大学物理答案第十八章

第十八章 波动光学 18-1 由光源 S 发出的=600nm 的单色光，自空气射入折射率 n=1.23 的一 层透明物质，再射入空气(如图 18-1)，若透明物质的厚度为=1.00cm,入射角d =，且 SA=BC=5.00cm.求:（1）为多大?（2）此单色光在这层透明物质 30 1 里的频率、速度和波长各是多少？(3)S 到 C 的几何路程为多少？光程为多少？ 分析 光在不同介质中传播的频率相同， 但波长和波速不相同而要把光在不同介质中 所走的路程都折算为光在真空中的路程，以便 比较光在不同介质中所走的路程这就引入 了光程介质中某一几何路程的光程，相当于 光在走这段路程的时间内在真空中走过的路 程 解 （1）由折射定律 sin sin 1 n n空 得 46 . 2 1 2 1 23 . 1 1 sinsin 1 n n空 24= 1 (2)分别以、表示光在透明物质中传播的速度、频率和波长， v1 1 1 则 m/s 8 8 1 1044 . 2 m/s 23 . 1 103 n c v 又光在不同介质中传播的频率相同，即 Hz 14 10_ 8 1 105Hz 106000 103 c m 7_ 14 8 1 1 1088 . 4 m 105 1044 . 2 v (3)从 S 到 C 的几何路程为 cm 1 . 11cm5cm 24cos 1 cm5 cos 1 BC d SA S 到 C 的光程 cm 3 . 11cm51cm 24cos 1 123 . 1 cm51 cos S 1 BCn dn An 空空 18-2 在杨氏双缝干涉实验中，双缝间距 d=0.500mm,缝与屏相距 S 空气 A d n B 1 空气 C 图 18-1 D=50.0cm,若以白光入射，(1)分别求出白光中nm 和nm 的两400 1 600 2 种光干涉条纹的间距；（2）这两种波长的干涉明纹是否会发生重叠？如果可能， 问第一次重叠的是第几级明纹？重叠处距中央明纹多远？ 分析 本题的难点在于如何理解“重叠”若屏上某一位置同时满足两 种波长明纹出现条件，则发生明纹重叠. 解 （1）据（18-3）式， 和 所产生的干涉明纹的间距各为 1 2 mm4 . 0mm 5 . 0 10400500 6 11 d D x mm6 . 0mm 5 . 0 10600500 6 22 d D x (2) 据（18-1）式，杨氏双缝实验中，明纹到屏中心的距离为 d D kx2 , 1 , , 0k 在 x 处两种波长的明纹重叠，即 2211 k d D k d D x 1 2 2 1 k k 由已知 2 3 400 600 1 2 故 2 3 2 1 k k 所以在 处都可能发生重叠.nknk2,3 21 , 2 , 1n 当，即 时发生第一次重叠，重叠处距中央明纹的距离为1n2, 3 21 kk mm2 . 1mm 5 . 0 104003500 9 11 k d D x 18-3 在劳埃德镜中，光源缝 S0 和它的虚象 S1 位于镜左后方 20.0cm 的 平面内(如图 18-3)，镜长 30.0cm,并在它的右边缘放一毛玻璃屏幕.如果从 S0 到镜的垂直距离为 2.0mm, ,试计算从右边缘到第一最亮纹的距离.nm720 分析 讨论劳埃德镜还有一个重要意义，就是验证光从光密介质表面反射 时有半波损失.劳埃德镜实验中，相邻 明纹的间距也为 ，平面镜 d D x 右边缘与毛玻璃屏接触处为暗纹. S0 2.0mm s1 20.0cm 30.0cm 图 18-3 解 据（18-3）式，劳埃德镜实验中相邻明纹或相邻暗纹的间距为. d D 据题意，平面镜右边缘与毛玻璃屏接触处为暗纹，其到第一级明纹中心的 距离为 cm 3 1 5 105 . 4cm 104 102 . 750 2 1 2 1 d D x 18-4 在菲涅耳双镜中，若光源离两镜交线的距离是 1.00m, 屏距交线 2.00m,所用光波的波长为 500 nm，所得干涉条纹的间距为 1.00mm, 试计算两 反射镜的夹角. 解 sin1cos rLDrd2 由(18-4)式,干涉条纹间距 r rL d D x 2 故 rad 9 10500 001 . 0 12 12 2 xr rL rad105 . 7 4 18-5 如图 18-5(a)所示的杨氏双缝实验中,P 点为接收屏上的第 2 级亮斑 所在.假设将玻璃片（n=1.51）插入从发出的光束途中，P 点变为中央亮斑， 1 S 求玻璃片的厚度.又问此时干涉图样是向上移还是向下移.设入射光是波长为 632nm 的氦氖激光. 分析 本题突出光程数值上等于介质的折射率乘以光在该介质中的几何路 程.光连续通过几种介质时的光程，等于在各种介质中光程之和.讨论在 S1P 中 加入玻片条纹上移还是下移时可以这样分析：以中央明纹为研究对象，不加玻 片时，中央明纹出现在P点，有，加了玻片中央明纹出现在点，也PP 21 SS P 应有到的光程等于到的光程.