2009届上海市五区第二学期高三数学质量测试（文理各5套
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2009届上海市五区第二学期高三数学质量测试（文理各5套,上海市,第二,学期,高三,数学,质量,测试,文理
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用心 爱心 专心 上海市普陀区 2008 学年度第二学期高三年级质量调研 数学试卷 （理科） 明：本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。本套试卷另附答题纸，每道题的解答 必须 写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分依据 。 一、填空题（本大题满分 55 分）本大题共有 11 小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中 分，填错或不填在正确的位置一律得零分 . 1若 复数 2z i i（ i 是虚数单位），则 |z . 2. 已知 函数 )10(lo ， )(1 是 )(反函数，若 )(1 的图像过点 (3,4) ，则 a . 3. 用金属薄板制作一个直径为 ，长为 3 米的圆柱形通风管 需要原材料 平方米（保留 3 位小数） . 4. 设1e、2122a e e、12b e e ，则向量12以表示为另一组基向量 a 、 b 的线性组合，即12a b . 5. 右图是某 算法的程序框图， 该 算法可表示分段函数，则其输出结果所表示的分段函数为 . 6. 关于 x、 y 的二元线性方程组2352的增广矩 阵经过变换，最后得到的矩阵为 110 301，则 7. 在 极坐标系中， 设 曲线 4 和 相交于点 A 、 B ，则 . 8. 设 联结双曲线 221与 221（ 0a ， 0b ）的 4 个顶点的四边形面积为1S，联结其 4 个焦点的四边形面积为2S，则12最大值为 . 9. 将函数 3 1 c o 图像向左平移 a （ 0a ）个单位，所得图像对应的函数为偶开 始0x 1y 0x 1y 0y 结 束是是否否第 5 题图 用心 爱心 专心 函数，则 a 的最小值为 . 10. 园丁要 用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图所示 圆形花坛的四块区域 . 要求同一区域 内须 用同一种颜色 的 鲜花，相邻区域 须 用不同颜色 的 鲜花 . 设 花圃中 布置 红色鲜花的 区域 数 量 为 ， 则随机变量 的 数学期望 E . 11. 已知数列 a 、公差为 1 的等差数列，数列 nn a ,都有 8成立 ,则实数 a 的取值范围是 . 二、选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中 . 每题选对得 4 分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格 内，一律得零分 . 12. 以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程 1 0 12 1 011的一个法向量的是 （ ） A 1, 2n ； B. 2,1n ； C. 1, 2n ; D. 2,1n . 13. 设 数列 1 a 且前 n 1,11, 2 满足， 则 ） A. 12； B. 1 ; C. 23; D. 32. 14. 在 ，“ ”是“ 钝角三角形”的 （ ） A必要非充分条件； B充分非必要条件； C充要条件； D既非充分又非必要条件 . 15. 现有两个命题： （ 1） 若 lg lg )x y x y ，且不等式 2y x t 恒成立，则 t 的取值范围是集合 P ； （ 2） 若函数 ()1x ， 1,x 的图像与函数 ( ) 2g x x t 的图像没有交点，则 t 的取值范围是集合 Q ； 则以下集合关系正确的是 （ ） A B. C. ； D. . 第 10 题图 用心 爱心 专心 三、解答题（本大题满分 79 分）本大题共有 6 题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤 . 16. （本题满分 12 分）过抛物线 2 4的焦点 F 且方向向量为 1,2d 的直线 l 交该抛物线于 A 、 B 两点，求 B 的值 . 