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高中数学《柱、锥、台和球的体积》文字素材（打包8套） 新人教B版必修2,高中数学,以及,体积,文字,素材,打包,新人,必修

内容简介：

用心 爱 心 专 心 1 柱 、 锥 、 台 、 球的表面积和体积 计算问题 解题指导 研究柱、锥、台表面积的关键是明确它们的平面展开图的形状 ,为此应该复习在小学、初 中所学到的有关知识 ,还要结合在前面的学习中动手折叠几何体的体验 ,理解展开是折叠的逆过程 自己就可以得出侧面积公式了 对于面积的计算 ,有些要用表示数字的字母进行计算 ,有些可以保留准确值及表示圆周率的字母 ,有些实 际应用的问题要根据要求的精确度取值 我们要对手算尤其是对含字母式子的变 形进行必要的训练 一、侧面积 的计算 例 l、直平行六面体的底面是菱形 ,两个对角面面积分别为 21,求直平行六面体的侧面积 解题指导 解决本题首先要正确把握直平行六面体的结构特征 的两个对角面是矩形 解：如上图所示 ,设底面边长为山侧棱长为 a ,两条底面对角线的长分别为 ,即 , ,则 :)3(2121)2()1(222211)得,由 (2)得,代入 (3)得 : 2222122 222221 4 22212 222124 侧评述与反思 :(1)此题需大胆设元 ,为列方程方便 ,可以将对角线设出 ,但设而不解 .(2)需大胆消元 ,整体代入 也没有必要解出 ,这里需要将 a 与 l 的乘积看作一个整体进行计算 二、表面积与体积的计算 例 2 如图 , 的三边长分别是 3,4,5 以 在直线为轴 ,将此三角形旋转一周 ,求所得旋转体的表面积和体积 用心 爱 心 专 心 2 解题指导 :一直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥 ,但绕 它的斜边所在直线旋转就不再是圆锥，这时我们可以自三角形的直角顶点 ，线段 这样线段 解 :如图所示 ,所得的旋转体是两个底 面重合的圆锥 ,高的和为 . 底面半径512 584 . 548313 22 求组合体的面积或体积 ,首先要弄清它是由哪些基本几何体构成 ,再通过轴截面分析和解决问题 ;若以 它们的体积分别走多少 ?试比较这三个旋转体的体积的大小 三、求几何体被分割后的体积比 例 图 ,三棱柱 111 中 ,若 E,B、 平面 1将三棱柱分成体积为 1V 、 2V 的两部分 ,求 1V : 2V . 解题指导 : 1V 对应的几何体 111 是一个棱台 ,一个底面的面积与棱柱的底面积相等 ,另一个底面的面积等于棱柱底面积的41; 2V 对应的是一个不规则的几何体 ,显然 2V 的体积无法直接表示 ,可以考虑间接的办法 ,用 三棱柱的体积减去 1V 来表示 . 解：设三棱柱的高为 h ,底面的面积为 S,体积为 v ，则 21 E、 B、 1 2744311 2512 用心 爱 心 专 心 3 故 1V : 2V =7:5. 评述与反思 :本题求不规则的几何体 11 的体积时 ,是通过计算棱柱 111 和棱台 111 的体积的差来求得的 四、相接几何体的体积计算问题 例 轴截面是正方形的圆柱 )的全面积为 S,求其内接正四棱柱的体积 解题 指导 要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考 ,要求内接正四棱柱的体积 ,只需求出 等边圆柱的底面团半径 r ,而 r 根据已知条件可以用 解：如 上 图 ,设等边圆柱的底面半径为 r ,则高 , 22 622S 全侧6 内接四棱柱的底面边长 45s 23329664422 底. 评述 与反思 :本题是正四棱柱与圆柱的相接问题解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系 ,如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等 ,正四棱柱的高与圆柱的母线长相等 ,通过这些关系可以实现已知条件的相互转化 针对训练 : 1. 