数学直觉思维的培养

数学直觉思维的培养 定西师范高等专科学校 03 级数学(1)班 xxx 743000 【摘要】 在数学发展史上,许多数学家都十分重视直觉思维的作用. “逻辑用于证明，直觉用于发 明。 ” 伟大的数学家彭加勒的这一名言对于数学创造活动中直觉思维的作用论述是十分精辟的. 一 个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出：“数学直觉 是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。 ” 本文主要阐述了本人对数学直觉 思维的认识，以及培养数学直觉思维的重要性和必要性，进一步阐述了如何培养的问题。 【关键词】 直觉思维 逻辑思维 创新 猜想 数型结合 我们在注重逻辑思维能力培养的同时，还应该注重观察力、直觉力、想象力的培养。特别是 直觉思维能力的培养，由于长期直觉思维得不到重视，学生在学习的过程中认为数学是枯燥乏味 的，对数学的学习缺乏取得成功的必要的信心，从而丧失数学学习的兴趣。过多地注重逻辑思维 能力的培养，不利于思维能力的整体发展。培养直觉思维能力是社会发展的需要，是适应新时期 社会对人才的需求。思斯图加特说：“直觉是真正的数学家赖以生存的东西”。许多重大的发 现都是基于直觉。欧几里得几何学的五个公设都是基于直觉，基于直觉，欧几里得几何学的五个 公设梦幻般建立起了欧几里得几何学这栋辉煌的大厦；哈密顿在散步的路上迸发了构造四元素的 火花；阿基米德在浴室里找到了辨别王冠真假的方法。现代社会需要创造性的人才，我国的教材 由于长期以来借鉴国外的经验，过多的注重培养逻辑思维，培养的人才大多数习惯于按部就班、 墨守成规，缺乏创造能力和开拓精神。因此培养学生的直觉思维是必要的。 一、对数学直觉思维的认识 1. 扎实的基础是产生直觉的源泉,直觉不是靠“机遇“，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不 是无缘无故的凭空臆想，而是以扎实的知识为基础。若没有深厚的功底，是不会进发出思维的火 花的。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂一样东西，而且你通过大量例子以及通过与其它东两的联 系取得了处理那个问题的足够多的经验对此你就会产生一种关于正在发展的过程是怎么回事以 及什么结论应该是正确的直觉。“伟大的数学家、物理学家和天文学家彭加勒说：“逻辑用于证明， 直觉用于发明。”前苏联科学家凯德洛夫更明确地说：“没有任何一个创造性行为能离开直觉活 动。”直觉思维就是指人们不受逻辑规则约束直接领悟事物本质的一种思维方式。直觉思维是对 思维对象从整体上考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象作出的敏锐而迅速的假设， 猜想或判断，它省去了一步一步分析推理的中间环节，而采取了“跳跃式”的形式。 2数学直觉思维的表现形式是以人们已有的知识、经验和技能为基础，通过观察、联想、类 比、归纳、猜测之后对所研究的事物作出一种比较迅速的直接的综合判断，它不受固定的逻辑约 束，以潜逻辑的形式进行。关于数学直觉思维的研究，目前比较统一的看法是认为存在着两种不 同的表现形式，即数学直觉和数学灵感。这两者的共同点是它们都能以高度省略、简化和浓缩的 方式洞察数学关系，能在一瞬间迅速解决有关数学问题。 3数学直觉思维具有个体经验性、突发性、偶然性、果断性、创造性、迅速性、自由性、直 观性、自发性、不可靠性等特点。迪瓦多内说：“任何水平的数学教学的最终目的，无疑是使学 生对他要处理的数学对象有一个可靠直觉。”在教育过程中，教师如果把证明过程过分的严 格化、程序化，用僵硬的逻辑外壳掩盖住直觉的光环，学生们只能把成功归功于逻辑的功劳，而 丧失了“可靠的直觉”，那将是我们教育的失败。中国青年报曾报道，“约 30的初中生学 习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”，这种现象应该引起数学教育者的重视与反 思。 