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年高 数学 母题题源 系列 专题 14 解析 打包

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三角函数图像与性质 【母题来源】 2015新课标 1 【母题原题】 函数 ()fx=)x 的部分图像如图所示，则 () ) (A) 13( , ) ,44k k k Z (B) 13( 2 , 2 ) ,44k k k Z (C) 13( , ) ,44k k k Z (D) 13( 2 , 2 ) ,44k k k Z 【答案】 D 【 考点定位 】三角函数图像与性质 【试题解析】 由五点作图知，1 +4253+42 ， 解得 =， =4， 所以 ( ) c o s ( )4f x x， 令2 2 ,4k x k k Z ， 解得 12 4 x 32 4k ， ， 故单调减区间为 （ 12 4k ， 32 4k ）， 故选 D. 【命题意图】 本题主要考查 函数 c o s ( )y A x的图像与性质 ， 是中档题 . 【方法 、 技巧 、 规律】 本题考查函数 c o s ( )y A x的图像与性质 ， 先利用五点作图法列出关于 ， 方程 ，求出 ， ， 或利用利用图 像先求出周期 ， 用周期公式求出 ， 利用特殊点求出 ， 再利用复合函数单调性求其单调递减区间 ， 是中档题 ， 正确求 ， 使解题的关键 . 【 探源、变式、扩展 】 高考对三角函数的考查重点在三角函数定义 、 诱导公式 、同角三角函数基本关系、三角函数 的图像与性质 、 两角和与差的三角公式 、 二倍角公式及其变形 、 三角函数应用 ， 其中 三角公式、三角函数图像与性质、三角函数应用是考查的热点，难度为容易题或中档题 . 【变式】 【 2015届内蒙古巴彦淖尔市一中上期期中考试 】函数 ( ) s )f x A x（其中 0,| |2A ）的图象如图所示，为了得到 ( ) g x x 的图像，则只要将 () ） A向右平移6个单位长度 B向右平移12个单位长度 C向左平移6个单位长度 D向左平移12个单位长度 【答案】 A 1. 【 2015 届四川省成都示范性高中 12 月月考 】已知函数 ),s ( （其中22,0,0 A），其部分图像如下图所示，将 )(图像纵坐标不变，横坐标变成原来的 2倍，再向右平移 1个单位得到 )(图像，则函数 )(解析式为（ ） A. ( ) s 1)2g x xB. ( ) s 1)8g x xC. ( ) s 1)2g x xD. ( ) s 1)8g x x【答案】 B 2. 【 2015届浙江省东阳市 5 月模拟 】设函数 () ( 0,A 0, )22 的图象关于直线 23x 对称 ,它的最小正周期 为 ， 则 （ ） A ()(0 )2,B (),12 3上是减函数 C () ,012D ()06【答案】 C 3. 【 2015 届浙江省第二次考试五校联考 】为得到函数 ( ) c o s 3 s i nf x x x，只需将函数2 c o s 2 s i ny x x （ ） A 向左平移 512B 向右平移 512C 向左平移 712D 向右平移 712【答案】 C 4. 【 2015届上海市闵行区下学期二模 】函数 的定义域为 ,值域为 11,2，则 的最大值是 （ ） （ A） （ B）34（ C）35（ D） 2 . 【答案】 B 5. 【 2015届四川省资阳市高三第三次模拟考试理科数学试卷 】 已知函数 ( ) s )f x A x（ 0A ， 0 ，|2 ）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（ ） （ A） ()3x 对称 （ B） ()( ,0)12对称 （ C）将函数 3 s c o s 2y x x的图象向左平移2个单位得到函数 ()（ D）若方程 ()f x m 在 ,02上有两个不相等的实数根，则 2, 3 【答案】 D 52 s i n 2 ( ) 2 s i n ( 2 ) ( )2 6 6y x x f x ，故错 . 对（ D），由 02 x 得 2 23 3 3x ，结合函数 22()33x 的图象可知，23m 时，方程 ()f x m 在 ,02 上有两个不相等的实数根，故正确 . 6. 