如图，斜三棱柱1 1 1 B C的底面为直角三角形 90C ， 2，点1 D 恰为 中点，侧棱与底面成 60 角，侧面110 ，求此斜三棱柱的侧面积和体积 2. 已知四棱锥 V h，底面为菱形，侧面 20，且都垂直于底面 ，另两侧面与底面夹角都是 45 ,求棱锥的全面积 . 3. 一个例圆锥形容器，经过高的截面是等边三角形，向这个容器内注入水，并且放入一个半径为 时水面恰好与球面相切，问将这个球取出后容器内水面的高度 . 4. 如图，在三棱锥 ， 面 ， D 、 G 分别是 E 为 一点，且 21： （ 1）求证： 面 （ 2）求截面 棱锥 成两部分的体积之比 用心 爱 心 专 心 4 5. 如图，已知棱锥 的底面积是 264平行于底面的截面面积是24棱锥顶点 V 在截面和底面上的射影分别是 1O 、 O ，过 三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积 参考答案 1. 解 : 11 ,平面 ，又 ， 11 过 C 作 1 于点 E ， 为二面角 1 的平面角， 即 632,301 A 侧， 321 如下图 面 面 面 平面 面 面 120 又底面 60，连 等边三角形，取 中点 H，连 三垂线定理知 30 B A D E B 1 用心 爱 心 专 心 5 S 全 2S 2S S 3. 由题设可知，圆锥的高为 3R，底面半径为 3 x，则这时水面的半径为33x 2234)3 3(313)3(31 解得 : 5 15 即取出球后容器内水面的高度为 5 . 4. 证明： （ 1） 面 且 面 平面 面 且相交于 在 ， ， 上的中线 面 面 利用两个平面垂直的性质定理可以证明 面 在 设 ，则 ， ， 61322 61233 ， 90 90 利用相似三角形的性质，得到 90 ， 面 （ 2） A P s s 13s A P B 133131P D 12面 棱锥 两部分，三棱锥 四棱锥 体积之用心 爱 心 专 心 6 比为 1： 2 设棱锥的高为 h ，其顶点到已知截面之距 11 ， 1三等分点为 2O 、3O， 由已知得644221 411 ， 而 ，则 241412 ， 设过 2O 、3S 、3S，底面面积为 S 则 222 )21( ， 16412 2 223 )43( ， 36641693 S ( 2 两截面的面积分别为 216 236 用心 爱心 专心 1 体积计算中的常用方法例析 一、转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积 例 1 在边长为 a 的正方体1 1 1 1A B C D A B C D中， M N P， ，分 别 是 棱1 1 1 1 1A B A D A A， ，上 的 点 ， 且 满 足1 1 112A M A B，112A N 1134A P A A（如图 1），试求三棱锥1A 体积 分析： 若用公式 13V 接计算三棱锥1A 体积，则需要求出 的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥1A 顶点和底面转换一下，变为求三棱锥1P 体积，便能很容易的求出其高和底面1面积，从而代入公式求解 解： 1 1 131 1 11 1 1 1 1 1 2 3 13 3 2 3 2 2 3 4 2 4A M N P P A M N A M S h A M A N A P a a a a 评注： 转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据 二、分割法 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法 例 2 如图 2，在三棱柱1 1 1 B C中， 分别为 C， 的中点，平面11这两部分的体积之比 分析： 截面11部分是三棱台1 1 1 B C；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体 积减去棱台的体积求得 解： 设棱柱的底面积为 S ，高为 h ，其体积 V 则三角形 面积为 14S 由于1 1 1173 4 2 1 2A E F A B h S S h ， 用心 爱心 专心 