直观性：数学直觉思维活动在时间上表现为快速性，即它有时是在一刹那间完成的；在过程 上表现为跳跃性；在形式上表现为简约性，简约美体现了数学的本质。直觉思维是一瞬间的思维 火花，是长期积累上的一种升华，是思维者的灵感和顿悟，是思维过程的高度简化。 创造性：直觉思维是基于研究对象整体上的把握，不专意于细节的推敲，是思维的大手笔。正 是由于思维的无意识性，它的想象才是丰富的，发散的，使人的认知结构向外扩展，因而具有反 常规律的独创性。许多重大的发现都基于数学直觉。 自信力: 数学直觉思维能力的提高有利于增强学生的自信力。成功可以培养一个人的自信， 直觉发现伴随着很强的“自信心”。从马斯洛的需要层次来看，它使学生的自我价值得以充分实 现，也就是最高层次的需要得以实现，比起其它的物资奖励和情感激励，这种自信更稳定、更持 久。布鲁纳认为学习的最好刺激是对教学材料的兴趣。当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是 通过自己的直觉获得，那么成功带给他的震撼是巨大的，内心将会产生一种强大的学习钻研动力。 高斯在小学时就能解决问题“12 99100?”，这是基于他对数的敏感性的超常把握， 这对他一生的成功产生了不可磨灭的影响。 数学直觉思维还有利于提高学生的思维品质。直觉思维具有快速性，迅速肯定或否定某一思 路或结论，给人以“发散”、“放射”的感觉，一计不成又生一计。因此，加强直觉思维能力的 训练，对克服思维的单向性，提高思维品质是有利的。 二、数学直觉思维的培养 一个人的数学思维，判断能力的高低主要取决于直觉思维能力的高低。徐利治教授指出： “数学直觉是可以后天培养的，实际上每个人的数学直觉也是不断提高的。”对于一个专业的数 学工作者来说，他所具有的数学直觉显然已不再是一种朴素意义上的原始直觉，而是一种精致化 了的直觉，也即是通过多年的学习和研究才逐渐养成的。 扎实的基础是产生直觉的源泉。迪瓦多内一语道破了直觉的产生过程：“我以为获得直 觉的过程，必须经历一个纯形式表面理解的时期，然后逐步将理解提高、深化”。“直觉”不 是靠“机遇”，直觉的获得虽然具有偶然性，但决不是无缘无故地凭空臆想，成功孕育于 1%的灵 感和 99%的血汗中。阿提雅说：“一旦你真正感到弄懂了一样东西，而且你通过大量例子以及通过 与其它东西的联系取得了处理那个问题的足够多的经验对此你就会产生一种关于正在发展的过 程是怎么回事以及什么结论应该是正确的直觉。” 在课堂教学中，数学直觉思维的培养和发展是情感教育下的产物之一，把知情融为一体，使 认知和情感彼此促进，和谐发展，互相促进。敏锐的观察力是直觉思维的起步器；一叶落而知 天下秋的联想习惯、科学美的鉴赏力是直觉思维的助跑器；强有利的语言表达能力是直觉思维 的载体。美国心理学家布鲁纳认为，应该做更多的工作去发展学生的直觉思维。直觉思维能力可 以通过多方联想，学会从整体考察问题，注意挖掘问题内部的本质联系，借助对称、和谐等数学 美感，养成解题后进行反思的习惯等途径加以培养。 图 1 图 2 图 3 图 4 图 5 1注重整体洞察，培养学生的整体直觉思维和观察能力。直觉思维不同于逻辑思维，直觉思 维是综合的而不是分析的，它依赖于对事物全面和本质的理解，侧重于整体上把握对象而不拘泥 于细节的逻辑分析，它重视元素之间的联系、系统的整体结构，从整体上把握研究的内容和方向。 观察是信息输入的通道，是思维探索的大门。没有观察就没有发现，更不能有创造。中学数学教 学中图形的识别，规律的发现以及理解能力、记忆能力、抽象能力、想象能力和运算能力等都离 不开观察。在观察之前，要给学生提出明确而又具体的目的、任务和要求。指导学生从整体上观 察研究对象的特征，比如对于三角问题指导学生从角、函数名和形式进行观察，注意帮助学生养 成自问和反思的习惯，努力培养学生浓厚的观察兴趣。 2重视解题教学，注重培养学生数形结合思维。华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时 难入微。”