数学运算(答案版)

数学运算 第一讲 基础知识 一、平均数 （1）知识点 （2）考点 1.【答案】B。解析：已知“A、B 、C、D”四人平均每人生产 80 个零件，可知四人一 共生产 804=320 个零件。由于“C 和 D 平均生产的零件个数比 A、B、C、D 四人的平均数 少 25 个”，可知 C、D 平均生产的零件个数为 8025=55 个，C、D 两人一共生产零件 552=110 个。进一步可求出 A、B 两人一共生产零件 320110=210 个。根据“A 与 B 生产 零件的和是 E 的 3 倍” ，可知 E 生产零件 2103=70 个。所以 A、B、C、D、E 五人生产的 零件总数是 320+70=390 个，平均数是 3905=78 个。 二、公倍数公约数 （1）知识点 （2）考点 1.【答案】B。这里求每小段最长是多少米，就是求 12 和 18 的最大公约数。 所以，每小段最长 6 米 2.【答案】D。解析：此题为最小公倍数问题，再过 6、12、18、30 的最小公倍数 180 天四人再次相遇，这天为 11 月 14 日。 三、基本公式 （1）知识点 （2）考点 考点一：数列求和 1.【答案】C。 2.【答案】D。解析：一共工作 21 天，每天增加一人，这是一个公差为 1 共 21 项的等 差数列，所以中项即第 11 日生产了 84021=40 个，因此，第一日生产了 40-10=30 个，已 知每人每天生产一件产品，所以该车间最初有 30 人 考点二：平方差 1.解析：当原式乘以（2-1）时，显然原式的值不变，所以原式变形为： 原式= )12()()12()12( 84 = = 16 根据尾数法可知选 B 2.【答案】B。解析：原式= -1+ - +2- +3-2 =3-1=2，选择 B。232 C 4a C 2(a b) C 2 R 第二讲 常用方法 一、数的整除特性 1.【答案】B。能被 7 和 5 整除 2.【答案】B，第一个的 1/3 加第二个能被 5 整除，只有 B 能。代入法 3.【答案】B。解析：根据题意，最终女性人数是总人数的 ，则最后总的职工数应52 是 5 的倍数，原有职工 48 人，只有加入 2 个职工才能满足题意。 4.【答案】C。解析：甲组人数是 5 的倍数，乙组是 6 的倍数，总数为 50，所以甲组 只能是 20 人，乙组 30 人才满足需要，所以甲组青年有 8 人。整除 5.【答案】C。解析：由“ 甲营业部的男女比例为 5：3”可知所求为 3 的倍数，所以排 除 B；A 、D 项依次代入所求出的乙营业部的人数不是整数，所以排除；代入 C 项符合题 干所给条件，所以选 C。 6.【答案】C。解析：男生人数能被 4 整除，女生人数能被 3 整除 ，总数 51 能被 3 整 除，所以男生人数一定是能被 12 整除的，为 12，或者 24，或者 36，女生可能为 39，27，15，那么女生为 27。 7.【答案】C。解析：由题意可知，字数是 2、3、4、5、6、7 的公倍数加上 1，2、3、4、5、6、7 的最小公倍数为 3457=420，则页码至少应为 420+1=421 页。 8.【答案】C。解析：若每箱装 15 个最后 7 箱装了（15+2 ）7=119 个零件，则这批零 件数加 1 可被 12、15、18 整除，12、15、18 的最小公倍数为 180，故这批零件共有 18021=359 个。 9.【答案】C。解析：已知张三养的猪有 13%是黑毛猪，且猪的头数必须是整数，所以 张三只能养 100 或 200 头，这样李四只能养 60 或 160 头，又李四养的猪有 12.5%是黑毛猪， 所以李四只能养 160 头，其中黑毛猪 16012.5%=20 头，非黑毛猪 160-20=140 头。 