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高中数学《柱、锥、台和球的体积》文字素材（打包8套） 新人教B版必修2,高中数学,以及,体积,文字,素材,打包,新人,必修

内容简介：

用心 爱心 专心 1 球问题的求解策略 球是我们最常见的空间几何体，但球的问题却是同学们在学习中感到最为困惑的一类问题这类问题一般不易画出其立体图形，求解比较困难解决这类问题要求我们有较强的空间想象能力和问题转化能力，因此，更需要我们对球有深刻的理解下面为同学们介绍一下球问题的三种求解策略 一、突出球心 球心是球的灵魂，抓住了球心就抓住了球的位置特别是当球与球相切或球与平面相切时，我们更应该通过球心和球心以及球心和切点的连线来构造多面体，使球的问题转化为多面体的问题加以解决 例 已知空间四个球的半径 分别为 2， 2， 3， 3，且每个球都与其余三个球外切，另有一个小球与这四个球都外切，求小球的半径 解析：要画出五个球的实际空间图形比较困难，我们可以通过五个球的球心位置，以及利用球心连线构成的多面体及其性质，来确定小球的半径 如图 1 所示，以四个球的球心为顶点作四面体 A ， 6， 4，5A C B C A D B D 设 中点分别为点 F ， E ，小球的球心为点 O （显然未知半径的小球的球心应在四面体 内部）由图形的对称性可知，点 O 在 设小球半径为 r ，现利用 F 来建立关于 r 的方程，并最终求出 r 事实上， 2 2 2 2( 2 ) 2O E O C C E r ， 2 2 2 2( 3 ) 3O F O A A F r ， 2 2 2 2 2 12E F A E A F A C C E A F ， 所以 2 2 2 2( 2 ) 2 ( 3 ) 3 1 2 ， 即 ( 4 ) ( 6 ) 1 2r r r r ， 将式变形（分子有理化），得 ( 6 ) ( 4 )3rr r r r ，整理得 21 1 6 0 3 6 0 ， 解得 611r或 6r （舍去） 二、巧作截面 空间几何体的主要元素往往集中在某一特征截面上，这个特征截面是体现立 体图形性质用心 爱心 专心 2 的重要中介从特征截面入手加以剖析，可实现转化有关球问题的特征截面常常通过球心 例 2 在球1方体内有一内切球2O，球3球1O、球2O、球3V、3V，求1V2V3V 解析：由于体积比取决于它们的半径的比，设球1O、球2O、球3 3r r r， ， 作出轴截面图，从正方体的对角面得出的平面图形如图 2 所示，则知球13 设正方体的棱长为 2，则1122对角线 21 12即1 23 1 3r ，2 1r 13A O E A O F ， 3113 O F ，即 1 2 3123r r ， 3 23r 3 3 3 31 2 3 1 2 3: : : : 3 3 : 1 : ( 2 3 )V V V r r r 例 3 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥（轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥）的体积之比 分析：画出它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系 解：如图 3，等边 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11球面得球的大圆1O 用心 爱心 专心 3 设球的半径1，则它的外切圆柱的高为 2R ，底面半径为 R ； 1 3t a n 3 0 R， t a n 6 0 3 3 3S O O B R R ， 343球， 2322V R R R 柱， 231 ( 3 ) 3 33V R R R 锥 ， : : 4 : 6 : 9球 柱 锥 三、构造模型 通过构造几何模型解决有关球和多面体的组合问题是一种常见的转化策略球和多面体的组合常见的结论有：球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正（长）方体，正（长）方体的顶点均在球面上，对角线长等于球的直径；正四面体（正三棱锥）的一顶点及其在底面的射影和球心三点共线 例 4 一个四面体的所有棱长都为 2 ，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） 3 4 33 6 解析：由题意知，此四面体是棱长都为 2 的正四面体为此，构造棱长为的正方体，如图 4，则11 的正四面体，正方体的外接球也是 正四面体的外接球此时球的直径为 3 ，因此，球的表面积为 23432 故选 用心 爱心 专心 4 例 5 在球面上有四个点 P A B C， ， ， ，且 B ， 两两互相垂直，且P A P B P C a ，求这个球的表面积和体积 解析：本题对空间想象能力要求较高，若画图，则较困难，因此，可利用补形法构造下列模型：由已知 P A P B P C a ，且两两互相垂直，可将 B ， 作为棱补成一