所在直线的方程 上的中线是顶点 A 与 中点 M 所连线段，由中点坐标公式可得点 M 的坐标为 (3 02， 3 22) ，即 (32，12) 过 A ( 5,0) ，M (32，12) 的直线的方程为y 012 0x 532 5， 即 12 x 13 2 y 52 0 ，即 x 13 y 5 0. 这就是 上中线所在直线的方程 小结 当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式求方程在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程 研一研 问题探究、课堂更高效 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 2 已知 A 三个顶点坐标为 A ( 3,0) ，B ( 2, 1) ， C ( 2,3) ，求： ( 1) 所在直线的方程； ( 2) 上的高 在直线的方程； ( 3) 上的中线 在直线的方程 解 ( 1) 直线 方程为 y 13 1 x 2 2 2 ， 即 x 2 y 4 0. ( 2) 由 ( 1) 知 k 12 ，则 k 2 ， 又 A ( 3,0 ) ， 故直线 方程为 y 2( x 3) ， 即 2 x y 6 0. ( 3) 中点为 E ( 0,2 ) ， 故 在直线方程为 x 3 1 ， 即 2 x 3 y 6 0. 研一研 问题探究、课堂更高效 例 3 求过定点 P ( 2,3) 且在两坐标轴上的截距相等的直线 解 设直线的两截距都是 a ，则有 当 a 0 时，直线为 y 将 P ( 2,3) 代入得 k 32， l ： 3 x 2 y 0 ； 当 a 0 时，直线设为 1 ，即 x y a ， 把 P ( 2,3) 代入得 a 5 ， l ： x y 5. 直线 l 的方程为 3 x 2 y 0 或 x y 5 0. 小结 ( 1) 如果问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑选用截距式直线方程，用待定系数法确定其系数即可 ( 2) 选用截距式直线方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 3 求过点 (4 ， 3) 且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线 l 的方程 解 设直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a ， b ， 则直线过两点 A ( a, 0) 和 B (0 ， b ) ( 1) 当 a 0 且 b 0 时， 由截距式求得直线 l 的方程为 1. 直线 l 过点 (4 ， 3) ， 4a 3b 1 又 |a | |b | 由 联立，得方程组 4a 3b 1|a | |b |， 由此解得 a 1b 1 或 a 7b 7 ， 故直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 7 0. 研一研 问题探究、课堂更高效 ( 2) 当 a b 0 时， 直线 l 过原点 O ( 0,0 ) 和点 (4 ， 3) ， 由两点式得直线 l 的方程为 3 x 4 y 0. 综上可知，直线 l 的方程为 x y 1 0 或 x y 7 0 或 3 x 4 y 0. 1 在 x 、 y 轴上的截距分别是 3 、 4 的直线方程是 ( ) 31 y 4 1 31 y 3 1 练一练 当堂检测、目标达成落实处 A 练一练 当堂检测、目标达成落实处 2 过点 M (3 ， 4) ，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 解析 若直线过原点，则 k 43 ， y 43 x ，即 4 x 3 y 0. 若直线不过原点，设 1 ，即 x y a . 4 x 3 y 0 或 x y 1 0 a 3 ( 4) 1 ， x y 1 0. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 3 直线 l 与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为 2 ，两截距之差为 3 ，求直线 l 的方程 解 由题意，得直线 l 在两坐标轴上截距都大于零， 故可设直线方程为 1 ( a 0 ， b 0) ， 由已知得： 12 2|a b | 3， 解得 a 1b 4或 a 4b 1或 a 1b 4( 舍 ) 或 a 4b 1( 舍 ) ， 直线方 程为 y 1 或 x 1. 练一练 当堂检测、目标达成落实处 1 直线方程的几种形式，都可以用来求直线的方程，但各有自己的限制条件，应用时要全面考虑点斜式与斜截式要注意斜率不存在的情况两点式要考虑直线平行于 x 轴的情况截距式要注意两个截距都不为 0的条件限制，另外截距相等也包括截距均为零的情况，不能用截距式方程表示，而应用 y 示 2 方程 y y1x 与y y1x 以及 ( y ( x 代表的直线范围不同 . 