二、代入法排除法 1.【答案】A。解析：采用代入法。 12525275=25125，显然 A 答案符合要求，即选 择 A。 1.【答案】A。解析：本题应用代入法，假设一共有 100 块砖，每人 3 块剩 10 块就是 30 人，每人 4 块少 20 块，正好符合题意，选择 A。 2.【答案】B。解析：由题目可知，两者之和为 245，上层比下层多 15，显然只有 B 符合条件。 3.【答案】A。解析：8 月份平均每立方米为 0.88 元，说明用气量超过了 60 立方米， 用代入法，假设燃气费为 66 元，那么一共用气 75 升，则总消费为 48+15*1.2=66 元，所以 选择 A。 4.【答案】A。解析：无论答对多少题，得分都是偶数，而答错一题扣 1 分，总分为奇 数，未答题不得分，则答错的题目应为奇数个，排除 B、 D。分情况讨论。 假如未答 2 题，则作答的题都正确应得（20-2）2=36 分，答错了（36-23）3 题，不 是整数，排除。 假如未答 4 题，则作答的题都正确应得（20-4）2=32 分，答错了（32-23）3=3 题， 选择 A。 5.【答案】B。解析：如果设甲组有 x 人，乙组有 y 人，则所求为 。根据条件可列yx 方程 ，即 11x=16y，显然 x:y=16:11，即 B 答案。本题也)41(09)41(03yxyx 可用代入法。 三、特值法 1.【答案】B。 1.【答案】B。解析：设桥的长度为 24，则平均速度为 48（2+1）=16 公里/ 小时。 2.【答案】D，特值桶里分别装了 1L 的牛奶和糖水，杯子的为 1L，那么先从甲桶内取 出一杯牛奶倒入乙桶后，甲桶没牛奶也没糖水，这时候乙桶内有 1L 的牛奶和 1L 的糖水， 混合后，再从乙桶取出一杯糖水喝牛奶的混合液倒入甲桶，这时候 2 个桶里的牛奶和糖水 平均了，都一样多。 3.【答案】D，特值当甲、乙分别有 30 个（2、3、5 的公倍数）时，按第一种卖法： 可以卖 15+10=25 元；按第二种卖法：可以卖 6052=24 元；及当甲、乙分别有 30 个，总 共 60 个时，按第二种卖法会少收入 1 元，题意是少 4 元，及他们总共有 604=240 个萝卜。 4.【答案】A。解析：最后溶液为 100 克，开始的 100 克溶液中有 20 克溶质，倒出一 次，剩下 12 克，再倒出一次，剩下 1253=7.2，所以最后浓度为 7.2%。 5.【答案】解析：令 a=3，b=2，那么 A=13，B=6，C=5，D=11。选择 A。 6.【答案】A。假设杯子里共有水 60 份，倒出 1/3 装入纯酒精，相当于装进 20 份纯酒 精，又倒出 1/4 装入纯酒精，倒出 1/4，相当于倒出 5 份纯酒精，倒进 1/4 纯酒精，相当于 倒进 15 份纯酒精，则杯子里现有 30 份纯酒精，再倒出 1/5 装入纯酒精，则杯子里有 36 份 纯酒精，故现在酒精浓度是 36/60 *100%=60% 7.【答案】C。假设从东北捎回来 30 个苹果，分给甲乙两个科室的人员，每人可分得 6 个，说明甲乙两科室总共有 5 个人，如果只分给甲科，每人可分得 10 个，则甲科室有 3 个人，那么乙科室有 2 个人，每人可分得 15 个苹果。 8.【答案】A。解析：设含盐量为 6，每次注水量为 x。 =4%x=50，那么第106 三次注水后溶液总量为 200，盐水浓度为 100%=3%。20 9.【答案】A。解析：设去年每本书的利润为 1，总销量为 1，总利润为 1。今年的利 润为 0.8，总销量为 1.7，总利润为 1.36。则今年的总利润比去年多了 36%。 四、尾数法 1.【答案】B。解析：可用尾数法判断，结果的最后一位数字应为 7，故选择 B。 1.【答案】B。