2009届上海市五区第二学期高三数学质量测试（文理各5套
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2009届上海市五区第二学期高三数学质量测试（文理各5套,上海市,第二,学期,高三,数学,质量,测试,文理
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用心 爱心 专心 上海市青浦区 2008年第二学期高三模拟试卷 数学理科 满分 150 分，考试时间 120 分钟） 考生注意： 本试卷包括试题纸和答题纸两部分在本试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题可使用符合规定的计算器答题 一、填空题（本大题满分 60 分）本大题共有 12 题，每题 5 分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果 1直线 013 倾斜角为 2已知全集 ，集合 0542 1 则 )( = 3 若复数 z 满足i 3(其中 i 是虚数单位 )， 则 z = 4二项式 6)21( x 展开式中 3x 系数的值是 5市场上有一种“双色球”福利彩票，每注售价为 2 元，中奖 概率为 一注彩票的平均奖金额为 如果小王购 买了 10 注彩票，那么他的期望收益是 元 6把 5 化为积的形式，其结果为 7已知 )( 是椭圆 191622 的一个动点，则 的最大值是 8已知21 0 ，x ），则 x 的值是 9如图是输出某个数列前 10 项的框图，则该数列第 3 项 的值是 10. 在极坐标系中 ,过圆 6 的圆心 ,且垂直于极轴的 直线的极坐标方程是 11如图，用一平面去截球所得截面的面积为 2 知 球心到该截面的距离为 1 该球的体积是 输出 A 1 否 结束 是 1开始 1 题 32 2 1 题 用心 爱心 专心 12在 ， 5 7 D 是 的中点，则 的值 是 . 二、 选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题 4 分每题只有一个正确答案，选择正确答案的字母代号并按照要求填涂在答题纸的相应位置 13线性方程组78615304增广矩阵是（ ） A786115130411 B786115130411 C 861513411 D854611131 14在直角坐标系 ，已知 顶点 )01( ，A 和 )01(，C ，顶点 B 在椭圆 13422 上，则B 的值是 （ ） A23B 3 C 2 D 4 15. 以 、 依次表示方程 232212 、 的根，则 、 的大小顺 序为 （ ） A B C D 16已知数列 对于任意的正整数 n ， )2010(.)31(2)20091(12 0 0 9 ，设示数列 的前 n 项和下列关于确的是（ ） A 1 B 2008 C )2 0 1 0( 0 0 91(2 0 0 9n nS *） D 以上结论都不对 用心 爱心 专心 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题 必须在答题纸上 与题号对应的区域写出必要的步骤 . 17 (本题满分 12 分 ) 动物园要建造一面靠墙的 2 间面积相同的长方形熊猫居室（如图所 示）如果可供建造围墙的材料长是 30 米，那么宽 x 为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？ 18. (本题满分 14 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 8 分，第 2 小 题满分 6 分 . 在长方体 中， 2 1 1求： （ 1）顶点 D 到平面 的距离； （ 2）二面角 的大小 （结果用反三角函数值表示） 19 (本题满分 15 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 4 分， 第 3 小题满分 8 分 . 设数列 前 n 和为知311S，3132 S，3163 S，3644 S， 一般地，)()412)(),12(3412 )1(212为偶数时当为奇数时当*） （ 1）求 4a ； （ 2）求 （ 3）求和： nn 12654321 303x D B C B C D A 用心 爱心 专心 20 (本题满分 15 分 ) 本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 5 分，第 2 小题满分 10分 . 已知 a 为实数，函 数 3 ，11(3)( R ） （ 1）若 f ，试求 a 的取值范围； （ 2）若 1a ，求函数 )()( 的最小值 21 (本题满分 18 分 ) 本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 7 分 ， 第 3 小题满分 7 分 . 已知 是抛物线 2 上的相异两点 （ 1）设过点 A 且斜率为 1 的直线1l，与过点 B 且斜率 1 的直线2(4， 4)，求直线 斜率； （ 2）问题（ 1）的条件中出现了这样的几个要素：已知圆锥曲线 ，过该圆锥曲线上的 相异两点 A、 B 所作的两条直线 21 相交于圆锥曲线 上一点；结论是关于直线斜率的值请你对问 题（ 1）作适当推广，并给予解答； （ 3）线段 平行于 y 轴）的垂直平分线与 x 轴相交于点 )0(0， 50 x，试用线段 点的纵坐标表示线段 长度，并求出中点的纵坐标的取值范围 用心 爱心 专心 数学 文理科 试 卷 参 考答案 与评 分 标 准 明 1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同 ,可参照解答中评分标准的精神进行评分 . 2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅 . 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分 . 3. 第 17 题至第 21 题中右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数 . 4. 给分或扣分均以 1 分为单位 . 