2 则剩余不规则几何体的体积为1 1 1751 2 1 2A E F A B V S h S h S h ， 所以两部分的体 积之比为1 1 1 : 7 : 5A E F A B 评注： 在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算 年希尧的 视学 透视法的起源应归功于文艺复兴时期的意大利艺术家这时期的艺术家们的观点改变了，不再像中世纪那样把绘画和雕塑的目的局限于为圣经插图、颂扬上帝，而是把描绘现实世界作为目的他们也热心研究几何，其目的是为了把三维的现实世界真实地绘制在二维的画布上，由此产生了透视法 意大利数学家 、艺术家阿尔贝蒂（ 14041472）于 1435 年发表论绘画，阐述了最早的数学透视法原理，引入了投影线和截景等概念他设想在人眼和景物之间插立一张玻璃平板当眼睛（指一只眼）向景物发出投影线时，由投射线和玻璃平板的交点所形成的点集叫做一个截景截景给人的印象就如同景物本身一样因此，如果所作的画和截景一样，就会显得很逼真阿尔贝蒂的透视法逐渐被画家们采用并加以改进 天才艺术家达 芬奇（ 14521519）学识渊博，他十分重视数学的作用他在 绘画实践中，娴熟地运用了数学透视法原理他写了一本谈透视法的书绘画专论书中认为一幅画必须是实体的精确的再现，并坚信运用数学透视法能够做到这一点他认为绘画也是一种科学，因为它揭示了自然界的真实性在达 芬奇的倡导下，学习和应用透视法成为欧洲画家们的自觉行动 中国清代宫廷画师年希尧（？ 1738）从青年时代起就对数学和制图技术有兴趣他在北京时认识了一名意大利画家郎世宁（ 16881766）年希尧向他学习了透视知识，并且从他那里得到一本讲透视的书， 爱不释手深入钻研的结果，他不仅洞悉原著，还 提出 了一些自己的创见于是他以原著为基础，加入自己的见解，并补充了大量的图形，写成了视学一书，于 1729 年出版 视学出版之后，年希尧觉得 “ 终不免于肤浅 ” ，于是继续研究一边和郎世宁 “ 往复再四，究其源流 ” ，一边从中国古籍中寻找相关资料经 “ 苦思力索，补缕五十余图，并附图说 ” ，于 1735 年出了修订版 视学一书最精彩的部分是图形图形分为两大类：直观图（立体图）和平面图直观图从画法原理上看又分轴测图和透视图，平面图分二视图和三视图，其原 理和现代工程制图完全一致年希尧对于透视原理论述清楚，对于投影关系也处理得很好，他想象一个物体悬在空中，各点投影用虚线连接，一看就知道平面上的某个点是物体上哪个点的投影 中国古籍中也有立体图和平面图的画法，始于东汉，现在能看到的如北宋时武经总要的兵器图、新代象法要中的天文仪器图、营造法式中的建筑图等，而且画得越来越好，但是总的来说还比较粗糙，缺乏透视原理的说明，因而显得不够科学因此，年希尧的视学在中国是前无古人的；在世界上也堪称早期画法几何的代表作，比法国数学家蒙日（ 17461818）于 1799 年出版的名著画法几何学早 70 年 想 1 想 阅读： 假设半径为 r 的圆的面积为 2，我们用下面的方法推出圆的周长公式用心 爱心 专心 3 2 如图，设 h 是一个正数，考察半径分别为 r 和 的两个同心圆所围成的圆环（圆中阴影区域）这个圆环的面积为 2 2 2 () 2 B r h r r h h 可以看出，12S B S，其中1h 为宽的矩形面积，2h 为宽的矩形面积 所以有 22 c h rh h C h ，即 2 c r h C 若 h 越来越小（趋于 0），那么大圆的周长 C 趋近于小圆的周长 c ，且 h 趋于 0，因此我们看到 2c r c 从而 2 同学们，你们能用类似的方法证明：假设半径为 R 的球的体积为 34 3那么球面积等于 34R 吗？ 快快开动脑筋想一想，或者同班上的其他同学讨论一下这个问题，相信你们肯定能够得到答案的！ 