解析：由 10 人一排列队，最后一排缺 1 人，可知总人数的尾数为 9， 所以选择 B。 2.【答案】C。解析：由于小袋子每袋装 10 个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能 装的苹果数的尾数永远为 0;而大袋每袋装 17 个苹果，结合选项，发现只有 C 选项( 袋)可 以使大袋中装的苹果总数尾数为 9。 3.【答案】D。解析：式子的尾数 =0.01+0.04+0.09+0.16x.x0，所以选 D。 4.【答案】A。尾数7+2+6+8+7 5.【答案】D。 “由没有重复数字组成的最小四位数”是 1023，由尾数法可知，原四位数 字个位是 6。 五、方程法 1.【答案】D。解析： 设瓶内酒精原来重 x 克，瓶子重 y 克，则可列方程组：280317xy 解得： 604xy 1.【答案】C。解析：设原来每箱苹果重 x 千克，则 4（x-24）=x，解得 x=32，选择 C。 本题用方程法，思路简单，计算亦不复杂。 2.【答案】C。解析：设第一天在 B 食堂就餐的人数为 x 人，由题意可得 800080%+x30%=800020%+x70%，解得 x=12000 。 3.【答案】C。解析：设乙商场进价为 x，甲商场进价为 1.1x，那么(1+30%) 1.1x=(1+40%)x+45，x=1500。 4.【答案】B。解析：根据题目中的比例关系，可知造林总亩数为 5、4、3 的倍数，设 造林的总亩数为 x 亩，则依题意得： x/5x/4x/33900x， 解得：x18000。 所以 甲的植树亩数为 180001/5 3600（亩） 。 5.【答案】D。解析：设甲教室举办了 X 次，乙教室 Y 次，甲教室共有 50 人，乙教室 共有 45 人，列方程 X+Y=27，50X+45Y=1290，解出 X=15。 6.【答案】B。解析：设标准用水量为 x 吨，可列方程得 2.5x+（15x）5=62.5 ，解 得 x=5，则用 12 吨水应交水费 52.5+75=47.5 元。 7.【答案】A。解析：合格一个零件得 10 元，不合格一个零件损失 10+5=15 元，若 12 个零件都合格，那么这个人可以得到 1210=120 元，可现在只得了 90 元，说明做了 （12090）15=2 个不合格的零件。另外，本题也可采用代入法快速解题。 8.【答案】A。解析：8.00（ 3 公里）+5 公里1.40 元+14 公里2.1 元=44.4 元。所以该 乘客乘该出租车行驶的路程为 3+5+14=22 公里。也可代入排除法。 9.【答案】B。解析：由题意得知，一个桌子的价格是 3205=64 元，一个椅子的价格 是（364+48） 5=48 元，相同数量的椅子比桌子少 320 元，所以原有椅子 320（64-48 ） =20 个。 第三讲 重要题型 一、容斥问题 1）题型特征 2）经典例题 1.【答案】B。解析：两者容斥问题。 40+31-x+4=50.x=25. 2.【答案】B。解析：二者容斥，代入公式， 8+12-3+x=30，x=13. 3.【答案】C。解析：只会说英语的人为 6-3-2+1=2，只会说法语的人为 5-3-2+1=1，只 会说西班牙语的人为 5-2-2+1=2，则只会说一种语言的人有 2+1+2=5 个，只会说两种语言 的人有 3+2+2-13=4 人，所以不会说外语的人为 12-5-4-1=2 个，所以应选择 C. 4.【答案】B。解析：直接应用 3 个集合的容斥公式。设 A=X 的覆盖范围,B=Y 的 覆盖范围,C=Z 的覆盖范围 ，阴影部分是集合 A、B、C 的交集，则阴影部分面积 =290+24+70+36-64-180-160=16。 5.【答案】D。解析：三者容斥问题。