17. （本题满分 14 分） 已知复数1 x i，2 1 x i （ i 是虚数单位），且125 2 , 2x 时，试用列举法表示满足条件的 x 的取值集合 P . 18. （本题满分 15 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题 9 分） 若 *， 1 2 2 （na、 . (1) 求55值； （ 2）求证：数列 19. （本题满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） 某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施 矩形，其中 2米， 米 个半圆，固定点 E 为 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风）， 可以沿设施边框上下滑动且始终保持和 行的伸缩横杆（ C、 不重合） . （ 1）当 间的距离为 1 米时，求此时三角通风窗 通风面积； （ 2）设 间的距离为 x 米，试将三角通风窗 通风面积 S （平方米）表示成关于 x 的函数 S f x ； （ 3）当 间的距离为多少米时，三角通风窗 通风面积最大？并求出这个最大面积 . A A 图 （ 2 ） 第 19 题图 用心 爱心 专心 20. （本题满分 22 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 12 分） 如图，四棱锥 P 中， 平面 四边形 直角梯形，其中B ， /C . 22P A A D B C ， 22. （ 1） 求异面直线 成角的大小； （ 2） 若平面 有一经过点 C 的曲线 E ，该曲线上的任一动点 Q 都满足 C 与 成角 . 试判断曲线 E 的形状并说明理由； （ 3）在平面 ，设点 Q 是（ 2）题中的曲线 E 在直角梯形 部（包括边界）的一段曲线 的动点，其中 G 为曲线 E 和 交点 . 以 B 为圆心， 半径的 圆分别与梯形的边 于 M 、 N 两点 . 当 Q 点在曲线段 运动时，试提出一个研究有关四面体 P 的问题（如体积、线面、面面关系等）并尝试解决 . 【说明：本小题将根据你提出的问题的质量和解决难度分层评分；本小题的计算结果可以使用近似值，保留 3 位小数】 上海市普陀区 2008 学年度第二学期高三年级质量调研 数学试卷参考答案及评分标准（文理科） 、填空题（每题 5 分，理科总分 55 分、文科总分 60 分）： 1. 2 ； 2. 理： 2；文： ,1 2, ； 3. 理： ： 2； 4. 理： 21,33；文： 5. 理： 1, 00, 01, 0 ；文： 4； 6. 理：351 ；文：21,33 ； A 0 题图 用心 爱心 专心 7. 理： 23；文： 1, 00, 01, 0 ； 8. 理： 12；文： 6； 9. 理： 56p；文： 112； 10. 理： 1； 文： 12； 11. 理： 8, 7 ；文： 56p； 12. 文： 8, 7 ； 二、选择题（每题 4 分，总分 16 分）： 题号 理 12；文 13 理 13；文 14 理： 14；文： 15 理 15；文： 16 答案 A C B C 三、解答题： 16.（理，满分 12 分） 解：因为 抛物线的焦点 F 的坐标为 (1,0) ，设 11,A x y、 22,B x y， 由条件，则直线 l 的方程为 1 11 2 2x y ， 代入抛物线方程 2 4， 可得 2224 2 4 02yy y y ，则12 4. 于是， 2121 2 1 2 1 2 1 4 316 O B x x y y y y . 2 4 8 12 17.（文，满分 12 分） 解 ： 因为 0a b a b ，所以由条件可得1 2nn ， *. 即数列 2q的等比数列 . 又31 2 1aa q， 所以，1 12l i m 11312 . 4 6 8 12 （理） 17.（文） 18. （满分 14 分） 解：因为 12 c o s 1 1 s i nz z x x i 22c o s 1 1 s i n 5 所以， 2 s i n 14x 2s 3 7 用心 爱心 专心 即 3244 或 244 ， 2 或 22， 又由 2 , 2x ，即 当 0k 时， x 或2x ；当 1k 时， x 或 32x . 所以，集合 3, , ,22P . 11 14 18.