2015年高考数学母题题源系列 专题1-14 文（含解析）（打包14套）
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年高
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母题题源
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14
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利用柯西不等式求最值 【母题来源】 2015 年陕西卷文 选修 4等式选讲 【母题原题】 已知关于 x 的不等式 x a b的解集为 | 2 4 (I)求实数 , ( 12at 的最大值 . 【答案】 (I) 3, 1 ； ( . 【考点定位】 【试题解析】 (I)由 x a b，得 b a x b a 则 24 ，解得 3, (法一（柯西不等式法）： 3 1 2 3 4t t t t 2 2 2 2 ( 3 ) 1 ( 4 ) ( ) 2 4 4 当且仅当 413 即 1t 时等号成立， 故 m a 2 4 【命题意图】 本题考查不等式与方程的关系，涉及柯西不等式求最值，属于基础题 . 【方法 、 技巧 、 规律】 组实数之积的平方与平方和之积间的关系，应用它可以证明很多复杂的不等式； 是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件 . 【 探源、变式、扩展 】 有些证明不等式题表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、猜测、推理等 . 【变式】 【 2015 江苏学易大联考】 求 函数 ： 3 1 4 1y x x 最大值 【答案】 52 【命题意图】 本题考 查柯西不等式等知识 ，意在考查运算求解能力 . 1.【 2013 湖南理】 已知 2 2 2, , , 2 3 6 , 4 9a b c a b c a b c 则 的 最 小 值 为 . 【答案】 12 时，取最小值且当 32,1,2 考点：柯西不等式 . 2.【 2015 成都月考】对于 0c ，当非零实数 ,24 2 4 0a a b b c ，且使 | 2 |最大时，3 4 5a b c 的最小值为 【答案】 点：不等式的解法及其应用 3.【河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底考试，理 24】己知长方体的三条棱长分别为 a、 b、 c，其外接球的半径为 32(I)求长方体体积的最大值： ( (1 , 3 , 6 ) , ( , , )m n a b c，求 的最大值 考点： 1、基本不等式； 2、柯西不等式 . 4.【 福建省安溪一中、德化一中 2015 届高三 9 月摸底考试 ， 理 21（ 3） 】 （本小题满分 7 分） 选修 4 5：不等式选讲 （）证明二维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( , , , )a b c d a c b d a b c d R （）若实数 ,足 2 2 2 3,x y z 求 22x y z的取值范围 . 5.【 2015 冀州中学高三上学期第一次月考，理 23】（ 10 分） 选修 4等式选讲 设函数 2 4 5f x x x 的最大值为 M （ ）求实数 M 的值； （ ）求关于 x 的不等式 12x x M 的解集 【答案】（） 3；（ 2） 21剟 . 来 6.【 2014 陕西高考理第 15A 题】设 , , ,a b m n R ，且 22 5 , 5a b m a n b ，则 22的最小值为 【答案】 5 7.【 2013 年高考陕西】已知 a, b, m, n 均为正数 , 且 a b 1, 2, 则 (最小值为 . 【答案】 2 8.【 2014 届高考试模拟 (五 )】 已知实数 , , ,a b c d 满足 3a b c d ， 2 2 2 24 2 4 5a b c d ，则 . 【答案】 解析】由柯西不等式，得 2 2 2 2111( 4 2 4 ) ( ) ( )424b c d b c d ， 即 2 2 2 24 2 4 ( )b c d b c d ，由条件，可得 225 (3 ) ，解得 12a，当且仅当 2 2 2111222b c d时等号成立，故最小值与最大值之差为 9. 【 2014 届湖北省荆州市质检二】 设 a 、 b 、 c 为正数， 241a b c ，则 2a b c 的最大值是 ，此时 . 10.【 2014 年福建省漳州质量检
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