【 2015届内蒙古赤峰市宁城县高三 3月统一考试（一模）理科数学试卷 】函数 )( 其中 |2）的图象如图所示，为了得到 的图象，只需把 )(的图象上所有点 （ ） （ A）向左平移6个单位长度 （ B）向右平移12个单位长度 （ C）向右平移6个单位长度 （ D）向左平移12个单位长度 【答案】 C 7. 【 2015届江苏高考南通密卷三 】 函数 ( ) 2 s i n ( ) ( 0 ,f x x 且 | | )2的部分图像如图所示 ,则 (0)f 的值为 . 【答案】 3 【解析】由题意得： 2( ) 24 6 1 2T T T ，由 ( ) 212f 得： + + ( )62 k k Z ，因为 | | )2，所以3， ( 0 ) 2 s 8. 【 2015 年期中备考总动 员高三数学模拟卷 】已知函数 2 1( ) s i n s i n c o x x x x ，下列结论中：函数 ()于8x 对称；函数 ()， 0）对称；函数 ()0，8）是增函数，将 2 2图像向右平移 38可得到 ()中正确的结论序号为 【答案】 9. 【 2015年期中备考总动员模拟卷【四川】 】已知函数 )20,0,0,)(s )( P 是图象的最高点， Q 为图象与 x 轴的交点， O 为坐标原点，,4 （ 1）求函数 )(的解析式， （ 2）将函数 )(的图象向右平移 2 个单位后得到函数 )(的图象，当 )2,1(x 时，求函数)()()( 的值域 【答案】（ 1） ( ) 2 s i n ( )63f x x（ 2） )3,1( 10. 【 2015届北京市海淀区一模 】 已知函数 2 ( ) s )4f x x （ 1） 求 () （ 2） 求 ()3单调递减区间 【答案】 （ 1） ， ()24 Z，（ 2） )(127,12 直线与圆的位置关系 【母题来源】 2015新课标 10 【母题原题】 （本小题满分 12 分）已知过点 1,0A 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C： 222 3 1 交于 M， N 两点 . （ I）求 （ 12N，其中 【答案】（ I） 4 7 4 7,33骣 -+琪琪桫（ 2 【考点定位】直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力 【试题解析】 （ I）由题设，可知直线 y . 因为 交于两点，所以2| 2 3 1 | 11+. 解得 4 7 4 733. 所以 k 的取值范围是 4 7 4 7,33骣 -+琪琪桫. （ 1 1 2 2( , ) , ( , )M x y N x y. 将 1y 代入方程 ( ) ( )222 3 1 - =,整理得 22(1 ) - 4 ( 1 ) 7 0k x k x+ + + =, 所以1 2 1 2224 ( 1 ) 7,x x = =+21 2 1 2 1 2 1 2 24 ( 1 )1 1 81 O N x x y y k x x k x x k+? + = + + + + = +, 由题设可得24 (1 ) 8 =1 21+ ，解得 =1k ，所以 为 1. 故圆心在直线 以 | | 2. 【命题意图】 本题主要考查直线与圆的位置关系及设而不求思想 ， 是中档题 . 【方法 、 技巧 、 规律】 直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路 1：将直线方程与圆方程联立化为关于 x 的方程 ， 设出交点坐标 ， 利用根与系数关系 ， 将1 2 1 2,x x y y用 再结合题中条件处理 ， 若涉及到弦长用弦长公式计算 ， 若是直线与圆的位置关系 ， 则利用判别式求解 ;思路 2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题 . 【 探源、 变式、扩展 】 直线与圆的位置关系是高考文科数学考查的中点和热点 ， 主要考查圆的标准方程 、直线与圆的位置关系 ， 设而不求思想 ， 难度为中档题 . 【变式】 【 2015届江苏徐州第三次质检 】 在平面直角坐标系 ，已知圆 22: ( ) ( 2 ) 1 ,C x a y a 点 (0,2),A 若圆 C 上存在点 ,M 满足 221 0 ,M A M O则实数 a 的取值范围是 【答案】 0,3 1. 【 2015届四川省雅安市第三次诊断性考试 】 已知直线 l ： 50x 与圆 O : 2210交于 A 、 B，则 k （ ） A 2 B 2 C 2 D 2 【答案】 B 2. 