看过两部电影的有 x 人，则 89+47+63- x+24+20=125，x=118 人，只看过两部的有 118-24*3=46 人。 二、排列组合 1）主要考点 2）经典例题 1.【答案】C。解析：三位数的百位上的数字可以在 1,2,3,4,5 中任选一个，有 5 种选择， 十位上的数字有 5 种选择，个位上的数字有 4 种选择，一共有 5*5*4=100 种选择。 2.【答案】A。解析：一位数中满足题意的数有： 1、2，一共 2 个； 两位数中满足题意的数有：23=6 个； 三位数中满足题意的数有：233=18 个； 四位数中排在 1010 之前的有：1000、1001、1002； 则 1010 排在第 2+6+18+3+1=30 位。 3.【答案】B。解析：分步问题。选主材、选配料、烹饪三步。C(12，2)*C(13，3) *C(7.1)=132132. 4.【答案】A。解析：分类、插空。两个新节目可以相邻也可以不相邻。1）相邻时： C（4， 1）*A（2，2）8。2）不相邻时：A（，2）。所以总的方法数=8+12=20 种。 5.【答案】C。解析：插板法变型。先拿出来 24 份出来发给每个部门一份，则这是每 个部门就只需再得一份就够了。剩下 6 份发给三个部门。C （5，2）=10 种。 6.【答案】B。解析：倒数第一位为奇数，可选的为 1，3，5，7，9 五个数，倒数第二 位可选的有十个数，所以最多要拨 5*10=50 次。 三、行程问题 1）知识点 2）经典例题 1.【答案】B。解析： 如图所示，K 时刻，甲在 C 点，乙在 B 点，AB=30，他们继续前进，经过同样的时间， 甲在 D 点，乙在 C 点，同样的速度，同样的路程，所以 BC=CD，而此时，AD=108 ，简单 计算可知 BC=（108-30）/2=39，问乙离起点多远，即 AC 的长度，AC=AB+BC=69。 2.【答案】C。解析：当甲跑 1 圈时，乙比甲多跑 圈。丙比甲少跑 圈。可知道甲7171 乙丙的速度之比是 7：8：6，当乙到达终点时，他跑了 800 米，此时，甲和丙各自跑 700 米，600 米，所以甲在丙前 100 米。 3.【答案】D。解析：一来一回上坡走过的总距离，和下坡走过的总距离都等于 60 千 米。上下坡的总时间=3.5+4.5=8 小时。上坡的总时间=60/12=5 小时。下坡时间=8-5=3 小时。 路程相同时速度比等于时间的反比。所以 V 上 ：V 下 =3： 5，因为 V 上 =12 千米/ 时，所以 V 下 =20 千米/时。 4.【答案】A。解析：二者速度和为 150.5=30 公里/小时，速度差为 153=5 公里/小时。 得到乙速度为 =12.5 公里/小时。2530 5.【答案】A。解析： 。船的顺水速度为 ，逆水速度为 ，船的静41x3y4y 水速度是 ，有静水速度=（顺水速度+逆水速度）2， =（ + ）2，消去 y，得xy x 。413 四、工程问题 （1）知识点 （2）经典例题 1.【答案】A。解析：把这项工程的工作总量看作 “1”。甲队修建需要 12 天，修建 1 天完成这项工程的 112；乙队修建需要 20 天，修建 1 天完成这项工程的 120。甲、乙 两队共同修建 1 天，完成这项工程的 112120215，工作总量“1”中包含了多少个 215，就是两队共同修建完成这项工程所需要的天数。 1（112120）1215152（天） 设这项工程的全部工作量为 60（12 和 20 的最小公倍数） ，甲队一天的工作量为 60125，乙队一天的工作量为 60203，甲、乙两队合建一天的工作量为 538。用 工作总量除以两队合建一天的工作量，就是两队合建的天数。 60（60126020）60（53） 608152（天） 2.