用心 爱心 专心 1 表面积与体积中的思想方法 数学思想方法是解题的武器，正确运用思想方法可有效的解决数学问题求解几何体表面积与体积的思想有： 一、整体思想 例 1 长方体的全面积为 11，十二条棱长度之和为 24，求这个长方体的对角线长 分析：要求长方体对角线长，只需求长方体的一个顶点上的三条棱的长即可 解：设此长方体的长、宽、高分别为 x y z， ， ，对角线长为 l，则由题意得 2 ( ) 1 14 ( ) 2 4 .x y y z z xx y z ， 由 4 ( ) 2 4x y z ，得 6x y z ， 从而由长方体对角线性质得 2 2 2 2 2( ) 2 ( ) 6 1 1 5l x y z x y z x y y z z x ， 所以长方体的对角线长为 5 点评：（ 1）本题考查了长方体的有关概念和计算，以及代数式的恒等变形能力在求解过程中，并不需要把 x y z， ， 都求出来，而要由方程组从整体上导出 2 2 2x y z，这需要同学们掌握一些代数变形的技巧，需要有灵活性 （ 2）本题采用了整体性思维的处理方法，所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式、整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作整体处理 二、转化思想 例 2 如图 1，长方体1 1 1 1 C D A B C AB a ， BC b ，1BB c，并且0 求沿着长方体的表面自 A 到 1C 的最短路线的长 分析：解本题可将长方体表面展开，利用在平面内两点间的线段长是两点间的最短距离来解答 解：将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图 2，三个图形（甲）、（乙）、（丙）中1 用心 爱心 专心 2 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b c a b ； 2 2 2 2 2( ) 2a b c a b c b c ； 2 2 2 2 2( ) 2a c b a b c a c ， 因为， 0 ，所以 0ab ac 故最短线路的长为 2 2 2 2a b c b c 点评：防止只画出一个图形就下结论，或者以为长方体的对角线 2 2 21A C a b c 是最短路线解答多面体表面上两点间最 短路线问题，一般的都是将多面体表面展开，转化为求平面内两点间线段长 例 3 一个正四棱台两底面边长分别为 （ ），侧面积等于两个底面积之和，则这个棱台的高为（ ） 析：利用直角梯形，转化成直角三角形，结合面积公式求解 解：如图 3，设1O， O 分别为棱台上、下底面中心，1M， M 分别为11中点，连结11则1 过1 H 点，则11M H 114 ( )2S m n M M 侧， 22S S m n 下上 由已知得 2212 ( )m n M M m n ， 所以 221 2 ( ) 用心 爱心 专心 3 在1 ，11 1 ( )2M H O M O M m n ， 所以 2222 2 21 1 11 ()2 ( ) 4m n m O O M M M H m nm n m n 故选 A 点评：在正四棱台中有两个直角梯形值得注意：一是梯形11是梯形11们都可以转化成直角三角形，利用三角形知识求解 三、函数方程思想 例 4 圆锥的底面半径为 2为 4圆锥的内接圆柱的侧面积的最大值 分析：画出轴截面图，在平面中解决 解：图 4 为圆柱和圆锥的轴截面，设所求圆柱的底面半径为 r ，母线长为 l ，侧2S 圆 柱 侧 424， 42 22 2 ( 4 2 ) 4 ( 1 ) 4 4S l r r r r 圆 柱 侧 当 1r 时，圆柱的侧面积最大且 2m 点评：最值问题转化成一元二次函数问题是立体几何与代数相结合的典范，同学们应注意体会函数方程思想的应用技巧 用心 爱心 专心 4 怎样购买西瓜最合算 ？ 一次数学活动课上，老师出了如下一道与西瓜有关的问题：若西瓜以千克计价，购买西瓜时，希望可食 用的部分占整个西瓜的比例越大越好如果一批西瓜的皮厚都是 d （定值），试问买大西瓜还是买小西瓜合算（把西瓜都看作球状，并设西瓜内物质的密度分布是均匀的） ？ 