2009届上海市五区第二学期高三数学质量测试（文理各5套
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2009届上海市五区第二学期高三数学质量测试（文理各5套,上海市,第二,学期,高三,数学,质量,测试,文理
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用心 爱心 专心 黄浦区 2009 年高考模拟考 数学试卷 (理科 ) (2009 年 4 月 ) 考生注意： 1、每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料，解答必须在答题纸上进行，写在试卷上的解答一律无效； 2、答卷前，考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题纸上填写清楚； 3、本试卷共 21 道试题，满分 150 分；考试时间 120 分钟 一、填空题 (本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分只需将结果填写在答题纸上 ) 1、关于 解是虚数单位的方程 )(2)2( 2、函数 )()0(1)()( 1 ，则函数为存在反函数，且反函数 的定义域是 3、若函数 212)( 的偶函数，则实数 a 4、计算： 1(2)1(222 2211 )( * 5、已知全集 ， 021|， ，1|1| ，则 )( = 6、把圆柱体的侧面沿母线展开后得到一个矩形，若矩形的一组邻边长分别为 48 和 ，则该圆柱体的体积是 7、已知角 的顶点在原点，始边与 x 轴正半轴重合，点 P )34( ( 0m )是角 终边上一点，则 2 s in c o s 8、已知极点、极轴分别与直角坐标系的原点和 x 轴正半轴重合，且极坐标系与直角坐标系单位相同，若曲线 C 的极坐标方程是 )(s o ，则曲线 C 的直角坐标普通方程是 9、已知下列程序框图输出的结果是 3y ，则输入框中 x 的所有可能的值是 用心 爱心 专心 10、直线 l 经过点 P 0464)11( 22 与圆：， 相切，则直 线 l 的方程是 11 、已知等比数列 )(3 和的前，则 )111(nn 12、当无理数 x= 时，代数式33 12 xx 二、选择题 (本大题共 4 小题，共 16 分每小题都给出四个选项，其中有且仅有一个结论正确，选对得 4 分，并将答题纸对应题号上的字母涂黑，否则一律得零分 ) 13、“直线 上 有 两 点 到 平 面 的 距 离 相 等 ” 是 “ 直 线 与 平 面 平 行 ” 的 ( ) A、充要条件 B、充分非必要条件 C、必要非充分条件 D、 非充分非必要条件 用心 爱心 专心 14、若线性方程组 无解，则实数32 ( ) A、 1 B、 1 C、 1 D、以上都错 15、 22( 4 0 ) ( 4 0 ) 12 5 9 C A B C C 的 顶 点 是 ， 、 ， 、 ， 又 是 椭 圆 上 异 于 长 轴 端 点 的 点 ，则 C ) A、 2 B、 54 C、 534 D、 12 16、设 s o sc o ss 0(33 ，则， 的最小值是 ( ) A、6427 B、523 C、635 D、 1 三、解答题 (本大题共 5 题，满分 74 分解答下列各题需要写出必要的步骤，并把解题过程清楚地书写在答题纸上 ) 17、本大题满分 12 分 (其中 (1)6 分， (2)6 分 ) 在三棱锥 P 中， P A P B P A P C P B P C ， ，点 D、 E 分别是棱 P 的中点。 (1)试用反证法证明直线 直线 异面直线； (2)若 B=， F 为棱 的点，且 求二面角 D B 的大小 (结果用反三角函数值表示 ) 用心 爱心 专心 18、本大题满分 12 分 (其中 (1)6 分， (2)6 分 ) 某实验室新购进 10 件精密仪器，因运输途中一次意外紧急刹车，导致其中 3件仪器有不同程度的破损 (变成废品 )，余下 7 件完好无损。