(理，满分 15 分 ，第 1 小题 6 分，第 2 小题 9 分） 解：（ 1）当 5n 时， 5 2 50 1 2 55 5 5 51 2 2 2 2C C C C 2 4 3 50 2 4 1 3 55 5 5 5 5 52 2 2 2 2C C C C C C 41 29 2 故5 29a ，5 41b ，所以5570. （ 2）证：由数学归纳法 （ i）当 1n 时，易知1 1b，为奇数； （ 设当 时， 1 2 2 ，其中 则当 1时， 11 2 1 2 1 2 2 1 2kk 22k k k ka b b a 所以1 2k k kb b a ，又ka、所以 2 而由归纳假设知1是奇数 . 综上（ i）、（ 知， 证法二： 因为 20 1 21 2 2 2 2nn nn n n C C 当 n 为奇数时， 2 4 10 2 4 12 2 2 n n n C C C 则当 1n 时，1 1b是奇数；当 3n 时， 3 6 8 10 14 15 用心 爱心 专心 因为其中 2 4 12 4 12 2 2 n C 中必能被 2 整除，所以为偶数， 于是， 2 4 10 2 4 12 2 2 n n n C C C 必为奇数； 当 n 为偶数时， 240 2 42 2 2 n n n C C C 其中 24242 2 2 n C 均能被 2 整除，于是 综上可知， 10 14 15 19. （文，满分 14 分） 解：如图，设 点为 D ，联结 由题意， 2C, 60 ,所以 为等边三角形， 故 2，且 3. 又 1 332 C A D A D ， 所以 22 6A O A D O D . 而圆锥体的底面圆面积为 2 4S O C , 所以圆锥体体积 1 4 633 A O . 3 8 10 14 （理） 19. （文） 20. （满分 16 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 6 分） 解：（ 1）由题意，当 间的距离为 1 米时， 位于 方， 且此时 中 上的高为 . 又因为 1 12E M E N D C 米，可得 3米 . 所以， 1324E M N h 平方米， 即三角通风窗 通风面积为 34平方米 . （ 2） 1 如图（ 1）所示，当 矩形区域滑动，即 10,2x 时， 的面积 1 1 1( ) | |2 2 2S f x M N x x ； 2 4 6 A O C B 第 19题图 D A 图 （ 1 ）用心 爱心 专心 2 如图（ 2）所示，当 半圆形区域滑动，即 13,22x 时， 21| | 2 1 ( )2M N x ，故可得 的面积 11( ) | |22S f x M N x 21 1 12 1 ( ) ( )2 2 2 211122 ； 综合可得： 211, 0 , ,22()1 1 1 31 ( ) , , 2 2f xx x x （ 3） 1 当 矩形区域滑动时， ()0,2上单调递减， 则有 1( ) (0 )2f x f； 2 当 半圆形区域滑动时， 222 2 211( ) 1 ( ) 1 1 1 1 122( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 2 2 2 2 2 2x x x x x ， 等号成立 2211( ) 1 ( ) ， 13,22x 1 1 3( 2 1 ) ,2 2 2x . 因而当 1 ( 2 1)2x （米）时，每个三角通 风窗 到最大通风面积，最大面积为2S （平方米） . 9 10 12 15 16 21（文，满分 18 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分） 解：（ 1）设右焦点坐标为 ( ,0) 0c ） . 因为双曲线 C 为等轴双曲线，所以其渐近线必为 ， 由对称性可知，右焦点 F 到两条渐近线距离相等，且4. A 图 （ 2 ）用心 爱心 专心 于是可知， 为等腰直角三角形，则由 22O F c ， 又由等轴双曲线中， 2222 2a. 即，等轴双曲线 C 的方程为 222. （ 2）设 11,A x y、 22,B x 直线 l 的两个交点 . 因为 (2,0)F ，直线 l 的方向向量为 1,2d ，直线 l 的方程为 2 2 ( 2 )12xy . 代入双曲线 C 的方程 222，可得 2224 2 2 3 1 6 1 8 0x x x x ， 于是有 121216, 而 1 2 1 2 1 2 1 24 2 2O A O B x x y y x x x x 1 2 1 2 105 8 1 6 3x x x x . （ 3） 假设存在定点 ,0使 N 为常数，其中 ),( 11 ),( 22 直线l 与双曲线 C 的两个交点的坐标 . 