【 2015届浙江省嘉兴市下学期教学测试二 】 已知圆 22 4 5 0x y x 的弦 3,1)Q ，直线 ，则 | | | |B A 4 B 5 C 6 D 8 【答案】 B 3. 【 2015届北京市朝阳区第二次综合练习 】在圆 C： ( ) 2 22 ( 2 ) 8 - =内，过点 (1,0)P 的最长的弦为最短的弦为 则四边形 面积为 【答案】 46 【解析】如下图所示，当 直径时， 过点 P 最长的弦，此时 | | 4 2，当 B 时， 最短的弦，所以三角形 直角三角形， 22| | ( 2 1 ) 2 5 ， 22| | 3C P C E C P ，所以 2 3 2 2 4 6A D B E A B 4. 【 2015届山东省枣庄市五中上期期末考试 】已知圆 M 的圆心在直线 2 4 0 上， 且与 x 轴交于两点 ( 5,0)A , (1,0)B （）求圆 M 的方程； （）求过点 C (1,2) 的圆 M 的切线方程； （）已知 ( 3,4)D ，点 P 在圆 M 上运动，求以 一组邻边的平行四边形的另一个顶点 Q 轨迹方程 【答案】（ 1） 22( 2 ) ( 1 ) 1 0 ；（ 2） 3 5 0 ；（ 3） 轨迹方程为 22( 5 ) 1 0 ，除去点 ( 1,8)和 ( 3,4) 即所求轨迹方程为 22( 5 ) 1 0 ，除去点 ( 1,8) 和 ( 3,4) 12分 5. 【 2015届江苏省泰州市姜堰区高三上学期期中考试理科数学试卷 】 已知圆 M ： 22 44 ，点 l ： 20上的一动点，过点 P 作圆 A 、 切点为 A 、 B （ ） 当切线 长度为 23时，求点 P 的坐标； （ ） 若 的外接圆为圆 N ，试问：当 P 运动时，圆 N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由； （ ）求线段 度的最小值 【答案】 （ ） 1 6 8( 0 , 0 ) ( , )55 ） 84(0, 4), ,55（ ） 11 相交弦长即： 222442 4 4 1 4 15 8 1 6 4 6 4555A B d 当 45b时， 1 6. 【 2015届黑龙江省绥化市重点中学下学期期初开学联考理 】如图，在平面直角坐标系 A（ 0,3） ,直线l：42 圆，圆心在 l（ 1）若圆心过点 求切线的方程； （ 2）若圆 上存在点 M,使,求 圆心 的横坐标 【答案】（ 1）3 2）)2,54()42()1(1 22 所以)2,54(a. 7. 【 2015届浙江省杭州地区 7校上学期期末模拟联考 】已知圆 C： 04222 （ 1）求 （ 2）当 m=4 时，若圆 4 于 M， ，求 a 的值。 【答案】（ 1） 5m ；（ 2） 1a 或717a 8. 【 2015届湖南怀化市中小学课改教育监测高三上学期期中考试理科数学试卷 】 在平面直角坐标系 ， O 为坐标原点，以 O 为圆心的圆与直线 3 4 0 相切 （ ）求圆 O 的方程； （ ）若直线 l ： 3y 与圆 O 交于 A ， B 两点，在圆 O 上是否存在一点 Q ，使得 ，若存在，求出此时直线 l 的斜率；若不存在，说明理由 【答案】（ ） 224;（ ）存在点 Q ，使得 O Q O A O B. 9. 【 2015 届江苏省通州五校第一次联考 】 已知 的三个顶点 ( 1,0)A ， (1,0)B ， (3,2)C ，其外接圆为圆 H （ 1）求圆 H 的方程； （ 2）若直线 l 过点 C ，且被圆 H 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程； （ 3）对于线段 的任意一点 P ，若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 ,得点 M 是线段 圆 C 的半径 r 的取值范围 【答案】 （ 1） 22( 3) 1 0 （ 2） 3x 或 4 3 6 0 （ 3） 10 4 1035r 10. 2015 届广东省广州市综合测试二 】 已知圆心在 x 轴上的圆 C 过点 0,0 和 1,1 ，圆 D 的方程为 2 244 （ 1）求圆 C 的方程； （ 2）由圆 D 上的动点 P 向圆 C 作两条切线分别交 y 轴于 A ， B 两点，求 取值范围 【答案】（ 1） 2 211 ；（ 2） 522,4 线性规划 【母题来源】 2015 北京 卷 文 13 【母题原题】 如图， C 及其内部的点组成的集合记为 D ， ,为 D 中任意一点，则 23z x y的最大值为 【答案】 7 【考点定位】线性规划 . 