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉，对培养学 生的几何直觉思维大有帮助。教师应该把直觉思维在课堂教学中明确提出，制定相应的活动策略。 重视数学思维方法的教学，诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，通过方法论的分析使 数学中的发明、创造活动成为“可以理解的”、“可以学到手的”和“可以加以推广应用的”， 以思想方法的分析去带动具体知识内容的教学例如:设 a,b,c 为三角形 ABC 的三边长,求证: 3abcbca 分析:用证明不等式的一般方法证明结论较为繁琐,由左边诸分母的形式,可以联想到构造三角 形 ABC 的内切圆,利用上图就可以将左边化简,于是原不等式可证. 3注重引导学生进行合理猜想，培养归纳直觉思维。在数学解题中，运用归纳直觉，是 值得重视的。在我们的数学教学中，培养学生进行猜想，是激发学生学习兴趣，发展学生直觉思 维，掌握探求知识方法的必要手段。为了启发学生进行猜想，我们还可以创设使学生积极思维， 引发猜想的意境，可以提出“怎么发现这一定理的？”“解这题的方法是如何想到的？”诸如此 类的问题，组织学生进行猜想、探索，还可以编制一些变换结论，引发学生猜想的愿望，猜想的 积极性。教师应及时因势利导，解除学生心中的疑惑，使学生对自己的直觉产生成功的喜悦感。 比如：探讨平面内 n 条直线最多能把平面分成几个部分？ 从一条直线开始，寻找规律（如图 1） 从图 1 到图 2，我们发现图中多了一个交点， 平面被多分成 2 个部分， 即为 2+2 个部分； 从图 2 到图 3，我们发现图中多了 2 个交点，而平面被多分成 3 个部分，即 为（2+2 ）+3=7 个部分； 依次类推，每多 m 个交点，则平面被多分成 m+1 个 部分因此，可以得到， 一般地，n 条直线最多可分平面为 2+2+3+4+5+n=1+1+2+3+4+5+n=1+ 个部分 n(n+1) 2 4注重渗透数学的哲学观点，加强在其它学科中应用的意识，提高信息处理能力。直觉的产 生是基于对研究对象整体的把握，而哲学观点有利于高屋建瓴地把握事物的本质。这些哲学观点 包括数学中普遍存在的对立统一、运动变化、相互转化、对称性等特点。例如(a+b)=a+2ab+b ， 即使没有学过完全平方公式，也可以运用对称的观点判断结论的真伪。而函数 y=x+(1/x)的单调性 充分体现了对立统一的辩证关系。有意识地应用于其它学科，尤其是应用学科。例如，已知 a+b=1，a0，b0 求(1/a)+(1/b)的最小值运用物理学科的知识去解释，即串联电路的电阻值为 1，将其改装为并联电路，使得并联电路电阻值最大，由并联电阻的阻值总比任一支路的电阻值小， 从而使得基本不等式“ 深入人心 ”。使学生在豁然开朗中提高直觉思维能力。 5. 设置直觉思维的意境和动机诱导, 注意诱发学生的灵感.灵感是一种直觉思维。它大体是 指由于长期实践，不断积累经验和知识而突然产生的富有创造性的思路。它是认识上质的飞跃。 灵感的发生往往伴随着突破和创新。在教学中，教师应及时捕捉和诱发学生学习中出现的灵感， 对于学生别出心裁的想法，违反常规的解答，标新立异的构思，哪怕只有一点点的新意，都应及 时给予肯定。同时，还应当应用数形结合、变换角度、类比形式等方法去诱导学生的数学直觉和 灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻找到解决问题的突破口。有这样 道题:把 3/7,6/13,4/9,12/25 用”号排列起来.对与这道题,学生通常都是先通分再比较的,但由于公分 母太大,解答非常麻烦,为此我们可以让学生回头观察题目(*/*,*/*,*/*,*/*),然后再想一想,可以 轻松的比较这些数的大小.倒过的数字引发学生瞬间的灵感. 三.总结 思维与逻辑思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思斯图