再论极限论总难学难教的真正原因

再论极限论总难学难教的真正原因： 有自相矛盾的百年糊涂话 摘要“预先任意给定的正数 ”能否在 V（0，1）内任意给定？若能，则 V 各元均能由 代表；若 不能，则何来不受任何限制的任意性？若预先在 V 内任意取定一数 ，必有 0 可 x /2 一、林群院士的精辟见解对破解极限论总难学难教的百年世界难题很有指导意义 “我最感到困难的是极限的概念，看了几遍教材都似懂非懂、模模糊糊的1 。”“许多新生刚一接触数 学分析，都感到很抽象，难理解，甚至半学期都入不了门。这使不少高考成绩不错的新生由刚入学 时的雄心勃勃变得灰心丧气。，尤其是极限理论 这一部分， 在讲解完数列极限后，我上了一堂 习题课，深入剖析了极限概念。课后一名男生对我说：老师，您上习题课前我觉得自己啥都明白， 上完习题课后反而感觉啥都不明白了。这说明，他并没有真正理解 极限的本质2。”注！有的师生 害怕权威说自己不聪明而不敢公开自己对学、教极限论的真实感受。教师即使“过劳” 也教不会过劳的 学生啊！ 学习微积分首先要学极限论，而学生花了许多时间与精力还是越学越感到啥都不明白地如坠云里雾里 。后续的课程如何学？！学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵 了。极限论使成功考入大学的骄子急陷入。首要的问题不通，则一不通百不通；通了，就一通百通 。“是 2003 年 11 月 11 日。早在一周前，就有三个大一新生打电话回母校诉苦，另两个说高 数难死人。最严重的一个学生说他半个月没有听数学课了，因为微积分根本听不懂。！上大学才半 个学期不到，微积分就学不下去，大学四年怎么混？3”（类似这样披露学生叫苦连天的例子数不胜数 ）面对学生的诉苦，老师也束手无策。确实，不打掉学习路上的拦路虎是根本学不下去的。但经千辛 万苦考进来且交了学费的学生谁愿束手待毙等退学？若退学如何向父母交待？出于无奈学生们只有像 填鸭那样痛苦万分地接受老师“填鸭式” 的满堂灌。更要命的是养成不求甚解的死记硬背陋习必使人只 会盲目模仿例题解题，根本不能真正理解与掌握所学知识，使高分低能现象愈演愈烈。这使教育走向 了自己的反面。 这是一直没能解决的极为突出的世界性老大难难题。“关键是以往的教学改革者均不知百年极限论有把 人给搞糊涂了的糊涂话，4”。不对症下药的教学改革只能使 “病情”越治越重。林群院士精辟指出：“ 如果读者经过认真阅读之后，还是弄不清微积分是什么，那么不要以为自己水平低；相反，要理直气 壮地认为著者没有水平。所以，读者懂或不懂，恰好是反映著者水平高或低的镜子。读者是公正的 裁判员5。”据此，一定是编书者与教师们对极限论的认识还远不够深，不够透，即其学识水平还远不 能满足教学的需要。只会照本宣科而非真懂与懂透极限论者是无法完成教学任务的。 二、对数学表达式所表内容不能只有一知半解百年“R 完备”定理不堪一击。 要不人云亦云地深入了解英国，首先需懂英语，要不人云亦云地深入了解与掌握数学，首先需懂数学 语言的含义。代数，就是用字母代表数。“在数集 D 内任意指定一个数 x，必有 y 0 的任意性知 ab = 0”显然断定式中 2 可在所有正数中任意取值（李成章等，数学分析（2 版）上册，科学出版社，2004.7：25 ）。常识： 欲在 D 内任意取定一数 x，必有 x y，就必须使 D 的所有 x 都有 x y。 “一个变数就是一个数学符号，通常用 x , y , t 等来表示，它被用来代表某一数系中的某一子集 D 中的任一元素。该数集 D 叫做这个变数的变域6。” 此定义没有规定 D 内元素的个数，所以任何定 量都是变量：变域内只有一个数的变量。定义表明“变量 x”中的 x 既是变量，同时也代表 D 内任何定 量，x 所取各数也均由 x 代表，D 内各元都有一个共同的 “名字”叫 x 。x = 1 表示变量 x 取数 1，且 1 也由 x 代表（或表示 x 是只能取一个数的变量：定量）。极限论将“0 0。 “任何正数 x”中的 x 可取任何正数，即任何正数都由此 x 代表。0 y”也一目了然地直接表达有数 y x2 = y 0。一眼看出这是重大病句：有正数 y x /2 的正数 x。S 式石破天惊地直接表达有正数 y 0 中 的 x 就可取一切正数。关键是 S 式中的 x 不是 z 的某一 x 而是 z 的任何 x。“对 z 的任何元 x，都有对 应数 y 1）。否定此太重大的革命发现就要出现重大病 句：任何正数 x x / k 0。详论请见 7。要害是若任一正数集 Z 各元 X 都有 XY，则 此 Y 必可 一切正数 y，即说其变域内有数 x 一切正数这显然 是病句！同理说 y = x + 1 x 中的 x 可取一切实数，就是说有实数 y 一切实数。从西方引进来的数 学有数不尽的那么多个病句啊！ “z 的任何元 x y = x /2 0”一目了然地直接表达 y 的值域 H 内有正数 y x /2 x /3 0 直接表达有无穷多个正数均 0，有f（x）L 0”显然应表示“任何能由此 代表 的正数” ，而不是表示“任何正数都能由此 代表”，因为在非负数中只有 0 才能 ”易使人“误以为”是事先在所有正数中任意取定一个正数；从而断定 可 0 可取非正数 x 0 直接表达有正数 x ”显然是说 可 x 0 表明 1 与 1010 相比实在是太小了以 致于可视其为 0 而忽略，同时也表明和式中的首项 x 与末项相比实在是总距 0 太近了，以致于可 视其为 0 而忽略，即其所取各数 x 相比下均为可忽略的近 0 数。然而初中数学却断定此可忽略的 x 可 由小到大取一切正数，即说表达式右端的“x 0”可代表“ 任何正数 ”四字。这充分说明数学家们初中时就 受到了使其终生受害的误导教育。所以并非任何正数 x 都有对应数 1010x，有太大的正数大至不能还 有远比它大，使它相比下0 的对应数了。“任何正数 x 任何正 数。物极必反，量变引起质变。超过一定限度的太大正数不能与一般的大正数相提并论了，两者有质 的重大区别。 五、数学革命必将“过劳 ”的师生解放出来 其实 j 式中的 是在 的取值范围内任意取定的一个数，而不是在所有正数中任意取的数。病句不除 ，祸害无穷！纠正了无穷小变量定义的自相矛盾后，半分钟就能真懂极限概念：永非 A 的 xA 是说 两者的距离 0 能变至恒取无穷小正数 。人有天