【试题解析】 把 23z x y变形为 2133y x z ，通过平移直线 23知，当过点 2,1 时， 23z x y取得最大值为m a x 2 2 3 1 7z ，所以答案应填： 7 【命题意图】 本题考查线性规划基础知识，意在考查学生 数形结合思想的运用能力和运算求解能力 【方法 、 技巧 、 规律】 先正确画出不等式组所表示的平面区域，再将目标函数变形为一次函数，通过平移直线确定目标函数何时取得最值 . 【 探源 、变式、扩展 】 对于 非线性的 目标函数， 应该确定目标函数表示的几何意义，否则很容易出现错误 【变式】 【 2015 湖南四月调研 】 已知实数 x 、 y 满足不等式组 3 1 0300 ，则 22的最小值是（ ） A 322B 92C 5 D 9 【答案】 B 【解析】 不等式组 3 1 0300 表示的平面区域如图所示： 目标函数 22表示可行域内任一点 ,到原点 的 距离的平方 由图可知当 垂直于直线 :l 30 时 ， 目标函数 22有最小值 ，又点 与 直线 l 的距离为220 0 3 32211 ， 所以目标函数 22的 最小值为 92，故选 B 1 【 2015 惠州模拟 】 若变量 x ， y 满足约束条件 280403 ，则 2z x y的最大值等于 （ ） A 7 B 8 C 11 D 10 【答案】 D 2 【 2015 吉林 质检 】 在平面直角坐标系中 ， 若 ,满足 4 4 02 1 0 05 2 2 0 ，则 2的最大值是 （ ） A 2 B 8 C 14 D 16 【答案】 C 3 【 2015 河北模拟 】 设变量 x ， y 满足约束条件 3123 ，则目标函数 23z x y的最小值为 （ ） A 6 B 7 C 8 D 23 【答案】 B 【解析】 作出约束条件表示的可行域，如图 C 内部（含边界） 作直线 :l 2 3 0，平移直线 l ，当 l 过点 时， z 取得最小值 7 ， 故选 B 4 【 2015 北京月 考】 实数 x ， y 满足 不等式组 002 ，则目标函数 3z x y 的最小值是 （ ） A 12 B 8 C 4 D 0 【答案】 B 5 【 2015 山东 月考】 若变量 x ， y 满足约束条件 280403 ，则 2z x y的最大值等于 （ ） A 7 B 8 C 10 D 11 【答案】 C 6 【 2015 河北模拟 】 设 x ， y 满足约束条件 202 5 02 3 0 ，则 32z x y的最大值为 （ ） A 8 B 9 C 28 D 29 【答案】 D 【解析】 约束条件满足的区域如图所示 目标函数 32z x y在点 5,7 处取得最大值，即m a x 3 5 2 7 2 9z ，故选 D 7 【 2015 辽宁质检 】 已知实数 x ， y 满足约束条件 11 ，则 2z x y的最大值为 （ ） A 3 B 32C 32D 3 【答案】 A 8 【 2015 深圳调研 】 已知实数 x ， y 满足不等式组 103 ，则 2的最大值为 （ ） A 2 B 3 C 4 D 5 【答案】 D 9 【 2015 潮州质检 】 设 z x y ，其中实数 x ， y 满足 2006 ，则 z 的最大值为 （ ） A 12 B 6 C 0 D 6 【答案】 A 10 【 2015 河北调研 】 已知实数 x ， y 满足约束条件 5000 ，则 24z x y的最大值是 （ ） A 2 B 0 C 10 D 15 【答案】 B 正弦定理与余弦定理 【母题来源】 2015 广东 卷 文 5 【母题原题】 设 C 的内角 ， ， C 的对边分别为 a ， b ， c 若 2a ， 23c ， 3，且 ，则 b （ ） A 3 B 2 C 22 D 3 【答案】 B 【考点定位】余弦定理 【试题解析】 由余弦定理得： 2 2 2 2 c o sa b c b c ，所以 222 32 2 3 2 2 32 ，即 2 6 8 0 ，解得： 2b 或 4b ，因为 ，所以 2b ，故选 B 【命题意图】 本题考查 余弦定理 、 一元二次方程 等基础知识， 意在考查学生 基本运算能 力和逻辑推理能力 【方法 、 技巧 、 规律】 已知两边和它们的夹角，可以利用余弦定理求出第三边，已知两边和其中一边的对角，可以利用正弦定理求出另一条边的对角 . 