老师的问题一写出，同学们便纷纷议论起来一番热烈的讨论之后，大家便进入了深深地思考和计算渐渐地，答案出来了 王强同学的解答是这样的： 本题“买大西瓜还是买小西瓜合算”的前提是在相同的金额下，即所买的西瓜的重量相等 设金额一定时，可买大西瓜 1 个，小西瓜 k 个大西瓜的半径是 R ，体积为 k 个小西瓜的半径分别为12 kr r r， ， ，体积分别为12 V， ， ， 由于 1 个大西瓜与 k 个小西瓜的重量 P 相等，密度相同， 由密度公式 知， 故有 12 V V 大 ， 由球的体积公式，得 34 3， 3 3 31 2 1 24 ()3 V r r r 3 3 3 312 kR r r r ， 由，知，大西瓜可食用的部分与 k 个小西瓜可食用部分的体积相等，即买大西瓜和买小西瓜一样 李凯同学看完了王强同学的解答后，提出了如下不同的见解 买大西瓜合算 设大西瓜的半径为 R ，则可食用的部分的半径为 ； 小西瓜的半径为 r ，则可食用的部分的半径为 设购买 1 个大西瓜，可购买小西瓜的个数为3 334 34 3大小 于是，由重量相等，密度相同，知 1 个大西瓜的体积与 3个小西瓜的体积相等，设为 V 大西瓜可食用的部分为 3，小西瓜可食用的部分为 3 用心 爱心 专心 5 下面只须考察 33R d r 的符号即可 00R d r ， () 0R d r d d R rR r R r 33 0R d r 故在金额和重量相同的情况下，购买大西瓜合算 以上两位同学的解答，到底谁的正确？老师赞同李凯同学的解答，同学们，仔细想一想你们又赞同谁的解答？为什么？ 用心 爱心 专心 1 不可小视的棱、柱、台三类多面体中四类热点问题 棱、柱、台这三类多面体的计算问题多集中于体积、面积与距离的计算 在此我们集中了四类热点且具有代表性的问题进行剖析与点评 . 一、 等积变换求距离 例 正四面体内任意一点到各面距离之和等于这个正四面体的高。 解题指导 :把正四面体的体积分割成多个小三棱锥体积的和 . 分析 ：如图，设 A 的高，点 1 2 3 4, , ,d d d P B D C P A C D P A B D P B C C D P A B V V V 即 1 2 3 41 1 1 1 13 3 3 3 3B C D A B C A C D A B D B C O S d S d S d S d 正四面体各面是全等的正三角形 1 2 3 411 ()33B C D B C O S d d d d 1 2 3 4d d d d A O 点评： 多面体问题常用技巧有 “割”“补”“等积变换”等 ,利用这些技巧可使问题化繁为易。 二、 几何体中的截面问题 例 2、 圆台的内切球半径为 R,且圆台的全面积和球面积之比为 218,求圆台的上 ,下底面半径12,2 . 解题指导 :利用 圆台的内切球获得截面图形 ,从而可得到圆台母线为 l 与上下底面圆半径12, 解： 如图，设圆台母线为 l ， 则12l r r，由平面几何知识得， 2 2 22 1 1 2( 2 ) ( ) ( )R r r r r 即 2 12R . 又 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )S r r l r r r r r r 圆台全2 1244S R r r球 用心 爱心 专心 2 由题意得， 2 2 21 2 1 212() 2148r r r 即 221 1 2 24 1 7 4 0r r r r 214入 212R ，1 22 2 点评 :(1) 解组合体的关键是注意选择合适的角度画出示意图，通过交点交线来研究问题，正确作出截面，把复杂问题转化为熟悉的 ,较常见的问题 . (2) 轴截面在解决旋转体问题中，有着相当重要的作用 . 三、求几何体被分割 后的体积比 例 三棱柱 111 中 ,若 E,B、 平面 1将三棱柱分成体积为 1V 、 2V 的两部分 ,求 1V : 2V . 解题指导 : 1V 对应的几何体 111 是一个棱台 ,一个底面的面积与棱柱的底面积相等 ,另一个底面的面积等于棱柱底面积的41; 2V 对应的是一个不规则的几何体 ,显然 2V 的体积无法直接表示 ,可以考虑间接的办法 ,用三棱柱的体积减去 1V 来表示 . 解：设三棱柱的高为 h ,底面的面积为 S,体积为 v ， 则 21 E、 B、 1 2744311 2512 故 1V : 2V =7:5. 