现从包装箱中一件一件地抽取仪器，假设每件仪器抽到的可能性都相同 (1)若每次抽出后都不放回，当拿到完好无损仪器时停止抽取，请写出抽取次数 的概率分布律 (只列表，不要求计算过程 ) (2)求 E 19、本大题满分 14 分 (其中 (1)6 分， (2)8 分 ) 已知 0 ( s i n s i n ( ) ) ( 1 3 )2x R u x x v ， ， ， ， ，函数 ( ) 1f x u v x 小 正 周 期 为 (1)求 的值 (2)求函数 ( ) 88y f x 在 区 间 ， 上 的 取 值 范 围 20、本大题满分 16 分 (其中 (1)8 分， (2)8 分 ) 已知点 P ( 0 ) 0是 y 轴 上 的 动 点 ， 点 F(1 ， 0) 、 M( ， )满足 F ，动点 N 满足 20 M 用心 爱心 专心 (1)求动点 N 所在曲线 C 的方程 (2)已知点 D(12)， 在曲线 C 上，若曲线 C 上两点 A、 B(都不同于 D 点 )满足 B ，试证明直线 过定点，并求出这个定点的坐标 21、本大题满分 20 分 (其中 (1)4 分， (2)6 分， (3)最高 10 分 ) 若数列 2 2 *21 0 ( 0 )n n n na a p a q a p q p q n N 满 足 其 中 ， 且 、 为 常 数 对 任 意都成立，则我们把数列 L 型数列” (1)试问等差 、 等 比 数 列 ( 公 比 为 r)是否为 L 型数列？若是，写出对应 p、 q 的值；若不是，说明理由 (2)已知 L 型数列 )0042(0=+ 2*11+ ，12是 方 程2 0x px q 的两根，若 0 ( 1 2 )ib a x i ，求证：数列 *1 ( 1 2 )n i na x a i n N ， ，是等比数列 (只选其中之一加以证明即可 ) (3)请你提出一个关于 L 型数列的问题，并加以解决 (本小题将根据所提问题的普适性给予不同的分值，最高 10 分 ) 黄浦区 2009 年高考模拟考 数学试卷 (理科 )(2009 年 4 月 9 日 ) 参考答案和评分标准 说明： 1、本解答仅列出试 题的一种解法，如果考生的解法与所列解答不同，可参考解答中的评分精神进行评分。 2、评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。 用心 爱心 专心 一、填空题： 1、 7、522、 )1 ， 8、 06822 3、219、 1818 或、 4、 1 10、 034 5、 21(， 11、43 6、 22 6432 或 (只填一个给 2 分 ) 12、 22 二、选择题 ： 13、 C 14、 A 15、 B 16、 D 三、解答题 17、 本大题满分 12 分 (其中 (1)6 分， (2)6 分 ) 证明 (1)(反证法 )假设 是异面直线 . 2 分 设 在平面 上 . ， ， A . 又 ， ， B . 点 A、 B、 C、 P 都在平面 上，这与 P、 A、 B、 C 不共面 (三棱锥 )矛盾，于是，假设不成立 . 5分 所以直线 异面直线 . 6 分 用心 爱心 专心 解 (2) 按如图所示建立空间直角坐标系 7 分 由题可知， A(4， 0， 0)、 B(0， 4， 0)、 C(0， 0， 4)，进一步有 D(0， 2， 2)、 E(2， 0， 0)、 F(3， 1， 0)，且平面 一个法向量为 )400(1 ， 设平面 一个法向量为 )(2 ， ，则 0022即00 取 211 ，得 所以 )211(2 ， n 9 分 记 的夹角为与 21 于是， 36648|c o s 2121 ， 36 10 分 结合图形可以判断二面角 D B 是锐角，因此 二面角 D B 的大小为36 12 分 18、 本大题满分 12 分 解 (1) 由题可知，随机变量 的概率分布律为 : x 1 2 3 4 )( 107 307 1207 1201 6 分 (2) 由 (1)可知，120 14120 7330721071 E811 12 分 用心 爱心 专心 19、本题满分 14 分 (其中 (1)6 分， (2)8 分 ) 解 (1)依据题意，有 s i = s 1()2s ( s ，= s o 2 分 = 2s 2 2co 3 分 = )623 x 4 分 又20 T，函数的最小正周期， 222 ，T 6 分 (2) 由 (1)可知， )64s 3)( 当3264324288 时，可得. 8 分 考 察 正 弦 函 数 的 图 像 ， 进 一 步 有 1)64s 23 x，2 33)64s 2321 x 13分 所以函数 2 332188)( ，上的取值范围是，在 14分 20、本大题满分 16 分 (其中 (1)8 