【 探源、变式、扩展 】 利用正弦定理求角时，可能有两解的情况，此时要注意检验两解是否符合题意，否则很容易出现错误 【变式】 【 2015 广东高考改编】设 C 的内角 ， ， C 的对边分别为 a ， b ， c 若 2a ， 23c ，3 ，则 b 【答案】 2 或 4 1 【 2015 北京期末】已知 a ， b ， c 分别是 C 三个内角 ， ， C 的对边， 7b ， 3c ，6，那么 a 等于 （ ） A 1 B 2 C 4 D 1 或 4 【答案】 C 2 【 2015 天津质检 】设 C 的内角 ， ， C 所对边的长分别是 a ， b ， c ，且 3b ， 1c ， 2 ，则 a 的值为 （ ） A 2 B 22 C 3 D 23 【答案】 D 3 【 2015 陕西联考 】 在 C 中 ， 已知 30 ， 3 ， ， 则 C 的 长 为 （ ） A 2 B 1 C 2 或 1 D 4 【答案】 C 4 【 2015 浙江联考】 C 中 ， 7b ， 3c ， 60 ， 则 a （ ） A 5 B 6 C 43 D 8 【答案】 D 5【 2015 西藏月考】已知 C 的内角 、 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，若 2 ， 1a ， 3b ，则 c （ ） A 23 B 2 C 2 D 1 【答案】 B 6 【 2015 北京二模】 在 C 中，若 3a ， 7b ， 56，则边 c _ 【答案】 1 7 【 2015 山东 二模】 已知 C 中，设三个内角 ， ， C 所对的边长分别为 a ， b ， c ，且 1a ， 3b ，6， 则 c . 【答案】 1 或 2 8 【 2015 江苏期中 】 C 中，3， 3 ， ，则 C . 【答案】 7 9 【 2015 山东模拟】在 C 中，若 1b ， 3c ， 2，则 a . 【答案】 1 10【 2015 四川一诊 】在 C 中，内角 ， ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，若 2， 4b ， 1，则边 c 的长度为 _ 【答案】 4 椭圆离心率的值或取值范围求法 【母题来源】 2015 年福建 文 科数学 母题原题】 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的右焦点为 F 短轴的一个端点为 M ，直线 : 3 4 0l x y交椭圆 E 于 , 4F，点 M 到直线 l 的距离不小于 45，则椭圆 E 的离心率的取值范围是（ ） A 3(0, 2B 3(0, 4C 3 ,1)2D 3 ,1)4【试题解析】 设左焦点为 F ，连接1四边形11F，所以 1 42A F A F a ，所以 2a ，设 (0, ) 4455b，故 1b ，从而 221， 203c， 03c ，所以椭圆 E 的离心率的取值范围是 3(0, 2 ，故选 A 【命题意图】 本题考查 椭圆的定义和椭圆简单几何性质、点到直线距离公式等基础知 识，意在考查识图、用图的能力以及运算求解能力 【方法 、 技巧 、 规律】 离心率是圆锥曲线的核心概念， 求离心率的值或取值范围即寻求 , 2 2a b c求解 该类问题往往是数学知识的交汇点，数学思想和方法的综合点 ，往往有两种题型， 即显示约束条件和隐藏约束条件 两种解题方向，即以形为主的解题方向，注意结合平面几何知识求解；以数为主的解题方向，要注意方程和不等式的联系 【 探源、变式、扩展 】 与 椭圆焦点三角形 有关的问题有意考查椭圆的定义、正弦定理或余弦定理、三角形边的关系、面积公式 、基本不等式 等，其 中包含关于 ,此可确定离心率的值或取值范围 【 变式 】 【 2015 届杭州七校联考 】 已知1F,2椭圆上存在点 P，使得12F,则椭圆的离心率的取值范围是（ ） A 5,15B 2,12C 50,5 D 20,2 【答案】 B 1【 2015 届兰州一诊】 已知椭圆 C ： 22 1 ( 0 )xy 的左、右焦点分别为1F、2F，右顶点为 A ，上顶点为 B ，若椭圆 C 的中心到直线 距离为126 |6 则椭圆 C 的离心率 e （ ） A 22B 32C 23D 33【答案】 A 2【 2015 届四川省宜宾市一诊】在平面直角坐标系中，椭圆 )0(12222 0(2 以 O 为圆心， a 为半径作圆，过点 )0,2圆的两条切线互相垂直，则离心率 e 为 （ ） （ A）22（ B）21（ C）23（ D）33【答案】 A 3 【 2015 届湖南省长沙市模拟】 已知 )0,(),0,( 21 为椭圆 12222 两个焦点， P 在 椭圆上 且满足212F c，则此椭圆离心率的取值范围是 （ ） A3 ,1)3B11 , 32C32 , D2(0, 2【答案】 C 由得：212 22 c o s F P F 123 ，22, 2c a e， 12 2212| P F | | P F | ( )2P F P F a ， 2 2 2 2 2 32 a 3 c a , a 3 c , 3e ， 则此椭圆离心率的取值范围是32 , ，故选 C 4【 2015 届江西省鹰潭市一模】 已知椭圆 221 : 1 ( 0 )a 与圆 2 2 22 :C x y b，若在椭圆 1C 上存在点 P，过 P 作圆的切线 B,切点为 A, B 使得3椭圆1 ） A 3 ,1)2B 23 , 22C 2 ,1)2D 1 ,1)2【答案】 A 5 【 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 （辽宁卷）理科】 已知椭圆 22: 1 ( 0 )a 的左焦点为 , 过 原 点 的 直 线 相 交 于, ， 4, . 1 0 , 6 , c o s A B F ,5A F B F A B A F C e 连 接 若 则 的 离 心 率 = . 【答案】 57【解析】 形 中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 ：2 2 2| | | | | | 2 | | | | c o A B B F A B B F A B F 6 【 2013 年普通高等学校招生全国统一考试福建卷理】 椭圆 01: 2222 F,焦距为直线 3与椭 圆的一个交点满足 12212 ,则该椭圆的离心率等于 _. 【 答案 】 31 7 【 2013 年 普通高等学校统一考试 江苏数学试题】 在平面直角坐标系 ，椭圆 C 的标准方程为22 1 ( 0 , 0 )xy ，右焦点为 F ，右准线为 l ，短轴的一个端点 B . 设原点到直线 距离为1d，F 点到 l 的距离为 2d . 若 216，则椭圆 C 的离心率为 . 【 答案 】 338 （ 2012 新课标全国） 设 ： 1(a b 0)的左、右焦点， P 为直线 x3一点， 0 的等腰三角形，则 E 的离心率为 ( ) 答案】 C 9 （ 2013 四川） 从椭圆 1(a b 0)上一点 P 向 x 轴作垂线，垂足恰为左焦点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点， B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点，且 是坐标原点 )，则该椭圆的离心率是 ( ) A. 24 . 22 D. 32 【答案】 C 10【 2015 届江苏模拟】 如图，点 分别是椭圆 12222 0( 线 椭圆交于另一点 B ，过中心 O 作直线 平行线交椭圆于 两点，若 5 ,2椭圆的离心率为 . 【答案】21三次函数的图像与性质 【母题来源】 2015安徽 卷 文 10 【母题原题】 函数 32f x a x b x c x d 的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ） （ A） a0， d0 （ B） a0， C） D） a0， b0， c0， d 0, b 0, c 0, b 0 D a 0, b 0, c 0 【答案】 D 6. 已知函数 ),()( 23 为常数 ，当 ( , 0 ) ( 5 , )k 时， 0)( 有一个实数根；当 ( 0 , 5 ) , ( ) 0k f x k 时 有 3 个相异实根，现给出下列 4 个命题： 函数 )( 2 个极值点； 函数 () 个极值点；方程 ( ) 5 的根小于 ( ) 0 的 任意实根； ( ) 0和( ) 0 有一个相同的实根其中正确命题的个数是 （ ）。 A 1 B 2 C 3 D 4 【答案】 C 7. 【 2000年 北京 高考】 已知函数 32f x a x b x c x d 的图象如图，则（ ） A 0b ， B 01b ， C 12b ， D 2b ， 【答案】 A 8. 