点评 :本题求不规则的几何体 11 的体积时 ,是通过计算棱柱 111 和棱台 111 的体积的差来求得的 四、相接几何体的体积计算问题 例 轴截面是正方形的圆柱 )的全面积为 S,求其内接正四棱柱的体积 解题指导 要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助我们思考 ,要求内接正四棱柱的体积 ,只需求出等边圆柱的底面团半径 r ,而 r 根据已知条件可以用 解：如上图 ,设等边圆柱的底面半径为 r ,则高 , 用心 爱心 专心 3 22 622S 全侧6 内接四棱柱的底面边长 45s 23329664422 底. 点评 :本题是正四棱柱与圆柱的相接问题解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系 ,如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等 ,正四棱柱的高与圆柱的母线长相等 ,通过这些关系可以实现已知条件的相互转化 斜二测中 的逆向问题 我们知道：斜二测是画平面图形的直观图与空间图形的直观图的一种方法这种画法强调了两种数量关系： （ 1）角的变化 （ 2）长度变化 建立在这个画法的基础上，画出一个平面图形与空间图形的直观图是不成问题的；而建立在直观图的基础上，求与原图形有关的内容，也就是本文所说的逆向问题，你掌握了吗？我们来做做下面几个小问题 1、求线段长度 例 1 如图 1所示，四边形 上底为 2 ，下底为 6 ，底角为 45 的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图 ，在直观图中梯形的高为（ ） 32 1 22 12解 ：按斜二测画法， 得梯形的直观图 ，如图 2所示，原图形中梯形的高 2，在直观图中 1 ，且 45C D E ，作 垂直 x 轴于 E ，则 即为 直观图中梯形的高，那么 2s i n 4 52C E C D ，故正确答案为（） 2、求面积 例 2 一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形，如图 3，则原平面图形的面积为（ ） 43 42 83 82 原图形 与 x 轴平行的线段 斜二测直观图图形 画后对应线段 相等 相等 与 y 轴平行的线段 画后对应线段 缩短为原长的一半 伸长为原长的 2 倍 与 x 轴垂直的直线 与 x 轴夹角 45 或 135 的直线 原图形 斜二测直观图图形 用心 爱心 专心 4 解 ：由斜二测画法可知，原图形是一个平行四边形，且平行四边形的一组对边长为 2 ，在斜二测图形中 22 ，且 45B O A ，那么在原图形中， 90 且42，因此，原平面图形的面积为 2 4 2 8 2，故正确答案为（ ） 评析：本题抓住斜二测画法中平行于 x 轴的线段画为平行于 x 轴，得到了原图形是平行四边形；再结合原图形中垂直在直观图中画为夹角 45 ，得到原图形中的高，从而得到结论 3、画原图形 例 3 如图 4， 是边长为 1 的正方形，又知它是某个四边形按斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形 解 ：由于 是边长为 1 的正方形，则 45D A C 于是取 ， 所在的直线分别为 x ， y 轴 画两条垂直的有向直线，分别为 轴， A 为原点， x 轴上，且 2，再在 y 轴上取点 D ，使 2，取 中点 E ，连结 延长至 B 使 B ，连结 四边形 即为正方形 的原图形，见图 5 至此，可以看出斜二测画法看似是一种比较简单的画图方法，但当我们认真深入其中时，会发现并非都是简单问题逆向斜二测问题有时还真有点难度，必须细心分析，才能保证万无一失 用心 爱心 专心 1 m 几何体表面积与体积的应用 在我们的生活中各种各样的物体，都是由一些简单的几何体组合而成。几何体表面积的大小以及所占空间体积的大小，都与我们的生活息息相关。本文准备从以下几个方面来研究空间几何体的表面积和体积。 1侧面积（表面积）的计算 例 1牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体， 尺寸如图所示。