关于三视图学习的几点补充

发表于数学通讯2014 年第 7 期 关于三视图学习的几点补充 李素波 山西省阳泉市平定一中 045200 立体几何中的三视图是高中数学课改后的新增内容，也是高考的重点。然 而必修 2 教材在介绍这部分内容时，却轻描淡写，没有交代清楚三视图知识结 构的来龙去脉，致使很多学生对三视图掌握不够。本文笔者提出几点补充，供 大家学习参考。 首先要搞清楚，什么是三 视图？三视图，顾名思义就是 “三个视图” ，那么我们需先从 “一个视图”谈起。 如图 1，物体在光的照射下， 在地面或墙壁上投下影子，这种 影子与物体的形状有一定的联系， 我们把这种联系进行抽象和优化， 得到了用于表达物体形状的投影 法。当然，我们这里研究的投影 是指平行投影中的正投影。由于 投影图与观察者用平行的视线看 物体所得到的结果相近，所以一 般称投影图为视图。也就是说一个投影就是一个视图。 横看成岭侧成峰，远近高低各不同。为了能反映物体的全貌，一个视图是 远远不够的，所以我们需要多个视图，多个投影面。于是就有了三视图。 所谓知其然，还要知其所以然。为了帮助大家学习，对三视图相关知识补 充如下。 一知识补充 补充 1 三投影面体系 三投影面体系由三个相互垂直的投影面和三条 投影轴构成。如图 2 所示，三个投影面分别是 正立投影面(简称正面或 V 面)、水平投影面 (简称水平面或 H 面)和侧立投影面(简称侧面 或 W 面),而三条投影轴分别是：V 与 H 的交线 称为 OX 轴，简称 X 轴，W 与 H 的交线称为 OY 轴，简称 Y 轴， W 与 V 的交线称为 OZ 轴，简 称 Z 轴，X、Y、Z 三轴的交点 O 称为原点。 这里，三个投影面的作用是用来放置三个 视图，下面我们来看三个视图究竟是怎么形成的。 补充 2 三视图的形成过程和名称 将一个物体放置在三投影面体系中，用正投影法分别向三个投影面投影，就得 到了物体的三面投影，即三视图。具体如下： 从物体的前面向后面正投影，在 V 面所得的投影称为正视图，也称主视图；从 物体的上面向下面正投影，在 H 面所得的投影称为俯视图； （ 图 2） W面 H面 V面 Ox z y 图1图 图图图 从物体的左面向右面正投影，在 W 面所得的投影称为侧视图，也称左视图。 事实上，三视图是按正投影法绘制的。因此正投影法是绘制和识读三视图 的理论基础，是学习绘图和识图的前提，这一点，务必要贯穿三视图学习的始 终。 为了画图方便，需将互相垂直的三个投影面展开在同一平面上。下面介绍 三视图如何展开，这对于三视图还原直观图至关重要。 补充 3 三视图的展开及其位置 规定：V 面保持不动，沿 Y 轴剪开，然后 H 面绕 X 轴向下旋转 90, W 面绕 Z 轴 向右旋转 90。 （ 图 3） V面 H面 W面正 视 图 侧 视 图 俯 视 图俯 视 图 侧 视 图 正 视 图 W面 H面 V面 Ox z y 此时如图 3（右）所示，V 面，H 面和 W 面处于同一个平面上。这也就是教 材上将“主视图放在图纸的左上角，左视图在主视图的正右方，俯视图在主视 图的正下方”的原因。 高考中的三视图题目，一般不只是三视图还原实物图，而更多的是，根据三视 图的尺寸，计算原几何体的体积，表面积等。 那么三视图的尺寸，如何反映几何体的实际尺寸呢？下面我们来看三个视图各 自都反映了物体的哪些方位。 补充 4 视图与物体的方位关系 所谓方位关系，指的是绘图者（或看图者）面对正面（即主视图的投射方 向）来观察物体为准，看物体的上、下、前、后、左、右六个方位在三视图中 的对应关系。 如图 4 所示，由三视图的形成及展开过程可知，主视图反映物体的上、下 和左、右， ；俯视图反映物体的左、右和前、后；左视图反映物体的上、下和前、 后。特别注意，俯、左视图靠近主视图的一侧（里侧） ，均表示物体的后面，远 离主视图的一侧（外侧）均表示物体的前面。 这一点是本文的核心，也是我们分析三视图问题的主要方法。 （ 图 4） 上 下左 右 前后 上 下 左 右 前后 右左 后 前下 上右左 后 前下 上 V面 H面 W面正 视 图 侧 视 图 俯 视 图俯 视 图 侧 视 图 正 视 图 W面 H面 V面 Ox z y 事实上，许多学生只对于长方体这种方正的图形，才有长、宽、高的概念。 其实任何物体均有长、宽、高三个方向尺寸，分析的前提必须先规定物体的长、 宽、高尺寸方向。强调正对主视图（V 面）的水平方向为物体的长度方向，那 么此时其宽度和高度方向就自然地确定下来了。 由此可见，每一视图只能反映物体两个方向的尺寸，且每两个视图反映的相同 方向尺寸，具有尺寸等量的内在联系。 将其归纳一下，就是我们所熟知的“主视俯视长对正，主视左视高平齐，左视 俯视宽相等” 。 若有了以上的几点补充，相信会对大家三视图的学习产生很大的帮助，下 面我们利用上文所说分析几个具体问题。 二案例分析 例 1. 如图 5 为某空间几何体的三视图，求该几何体的表面积。 从三个视图均为三角形来看，该几何 体是一个三棱锥。确定了三棱锥的底面形 状和顶点的位置，整个空间结构也就确定 了。首先从底面入手，对于水平放置的几 何体，俯视图往往决定了底面的形状。由 俯视图可知，该三棱锥的底面是一个直角 边为 4 的等腰直角三角形。在纸上画出底 面三角形的直观图，为了是画出的立体图 形具有空间感，可以按斜二测作图规则来 画，如图 6 所示，而且使 AB 边正对着主 视方向。 图5图 3 侧侧侧 侧侧侧 侧侧侧 3 4 44 4 接下来，确定顶点 P 的位置，结合上文内容，通过正视图和侧视图应该可 以确定出顶点的准确位置。由正视图可知，顶点 P 在在几何体的最左侧，换句 话说，顶点 P 在底面上的投影落在 AC 上的某点处，然而到前后的距离，在正视 图中无法体现。结合侧视图可知，顶点又在最前面。所以综上可知，顶点 P 在 几何体的最左最前，也就是说顶点在点 A 的正上方。距离底面的距离，可以从 正视图或侧视图得知，高度为 3.所以，顶点 P 在点 A 的正上方，且竖直距离是 3 的位置。 如图 7，该三棱锥的空间结构，已经确定下来了：在三棱锥 P-ABC 中，底 面ABC 是直角边是 4 的等腰直角三角形， A=90。侧棱 PA底面 ABC，且 PA=4。 本题要解决表面积，只需要逐一计算各个面的面积即可，笔者在这里不再赘 述，表面积是 。2034 例 2.如图 8 为某空间几何体的三视图，求该几何体的表面积。 与例 1 对比可以发现例 2 与例 1 的正 视图和俯视图是一样的，区别仅在于 侧视图。所以底面 ABC 形状同上，此 时确定出顶点 P 的位置是关键。结合 正视图和侧视图可知，顶点 P 位于几 何体的最左最后，如图 9 所示，也就 是说，顶点 P 在点 C 的正上方，竖直 距离仍然是 3 个单位。 图8图 3 侧侧侧 侧侧侧 侧侧侧 3 4 44 4 主主主主 图图7图 图图 C A B P 如图 9 所示，与例 1 相比，该三棱锥的空间结构大有不同，三个侧面的形状与 例 1 中的三棱锥是不一样的，自然表面积也就变了。经计算得，表面积是 。246 在例 1 和例 2 中，若搞不清楚视图与几何体的方位关系，这两道题是极容易混 淆的。 例 3.设某几何体的三视图如图 10,还 原该几何体。 同上，仍然从底面入手，观察 俯视图从而确定底面的形状，画图 时要使 AB 边正对着主视方向。如图 11 所示。关键还是确定顶点 P 的位 置。由侧视图可知，顶点 P 在几何 体的最后面，也就是说顶点 P 在底 面的投影落在 AC 上，再由正视图俯 视图长对正，可知，顶点 P 投在 AC 的靠近点 C 的四等分点处，且高度 为 2。 图10图 侧侧侧 侧侧侧 侧侧侧 13 22 2 3 主主主主 图图9图 图图 C A B P 主主主主 图图1图 图图 A B C P 于是如图 11 所示，该几何体的空间结构是：在三棱锥 P-ABC 中，侧面 PAC底面 ABC，且点 P 到底面的距离为 2.顶点 P 在底面的投影 O，位于 AC 上， 且满足 AO=3，OC=1.底面ABC 的边 AC=4，