【 2009安徽 理科】 设 a b，函数 2y a x x b 的图象可能是（ ） A B C D 【答案】 B 9. 【 2014江西卷文】在同意直角坐标系中，函数 2 2 3 22 ( )2ay a x x y a x a x x a a R 与的图像不可能 的是（ ） 【答案】 B 10. 【 2015 西城区期末 】 函数 32f x a x b x c x 的图象如图所示，且 x）在0 1x 处取得极值，给出下列判断： 1 1 0 ； 20f ； 函数 y f x 在区间 0， 上是增函数其中正确的判断是 【答案】 简单线性规划的应用 【母题来源】 2015山东 卷 文 12 【母题原题】 若 ,3,1 则 3z x y 的最大值为 . 【答案】 7 【考点定位】 简单线性规划 ,属于基础题 . 【试题解析】 画出可行域及直线 30，平移直线 30，当其经过点 (1,2)A 时，直线的纵截距最大，所以3z x y 最大为 1 3 2 7z . 【命题意图】 本题考查了简单线性规划的应用，属于基础题，是简单线性规划问题中最为简单的一种求最值问题，在考查相关基础知识的同时，较好地考查了考生的作图能力、运算能力及 数形结合思想 【方法 、 技巧 、 规律】 解答此类题的基本方法是图解法 ，步骤有四： 作图 画出可行域所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的一条直线 l； 平移 将直线 确定最优解的对应点 1）线性目标函数 z ax 中的 ax by z 在 目标函数化为 y= x+ax by z 在 根据 b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值线性目标函数 z b0时，最优解是将直线 0在可行域内向上方平移到端点 (一般是两直线交点 )的位置得到的；当 b0时，则是向下方平移 求值 解有关方程组求出 即最优解 )； 代入目标函数，求出目标函数的最值 从历年高考题看，最优解往往是可行域的“角点”，在作图的过程中即可确定得到 . 【 探源、变式、扩展 】 研读教材可以发现，人教 练习 1两道小题，习题 本章小结巩固与提高 3题，是较为典型的变式之一 绕简单线性规划的应用，其变化主要是“目标函数”的形式及其呈现方式，如 3z x y ， 22z x y，z B 等 ， 对于这些变化， 应注意正确理解目标函数的意义，灵活操作解题过程，不拘 泥于固定模式 【变式】 若变量 满足约束条件 1,3 2 15 ，则 42的最大值是 【答案】 512 1 【 2015年期中备考总动员高三数学模拟卷【新课标 1】 】 已知实数 x ， y 满足 1218 ，则目标函数z x y 的最小值为（ ） A 2 B 5 C 6 D 7 【答案】 A 2 【 2015年期中备考总动员高三文数学模拟卷【四川】 】 已知不等式组 1 10 ， 表示的平面区域为 M，若直线 3y kx k 与平面区域 ） A. 1,03B. 1,3 C. 10,3 D. 1,3 【答案】 A 3 【 2015年期中备考总动员高三理数学模拟卷【山东】 】 已知 ( , )Px y 在不等式 24022 所确定的平面区域内，则 3的最小值为（ ） A 83 B 43 C 23 D 2 【答案】 A 4 【 2015届山东省文登市高三第二次模拟考试 】 若不等式组43430所表示的平面区域被直线34 k =（ ） 案】 C 5 【 2015届天津市南开区高三一模 】 已知 实数 x， 4004 ，则 目标函数2z x y的最小值是 （ ） （ A） 0 （ B） 6 （ C） 8 （ D） 12 【答案】 D 6 【 2015届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试 】 设 满足约束条件,0,02,063 )0,( 最大值是 12，则 22的最小值是（ ） A 613B 365C 65D 3613【答案】 D 7 【 2015届辽宁省朝阳市三校协作体高三下学 期第一次模拟考试 】 变量x、110122)2( 的最小值为 （ ） A223B5C29D5【答案】 D 8 【 2015届贵州省八校联盟高三第二次联考 】 设x、022010则 3 的最大值为 4，则 m 的值为（ ） A. 4 答案】 A 9 【 2015年期中备考总动员高三理数学模拟卷【新课标 2】 】 实数x、,0),1(,1的最大值为 4，则实数 【答案】 2 10 【 2015届江西省上饶市重点中学高三六校第一次联考 】 已知变量x、02 1 04 14 0 ，则 21yz x 的取值范围是 _ 【答案】 3（ - , - 6 , + )2 利用柯西不等式求最值 【母题来源】 2015 年陕西卷文 选修 4等式选讲 【母题原题】 已知关于 x 的不等式 x a b的解集为 | 2 4 (I)求实数 , ( 12at 的最大值 . 