分， (2)8 分 ) 解 (1)设动点 )( 1分 依据题意，有 )1()()( ， ， )( ， 3分 用心 爱心 专心 又 02 ，则 进一步有因此，)0(42 7 分 所以曲线 C 的方程是 )0(42 8 分 证明 (2) 因 A、 B 是 曲线 C： )0(42 不同于 D 点的两点， 可设 )4( 121 、 )2)(4( 2121222 都不等于与， 则 )214( 121 、 )214( 222 ， )44( 122122 ， 10分 又 ，故 0)2)(2()14)(14(0 212221 即 ，进一步化简得 20)(2 2121 12分 由直线 法向量为 )44(212221 ， ，可得直线 方程： 0)(44()4()( 121222121 即 044 2121 把20)(2 2121 入此方程，得 054 )(24 2121 14分 进一步把直线 方程化为 0)2(4)5( 21 其恒过定点 (5， 2) 15分 用心 爱心 专心 所以直线 05121 定点坐标为 (5， 2) 16 分 证毕！ 21、本题满分 20 分 (其中 (1)4 分， (2)6 分， (3)最高 10 分 ) (1) 答 等差数列 )( 等比数列都是 L 型数列 理由 当 数列 112)( 是等差数列时，有， 即 0212 相应的 12 2 分 所以等差数列 )( 型数列 同样，当 数列 )()(12 为公比是等比数列时，有 ， 即 0012 相应的 0 4 分 所以等比数列 )( 型数列 证 (2) )02(011 ，212 0x x x p x q 、 是 的 两 实 数 根， 2 40， 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 10 ( ) 0n n nx x x x x x p x x q a x x a x x a ， ， ， ， 6分 1 1 2 1 2 1n n n na x a x a x x a 2 1 1()a x a 8分 120 ( 1 , 2 )ib a x i a a a b 又 ， ， 数列 1 1 1( ) ( )x a n N b x a 是 以 为 首 项 ，2 为 的 等 比 数 列 10分 (同理可证，数列 12 ()x a n N 是等 比 数 列) 用心 爱心 专心 (3)下面仅提供本小题提问涉及的可能情况和评分指导意见，若考生提出的问题与下列情况不同，则可根据问题的普适性分别归在下面某个层面加以评分 第一层面的问题 (给予 0 分 ) (1)提出等差数列、等比数列是 L 型数列的问题 (本大题的第一问已经解决 ) (2)判断 一个数列不是 L 型数列的问题 (不符合题意要求 ) 第二层面的问题 (给予 4 分，可得提出问题 2 分，解答问题 2 分 ) (1)提出并解决：已知数列 )( )2(1 N，数列 (2)提出并解决： 已知数列 )( 数列 )2(11 N， 是 L 型数列 第三层面的问题 (给予 6 分，可得提出问题 3 分，解答问题 3 分 ) (1)提出并解决：求本大题第二问中数列的通项公式 (或前 n 项和公式 )问题 . (2) 提出并解决： 已知数列 )( 是等差数列，则 )(2121 是常数、，数列 是L 型数列 (3)提出并解决：求某个特殊 L 型数列的通项公式 (或前 n 项和公式 )问题 . (4)提出并解决：已知数列 )( 型数列，则 )2(1 N，数列 第四层面的问题 (给予 8 分，可得提出问题 4 分，解答问题 4 分 ) (1) 提出并解决：求某类 L 型数列的通项公式 (或前 n 项和公式 )问题 (这里主要指按2 0x p x q 方 程 的 根 的 情 况 分 类 求 解 ， 并 解 决 其 中 一 类 问 题). (2) 提出并解决：求 列的通项公式问题 (把该问题列入这一层面，主要是鼓励学生利用及时学习的新知识解决熟悉的著名数列的有关问题 ) 第五层面的问题 (给予 10 分，可得提出问题 2 分，解答问题 8 分 ) 用心 爱心 专心 (1)提出并解决：求一般 L 型数列的通项公式的问题 . (2)提出并解决：求一般 L 型数列的前 n 项和公式的问题 【 第五层面问题中的 (1)的样例】 问题 已知 L 型数列 )0(0 221121 常数
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