请你计算要搭建这样的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到 解 ：上部分圆锥的母线长为 )(2 m ，其侧面积为)(22251 ， 下部分圆柱的侧面积 )(2 ， 所以，要搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为： 21 2225 )(m答：要搭建这样的一个蒙古包至少需要 点评 ：解实际问题时，要注意区分求的是面积还是体积，是表面积还是侧面积。 2体积相关计算 例 2现有一个长 方体水箱，从水箱里面量得它的深是 30面的长是 25是20水箱里盛有深为 水。若往水箱里放入棱长为 10求现在的水深？ 解 ：设放入正方体铁块后水深为 当放入正方体铁块后，若水面刚好与正方体上面相平时，由25 20 10=25 20a+10 10 10，解得 a=8； 当放入正方体铁块后，若水面刚好与正方体水箱相平时，由25 20 30=25 20a+10 10 10，解得 a=28。 所以，当 80 a 时，放入正方体铁块后没有被水淹没，则25 20h=25 20a+10 10h，解得 h=45a； 当 288 a 时，放入正方体铁块后被水淹没，则 25 20h=25 20a+10 10 10，解得 h=a+2； 当 3028 a 时，放入正方体铁块后水箱里的水将溢出，这时 h=30。 综上所得，)3028(30)288(2)80(45 用心 爱心 专心 2 点评 ：本题是通过体积关系建立方程而求解的。在解题的过程中一定要注意根据实际情形进行分类讨论。 割补寻方求积有法 一、转换法 当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积 例 1 在边长为 a 的正方体1 1 1 1A B C D A B C D中， M N P， ， 分别是棱111满足1 1 1 1 1 1 113224A M A B A N N D A P A A ， ，（如图 1），试求三棱锥1 积 分析：若用公式 13V 接计算三棱锥1 需要求出 的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥1 为求三棱锥1能很容易的求出其高和底面1面积，从而代入公式求解 解：1 1 1- - 1 1 11 1 13 3 2A M N P P A M N A M S h A M A N A P 31 1 1 2 3 13 2 2 3 4 2 4a a a a 评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据 二、分割法 分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法 例 2 如图 2，在三棱柱1 1 1 B 分别为 C， 的中点，平面11这两部分的体积之比 用心 爱心 专心 3 分析：截面11部分是三棱台1 1 1 B C；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得 解：设棱柱的底面积为 S ，高为 h ，则其体积 V 则三角形 面积为 14S 由于1 1 1173 4 2 1 2A E F A B h S S h ， 则剩余不规则几何体的体积为 1 1 1751 2 1 2A E F A B V S h S h S h ， 所以两部分的体积之比为1 1 1- : 7 : 5A E F A B 例 3 如图 3（ 1），在多面体 知 边长为 1的正方形，且、 均为正三角形， B ， 2，则该多面体的体积为（ ） A 23B 33C 43D 32分析：题中所给几何体显然是非简单几何体，不能直接利用现有公式求体积，可考虑将其分割或补成几个常见或熟悉的简单几何体再求体积 解法一：取 中点 G ，连结 B G G C A G D G， ， ，如图 3（ 2），这样将多面体割成正四面体 正四棱锥 212A D E G G B C ， 1 2 23 2 6G A B C ，A B C D E F A D E G G B C F G A B C V V 2 2 