答案及评分标准 13； 2 1 3 10 ； 4 160 ； 5（理） 元； （文） 6（理） ； （文） 200 赫兹； 7（理） 5； （文） p=4 8（理）858 ； （文） 6 92113； 10（理） ； （文） 方 程为 01 11（理） 34 ； （文）21； 12 12 13 16： A； C ； C； 理 B 文 A 17设熊猫居室的总面积为 y 平方米，由题意得： )100()330( 6分 解法 1： 75)5(3 2 因为 )10,0(5 ，而当 5x 时， y 取得最大值 75 10 分 所以当熊猫居室的宽为 5 米时，它的面积最大，最大值为 75 平方米 12 分 解法 2 ： 22 )330(331)330(331)330( =75 ， 当 且 仅 当303 ，即 5x 时， y 取得最大值 75 10 分 所以当熊猫居室的宽为 5 米时，它的面积最大，最大值为 75 平方米 12 分 18理：如图，建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 )0,0,1(A 、 )0,0,0(D 、 )0,2,0(C 、)1,0,1(A 、 )1,2,1(B 、 )1,0,0(D 2 分 设平面 的法向量为 ),( ，则 ， 因为 )1,2,0( )1,0,1( 3 分 用心 爱心 专心 0 0 所以2得 ,2 ，取 1v ，得平面 一个法向量 )2,1,2( n ，且 3n 5 分 （ 1）在平面 取一点 A ，可得 )1,0,1(于是顶点 D 到平面 的距 离34所以顶点 D 到平面 的距离为 34 ， 8 分 （ 2）因为平面 一个法向量为 )1,0,0(1 n ，设 n 与 1n 的夹角为 ，则 32c ， 12 分 结合图形可判断得二面角 是一个锐角，它的大小为32 14 分 文 ：（ 1）圆锥底面积为 9 1 分 设圆锥高为 h 体积 931， 5 分 由 12V 4h 8 分 （ 2）母线长 5l 9 分 设底面周长为 c ，则该圆锥的侧面积 = 12 分 所以该圆锥的侧面积 = 15 14 分 19 （理）（ 1） 164 a ； 3 分 （ 2）当 时，（ *） 222221222 2)12(3412 )2()12(3412 )2( ， 6 分 所以， 2 （ *） 8 分 A D A B C B C D 用心 爱心 专心 （ 3）与（ 2）同理可求得： )12(3112 na n， 10 分 设nn 12654321 = 则 4)12(4543431 32 nn ，（用等比数列前 n 项和公式的推导方法）4)12(45434314 1432 nn ，相减得 4)12()444(24313 132 ，所以 94)14(273249 12 11 14 分 （文）（ 1） 设数列 前 n 项和为 22 )220( 3 分 （ 2）公比 121 q，所以由无穷 等比数列各项的和公式得： 数列 1 7 分 （ 3）设数列 n 项和为当 n 为奇数时， 1321 = 2 )1()41(1(3222 1 11 分 当 n 为偶数时， 1321 =2)41(1(3222 14 分 即为偶数时当，为奇数时当1(32,322)1()21(3222)1( 15 分 20（ 1） f 即 a 3 ，又 )4s 2c o ss ， 2 分 所以 232 a ，从而 a 的取值范围是 23,23 5 分 （ 2） 21s 1(3)1( s )( ，令 x1 ，则 20 x ，因为1a ，所以 )1(32)1(3 且 仅当 )1(3 ，等号成立， 8 分 用心 爱心 专心 由 2)1(3 a 解得37a，所以当371 数 )()( 的最小值是2)1(32 11 分 下面求当37数 )()( 的最小值 当372)1(3 a ，函数1(3)( 在 2,0( 上为减函数所以函数)()( 的最小值为 2 )1(522 )1(32 当37数1(3)( 在 2,0( 上为减函数的证明：任取 20 21 )1(31)()()(121212 ， 因 为 40 12 4)1(3 a ， 所 以0)1(3112 0)()( 12 由单调性的定义函数 1(3)( 在 2,0( 上为减函数 于是，当371 数 )()( 的最小值是 2)1(32 当37数 )()( 的最小值2 )1(5 a 15 分 21（ 1）由82 得 )8,16( A ；由2 得 )0,0(B 由点斜式写出两条直线 21 的方程， 0:;08: 21 所以直线 斜率为21 4分 （ 2） 推广的评分要求分三层 一层 :点 P 到一般或斜率到一般 ,或抛物线到一般（ 3 分，问题 1 分、解答 2 分 ） 例： 1已知 是抛物线 2 上的相异两点 设过点 A 且斜率为 1 的直线 1l ， 与过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 2 上的一定点 P ),4(2 求直线 斜率； 2已知 是抛物线 2 上的相异两点 设过点 A 且斜率为 k 1 的直线 1l ， 与 过点B 且斜率为 k 的直线 2l 相交于抛物线 2 上的一点 P（ 4， 4），求直线 斜率； 3已知 是抛物线 )0(22 的相异两点 设过点 A 且斜率为 1 的直线 1l ，用心 爱心 专心 与 过点 B 且斜率为 1 的直线 2l 相交于抛物线 )0(22 的一定点 P ),2(2 求直线 斜率； 斜率的值 二层 :两个一般或推广到其它曲线（ 4 分，问题与解答各占 2 分） 例： 4已知点 是抛物线 2 上的定点过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直线21 ，分别交抛物线于 A、 B 两点，试计算直线 斜率 三层 :满分 （对抛物线，椭圆，双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法） （ 7 分，问题 3 分、解答 4 分） 例如： 抛物线 2 上有一定点 P，过点 P 作斜率分别为 k 、 k 的两条直线21 ，分别交抛物线于 A、 B 两点，试计算直线 斜率 过点 P （00, 斜 率 互 为 相 反 数 的 直 线 可 设 为00 )( ，00 )( ，其中020 2。 由200 得 022 2002 所以 )2,2)2( 020 同理，把上式中 k 换成 k 得 )2,2)2( 020 ，所以 当 P 为原点时直线 斜率不存在，当 P 不为原点时直线 斜率为0。 （ 3）（理）点 )0(0， ),(),( 2211 则 )2,1(42 设线段 中点是 ),(mm 率为 k ，则1212 xx = 12 分 所以线段 垂直平分线 l 的方程为 )(2 ， 又点 )05(，Q 在直线 l 上 ， 所 以 )5(2 ，而 0是用心 爱心 专心 3 13 分 (斜率， 50 2 ，则 3 ) 线段 在直线的方程为 )3(2 14 分 代入 2 ，整理得 03612244 242 mm 15 分 621 4
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