3 . 2 . 3 直线的一般式方程 学习要求 1 掌握直线的一般式方程； 2 理解关于 x ， y 的二元一次方程 C 0( A ， B 不同时为 0) 都表示直线； 3 会进行直线方程的五种形式之间的转化 学法指导 通过探究二元一次方程与直线的关系，掌握直线方程的一般式；通过直线方程的五种形式间的相互转化，学会用分类讨论的思想方法解决问题，认识事物之间的普遍联系与相互转化 . 填一填 知识要点、记下疑难点 1 关于 x ， y 的二元一次方程 ( 其中 A ，B ) 叫做直线的一般式方程，简称一般式 2 比较直线方程的五种形式 形式 方程 局限 点斜式 不能表示 k 不存在的直线 斜截式 不能表示 k 不存在的直线 C 0 不同时为 0 y y 0 k ( x x 0 ) y b 填一填 知识要点、记下疑难点 两点式 y y1x 截距式 xa1 不能表示 一般式 无 y 2 与坐标 轴平行及过原点 的直线 C 0 问题情境 前面我们学习了直线方 程的四种表达形式，它们都含有 x ，y 这两个变量，并且 x ， y 的次数都是一次的，即它们都是关于 x ， y 的二元一次方程，那么直线的方程与二元一次方程有怎样的关系？本节我们就来研究这个问题 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点一 直线的一般式方程 问题 1 平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x ， y 的二元一次方程表示吗？为什么？ 答 都可以，原因如下： ( 1) 直线和 y 轴相交于点 (0 ， b ) 时：此时倾斜角 2，直线的斜率 k 存在； 直线可表示成 y b ，可转化为 ( 1) y b 0 ，这是关于 x ， y 的二元一次方程 ( 2) 直线和 y 轴平行 ( 包括重合 ) 时：此时倾斜角 2，直线的斜率 k 不存在，不能用 y b 表示，而只能表示成 x a 0 ，把它可以认为是关于 x ， y 的二元一次方程，此时方程中 y 的系数为 0. 小结 任何一条直线的方程都是关于 x ， y 的二元一次方程 研一研 问题探究、课堂更高效 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 2 每一个关于 x ， y 的二元一次方程 C 0( A ，B 不同时为零 ) 都表示一条直线吗？为什么？ 答 能表示一条直线，原因如下： 当 B 0 时，方程 C 0 可变形为 y 表示过点 (0 ，斜率为 当 B 0 时，方程 C 0 变成 C 0 ， 即 x 它表示与 y 轴平行或重合的一条直线 小结 直线方程都是关于 x ， y 的二元一次方程；关于 x ， y 的二元一次图象又都是一条直线我们把关于 x ， y 的二元一次方程 C 0( A ， B 不同时为零 ) 叫做直线的一般式方程，简称一般式 问题 3 直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？ 研一研 问题探究、课堂更高效 答 直线的一般式方程能够表示平面上的所有直线，而点 斜式、斜截式、两点式方程，都不能表示与 x 轴垂直的直线 研一研 问题探究、课堂更高效 问题 4 在方程 C 0( A ， B 不同时为零 ) 中， A ， B ，C 为何值时，方程表示的直线 ( 1) 平行于 x 轴； ( 2) 平行于 ( 3) 与 x 轴重合； ( 4) 与 y 轴重合 答 当 A 0 时，方程变为 y C 0 时表示的直线平行于 x 轴，当 C 0 时与 x 轴重合；当 B 0 时，方程变为x C 0 时表示的直线平行于 y 轴，当 C 0 时与 研一研 问题探究、课堂更高效 例 1 已知直线经过点 A (6 ， 4) ，斜率为43，求直线的点斜式和一般式方程 解 经过点 A (6 ， 4) ，斜率等于43的直线的点斜式方程是 y 443( x 6) 化成一般式，得 4 x 3 y 12 0. 小结 对于直线方程的一般式，一般做如下约定：一般按含 x 项、含 y 项、常数项顺序排列； x 项的系数为正； x ， y 的系数和常数项一般不出现分数；无特殊要求时，求直线方程的结果写成一般式 研一研 问题探究、课堂更高效 跟踪训练 1 若方程 (2 m 3) x ( m ) y 4 m 1 0 表示一条直线，求 实数 m 的取值范围 解 方程 (2 m 3) x ( m ) y 4 m 1 0 表示一条直线，则2 m 3 0 与 m 0 不能同时成立 解2 m 3 0 ，m 0 ，得 m 1. 故 m 的取值范围为 ( ， 1) (1 ， ) . 研一研 问题探究、课堂更高效 探究点二 直线方程五种表达形式的转化 例 2 把直线 l 的一般式方程 x 2 y 6 0 化成斜截式，求出直线l 的斜率和它在 x 轴与 y 轴上的截距，并画出图形 解 将原方程移项，得 2 y x 6 ，两边除以 2 ，得斜截式 y 12 x 3. 因此，直线 l 的斜率 k 12，它在 y 轴上的截距是 3. 在直线 l 的方程 x 2 y 6 0 中，令 y 0 ，得 x 6 ，即直线