【答案】 (I) 3, 1 ； ( . 【考点定位】 【试题解析】 (I)由 x a b，得 b a x b a 则 24 ，解得 3, (法一（柯西不等式法）： 3 1 2 3 4t t t t 2 2 2 2 ( 3 ) 1 ( 4 ) ( ) 2 4 4 当且仅当 413 即 1t 时等号成立， 故 m a 2 4 【命题意图】 本题考查不等式与方程的关系，涉及柯西不等式求最值，属于基础题 . 【方法 、 技巧 、 规律】 组实数之积的平方与平方和之积间的关系，应用它可以证明很多复杂的不等式； 是所给不等式的形式是否和柯西不等式的形式一致，若不一致，需要将所给式子变形；二是注意等号成立的条件 . 【 探源、变式、扩展 】 有些证明不等式题表面上看与柯西不等式无关，然而通过对原不等式作适当变形改造后却可以应用柯西不等式加以解决，当然具体如何变形改造是关键，也是难点，这往往需要经过观察、猜测、推理等 . 【变式】 【 2015 江苏学易大联考】 求 函数 ： 3 1 4 1y x x 最大值 【答案】 52 【命题意图】 本题考 查柯西不等式等知识 ，意在考查运算求解能力 . 1.【 2013 湖南理】 已知 2 2 2, , , 2 3 6 , 4 9a b c a b c a b c 则 的 最 小 值 为 . 【答案】 12 时，取最小值且当 32,1,2 考点：柯西不等式 . 2.【 2015 成都月考】对于 0c ，当非零实数 ,24 2 4 0a a b b c ，且使 | 2 |最大时，3 4 5a b c 的最小值为 【答案】 点：不等式的解法及其应用 3.【河南省中原名校 2015 届高三上学期第一次摸底考试，理 24】己知长方体的三条棱长分别为 a、 b、 c，其外接球的半径为 32(I)求长方体体积的最大值： ( (1 , 3 , 6 ) , ( , , )m n a b c，求 的最大值 考点： 1、基本不等式； 2、柯西不等式 . 4.【 福建省安溪一中、德化一中 2015 届高三 9 月摸底考试 ， 理 21（ 3） 】 （本小题满分 7 分） 选修 4 5：不等式选讲 （）证明二维形式的柯西不等式： 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( , , , )a b c d a c b d a b c d R （）若实数 ,足 2 2 2 3,x y z 求 22x y z的取值范围 . 5.【 2015 冀州中学高三上学期第一次月考，理 23】（ 10 分） 选修 4等式选讲 设函数 2 4 5f x x x 的最大值为 M （ ）求实数 M 的值； （ ）求关于 x 的不等式 12x x M 的解集 【答案】（） 3；（ 2） 21剟 . 来 6.【 2014 陕西高考理第 15A 题】设 , , ,a b m n R ，且 22 5 , 5a b m a n b ，则 22的最小值为 【答案】 5 7.【 2013 年高考陕西】已知 a, b, m, n 均为正数 , 且 a b 1, 2, 则 (最小值为 . 【答案】 2 8.【 2014 届高考试模拟 (五 )】 已知实数 , , ,a b c d 满足 3a b c d ， 2 2 2 24 2 4 5a b c d ，则 . 【答案】 解析】由柯西不等式，得 2 2 2 2111( 4 2 4 ) ( ) ( )424b c d b c d ， 即 2 2 2 24 2 4 ( )b c d b c d ，由条件，可得 225 (3 ) ，解得 12a，当且仅当 2 2 2111222b c d时等号成立，故最小值与最大值之差为 9. 【 2014 届湖北省荆州市质检二】 设 a 、 b 、 c 为正数， 241a b c ，则 2a b c 的最大值是 ，此时 . 10.【 2014 年福建省漳州质量检查】 已知 0, 0,且2922 恒成立， () 求 m 的最小值； （ ） 若 |1|2 对任意的 恒成立，求实数 x 的取值范围 . 【答案