22 1 2 6 3 说明：正三角形的面积为 34（边长） 2 ，正四面体的体积为 212（棱长） 3 ，记住这些结论有利于提高解题速度 解法二：延长 B， 交于 H ，延长 C， 交于 G ，如图 3（ 3），得到棱长为 2的正四面体 多面体 平面 正四面体 割成完全相同的两部分中的一部分，所以 31 1 2 222 2 1 2 3A B C D E F E F G 评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积， 再进行计算 蚂蚁 的行程问题 用心 爱心 专心 4 侧面展开图除了可以帮助我们顺利地求几何体的表面积之外，它还可以帮助我们做什么呢？ 问题 1： 如图 1，长方体的长为 12为 6为 5只蚂蚁沿侧面从 点爬行，问：爬到 蚁爬过的最短路程是多少？ 探究： 我们来分析一下蚂蚁的爬行路线： （ 1）当蚂蚁首先沿正对我们的这个面爬行时， 下一步有可能沿上面的面爬行也有可能沿右侧面爬行，为了求得最短路程，我们可以分两种情况展开，如图2，此时，最短路程只可能是连结 线段长 于是，由勾股定理得 221 1 2 ( 5 6 ) 2 6 5 或 222 ( 1 2 6 ) 5 3 4 9 经比较知，此时的最短路程为 265 （ 2）当蚂蚁首先沿下底面爬行时，下一步又有两种可能，即沿里面的面或沿右侧面 如图 3，得 221 1 2 ( 5 6 ) 2 6 5 或 222 ( 1 2 5 ) 6 3 2 5 比较知，此时最短路程为 265 （ 3）当蚂蚁首先沿左侧面爬行时，下一步依然有两种可能，即沿里面的面或沿上面的面 如图 4，得 221 ( 1 2 5 ) 6 3 2 5 或 222 ( 1 2 6 ) 5 3 4 9 此时最短路程为 325 综合（ 1），（ 2），（ 3），知蚂蚁爬过的最短路程为 265 问题 2： 如图 5，圆锥的侧面展开图是半径为 22只蚂蚁沿圆锥侧面从 A 点向 B 点爬行，问：（ 1）爬到 B 点时，蚂蚁爬过的最短路程；（ 2）当爬行路程最短时，求爬行过程中离圆锥顶点 探究： （ 1）从图 5中很难求出蚂蚁爬过的最短路程，我们沿 圆锥侧面展开，得到一个半圆，如图 6，此时， B 是半圆弧的中点，显然，蚂蚁沿弦 行时，爬行的路程最短 由 22C A C B 90，得 4，即蚂蚁爬过的最短路程为 4 用心 爱心 专心 5 （ 2）自 C 作 B 于 D ，则 为爬行路程最短时，蚂蚁离圆锥顶点 C 的最近距离，由于 等腰直角三角形斜边上的高，因此， 1 22B，即蚂蚁离圆锥顶点 C 的最近距离为 2 噢！原来侧面展开图不仅可以帮我们求表面积，还可以帮我们求表面上折线（或曲线）的最小值 用心 爱心 专心 1 例谈空间几何体的表面积和体积 空间几何体的表面积和体积问题是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一。下面，就空间几何体的表面积和体积的常见问题分类解析如下。 1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解，特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的选用。 例 1粉碎机的下料斗是正四棱台形（如图 1），它的两底面边长分别是 高是 计算制造这一下料斗所需铁板是多少？ 分析： 问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求斜高，可在有关的梯形中求出斜高。 解： 如图 1 所示， 1是两底面中心，则 1高，设 1 斜高， 1 ，在直角梯形 1 中， 2211 21121 )( )(2 6 9)2 804 4 0(2 0 0 22 ， 因为边数 4n ，两底边长 2 6 9,80,4 4 0 / 高， / )(21)(21 正棱台侧 )(0440(421 25 。 答：制造这一下料斗约需铁板 25108.2 。 评注： 正棱台的侧面展开图是由若干全等的等腰梯形组成的，其侧面积公式为/ )(21 正棱台侧 ，其中 / 两底面周长，、 是正棱台的斜高。 2、圆柱、圆锥、圆台的表面积和