哈尔滨工程大学试卷2001级

哈哈尔尔滨滨工工程程大大学学试试卷卷2001 级级 一、一、填空题（每题 3 分，共 15 分） 1 01 2 1 0 n n 2 1 12 35 3已知 123 , 是四元方程组AX b 的三个解，其中 3,rankA 且 1223 (1,2,3,4) ,(4,4,4,4) TT ，则方程组AX b 的通解为 4设 123 , 是空间V的一组基，则由 112123 , 到 123 , 的过渡矩 阵为 5已知三阶方阵A的三个特征值分别为1,2,3，则 2 2AE 二、二、选择题（每题 3 分，共 15 分） 1已知 ,A B为n阶方阵，则下列性质不正确的是 ( )A ABBA ( ) ()()BAB CA BC ( ) ()CAB CACBC ()()D C ABCACB 2下列各向量线性相关的是 123 ( )(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A 123 ( )(1,2,3),(4,5,6),(2,1,0)B 12 ( )(1,2,3),(2,4,5)C 123 ()(1,2,2),(2,1,2),(2,2,1)D 3已知方程组AX b 对应的齐次方程组为 0AX ，则下列命题正确的是 ( )A 若 0AX 只有零解，则AX b 一定有唯一解 ( )B 若 0AX 有非零解，则AX b 一定有无穷解 ( )C 若AX b 有无穷解，则 0AX 一定有非零解 ()D 若AX b 有无穷解，则 0AX 一定只有零解 4设 ,A P阶可逆方阵，下列矩阵中 必与矩阵A具有相同的特征值。 ( )A AE ( ) T B P AP ( )C AE 1 ()D P AP 5下列二次型正定的是 222 12311223 ( )( ,)22A f x xxxx xxx 22 12312 ( )( ,)2B f x xxxx 22 1231122 ( )( ,)22C f x xxxx xx 222 12311223 ()( ,)22D f x xxxx xxx 三、三、计算题（每题 8 分，共 48 分） 11计算行列式 1111 1200 1030 1 100n 22已知3 2ABC ，其中 125703 , 312534 AC ，求B。 33求向量组 1234 (1,2,3),(2,1,4),(0,3,2),(1,5,5) 的秩和一个 极大无关组。 44已知 3 阶方阵A的三个特征值为 1，1，2，对应的特征向量分别为 123 (1,2,1) ,(1,1,0) ,(2,0, 1) TTT ，求A。 55用配方法化二次型 22 123112223 ( ,)222f x xxxx xxx x 为标准型，并 求出所用的非退化变换阵。 66求方程组 12345 12345 0 22340 xxxxx xxxxx 基础解系。 四、四、用正交变换法化二次型 222 123112132233 ( ,)322323f x xxxx xx xxx xx 为标准型，并求出所用的 正交变换阵。 （14 分） 五、五、证明题（每小题 4 分，共 8 分） 11已知 , ,A B AB均为n阶对称阵，求阵AB BA。 22设A为m n 矩阵，且rankA n ，求证： T A A为正定阵。 参考答案 一、一、填空题 1 1 ( 1)! n n 2. 52 31 3. (3,2,1,0)(2,2,2,2) T xk ,k为任意常数 4. 110 011 001 5. 14 二、二、选择题 1A 2. B 3. C 4. D 5. A 三、1 2 1 !(1) n i n i 2 239 1 (3 ) 2352 BCA 3秩为2，极大无关组为 12 , （四个中任意两个均可） 4令 1121 210 ,1 1012 P ，则有 1 322 010 110 AP P 5 222 12312233 ( ,)()()f x xxxxxxx ，令 121 232 33 xxy xxy xy ，即 111 011 001 XY 222 123 fyyy ，所有非退化变换阵为 111 011 001 6 11012 00121 A ，从而基础解系为 123 ( 1,1,0,0,0) ,( 1,0, 2,1,0) ,(2,0,1,0,1) TTT 三、三、二次型对应的矩阵 311 131 113 A ， 2 (5)(2)EA 5 时解得对应的特征向量为 1 (1,1,1)T ， 2 时解得对应的特征向量为 22 (1, 1,0) ,(1,0, 1) T 将 123 , 正交化并规范化得 1 333 (,) 333 T ， 2 22 (,0) 22 T ， 3 666 (,) 663 T ， 则正交变换阵为 326 326 326 326 36 0 33 P ， 222 123 522fyyy 五、证明题 1 ()T TT ABABB