当直线 l 与 x 轴不垂直时，设直线 l 的方程为 )2( 代入 222，可 得 0)24(4)1( 2222 由题意可知， 1k ，则有142221 ， 1242221 于是， 21 2 1 222P M P N x m x m k x x 22212212 4)(2()1( )21(21)1(412)21(241)2(41)24)(1(2222222222222要使 N 是与 k 无关的常数，当且仅当 1m ，此时 1N . 3 5 7 9 11 13 16 用心 爱心 专心 当直线 l 与 x 轴垂直时，可得点 )2,2(M , )2,2( N ， 若 1m ， 1N 亦 为常数 . 综上可知，在 x 轴上存在定点 (1,0)P ，使 1N 为常数 . 17 18 用心 爱心 专心 20（理，满分 22 分，第 1 小题 4 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 12 分） 解：（ 1）解法一：由题意，四边形 直角梯形，且 则 成的角即为 . 因为 D A A B B C A B ， 又 平面 所以 平面 则有 90. 因为 22 23P B P A A B ， 2, 所以 23t a n 32 B ，则3， 即 异面直线 成角的大小 为3. 解法二：如图， 以 A 为原点，直线 x 轴、直线 y 轴、直线 z 轴 ， 建立空间直角坐标系 . 于是有 0,0,2P 、 2 2, 2,0C ，则有 2 2 , 2 , 2，又 0,1,0 则 异面直线 成角 满足 21c o A A D , 所以，异面直线 成角的大小 为3. （ 2）解法一：由条件，过 Q 作 B ，垂足为 F ，联结 于是有 /F ，故 成角即为 60 . 在平面 ，以 A 为原点，直线 x 轴，直线 y 轴，建立平面直角坐标系 . 设动点 ( , )Qx y ， 则有 2 2 24P F P A A F x 又 平面 所以 F . 所以， 24t a n 6 0 3PF y 22 43，即 2234. 所以，可判定曲线 E 是双曲线 . （ 2）解法二：如图，以 A 为原点，直线 x 轴、直线 y 轴、直线 z 轴， 2 4 2 4 6 8 10 爱心 专心 建立空间直角坐标系 , ,0)Q x y ，点 (0,0,2)P 、点 (0,1,0)D 、点 (0,0,0)A ， 则 ( , , 2 )P Q x y， (0,1, 0)， 由 c o A D P Q A D ， 221 42y x y ， 化简整理得到 2234，则曲线 E 是平面 的双曲线 . （ 3）解：在如图所示的 坐标系中，因为 0,1D 、 2 2,2C 、 2 2,0B , 设 11,G x y 2 2 ,1 ，故 方程为 1122 ， 代入双曲线 E： 2234的方程可得， 2 2 23 8 ( 1 ) 4 5 1 6 1 2 0y y y y ，其中12125 因为直线 双曲线 E 交于点 C ，故1 65y . 进而可得1225x ，即 2 2 6,55G. 故双曲线 E 在直角梯形 部（包括边界）的区域满足 22, 2 25x ，6 ,25y . 又设 ,Q x y 为双曲线段 的动点， 22, 2 25x . 所以， 2 224 2 82 2 4 233B Q x y x x 24 3 2 1 03 2 3x 因为 3 2 2 2 , 2 225 ，所以当 322x时，m ； 当 225x时，m 15 . 而要使圆 B 与 有交点，则 2. 6 8 10 12 16 用心 爱心 专心 故满足题意的圆的半径的取值范围是 30 ,23 . 【说明 】 1. 若提出的问题在解决过程中不需用到以上结论的，则完整提出问题并解决最高得 6 分 . 2. 若提出的问题在解决过程中需用到以上结论的，则上述分析过程满分 6 分；继续深入的研究过程和结论则可参考以下典型问题和解答，最高再得 6 分 . 问题一：求四面体 P 体积的取值范围 . 因为 ，所以 P 体积为 13P B M N B M A S . 故问题可以转化为研究 的面积 . 又因为 为直角，所以 必为等腰直角三角形 . 由前述，设 30 ,23B Q r，则 N r， 故其面积为 212，所以 5 ,23B M . 于是， 1 2 1 0 4,3 3 9 3P B M N B M
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