加玻片后，欲维持与的 1 S P 2 S P P 1 S P 2 S 光程相等，只有缩短的几何路程.所以中央明纹上移，从而推出整个条 P 1 S l 1 r 1 r S1 P r2 S2 （c） r1 S1 P r2 S2 （b） 图 18-5 S1 P S2 (a) 纹上移. 解 据题意，整个装置放在空气中.设未加玻璃片时、到 P点几何路 1 S 2 S 程分别为 、，如图(b)所示，据相干条件,第 2 级亮纹出现的条件是 1 r 2 r (1) 2 12 rr 如图(c),加上厚度为 的玻璃片时，到P点的光程差为l 1 S nllrrnlr 111 到 P点光程仍为 r2. 二者的光程差 2 S lnrrnllrr1 12122 据题意，加上玻璃片后P点变为中央亮斑，根据相干条件即 (2) 01 122 lnrr 由(1)式-(2)式得 21 ln 玻片厚度 m1048 . 2 m 151 . 1 106322 1 2 6 9 n l 且条纹上移. 18-6 观察肥皂膜的反射光时，皂膜表面呈绿色.若膜的法线与视线间夹角 约为，试估算膜的最小厚度.设肥皂水的折射率为 1.33，绿光波长为 500nm. 30 分析 这是利用入射光在薄膜上下 表面反射产生的双光束实现干涉. 观察 肥皂膜的反射光时，皂膜表面呈绿色， 说明绿光经皂膜上下两表面反射后干涉 加强. 涉及到反射，需考虑反射光是否 有半波损.因皂膜折射率 n=1.33,周围介 质为空气=1, 所以只有从皂膜上表面 n 反射的反射光有半波损. 膜的法线与视 线间间有夹角，即入射光以 30i 入射到薄膜上，因而需利用（18-8）式. 30i 解 如图 18-6,从膜上表面反射的反射光有半波损失，现 nm500 ,30 , 1 ,33 . 1 inn 据（18-8）式反射加强条件为 30 30 1n d n=1.33 1n 图 18-6 （k=1，2，） kinnd 2 sin2 222 d 为最小值时 k=1，得 18-7 在空气中有一厚度为 500nm 的薄油膜（n=1.46）,并用白光垂直照射 到此膜上，试问在 300nm 到 700nm 的范围内，哪些波长的光反射最强？ 分析 此题与上题类似，只是考虑的波长范围更宽些，且为垂直入射 ，因而反射光干涉加强的条件为 （k=1，2，）. 90i knd 2 2 解 在油膜上表面反射的光有半波损，垂直入射,据(18-8)式,反射 90i 光加强的条件为 （k =1，2，） knd 2 2 入射光波长为 12 102920 12 1050046 . 1 4 12 4 99 kkk nd 当 k=3 时，nm, k=4 时nm, k=5 时nm，k=6 时584 3 417 4 324 5 nm,所以在 300-700nm 范围内波长为 584nm，417nm，324nm 的光反266 6 射最强. 18-8 白光透射到肥皂水薄膜(n=1.33)的背面呈黄绿色(=590nm),若这 时薄膜法线与视线间的角度为,问薄膜的最小厚度是多少? 30i 分析 入射光在两介质分界面发 生反射，透射光的强度相应减弱.根 据能量守恒定律，反射光最强必然 透射光最弱，反之亦然.皂膜置于空 气中，要使 590nm 波长光的透射最 大，其等价的讨论是 590nm 光反射 最小的条件.现直接从下表面透射出 的光无半波损失, 经下、上表面两 次反射后又从下表面透射出的光也 无半波损是失. 本题有两种解法： 一是求反射光中=590nm 减弱对应 的膜厚；二是直接求透射光加强对应的膜厚. 解 如图 18-8, 直接从下表面透射出的光无半波损失, 经下、上表面两次反 射后又从下表面透射出的光也无半波损失.透射光的相干条件为 1n d n=1.33 1n 30 图 18-8 m1001 . 1 m 4 1 33 . 1 2 10250 30sin2 27 2 9 22 min n d (k=1,2) 加强kinnd 222 sin2 (k=0,1,2) 减弱 2 ) 12(sin2 222 kinnd 透射光加强 k=1 时,d 有最小值,为 18-9 激光器的谐振腔主要由两块反射镜组成，射出激光的一端为部分反射 镜，另一端为全反射镜.为提高其反射能力，常在全反射镜的玻璃面上镀一层膜， 问为了加强反射，氦氖激光器全反射镜上镀膜层的厚度应满足什么条件？膜的 最小厚度为多少？（设激光器发射的激光波长 =632.8nm，玻璃的折射率 n1 =1.50，膜的折射率为 n2 =1.65） 分析 如图 18-9, n2 =1.65 材料组成薄膜,薄膜上方为空气 n =1，薄膜下 方为玻璃 n1 =1.50.需仔细分析从膜的上下表面反射的反射光半波损失情况. 解 如图 18-9,只有在空气与膜的n 2 n 1 n 分界面反射的反射光有半波损失. 设膜厚为 d，在膜上下表面反射的双光束反射加 强的条件是 (k=1,2,) kdn 2 2 2 解出 9 . 95) 12( 65 . 1 4 8 . 632 ) 12( 4 12 2 kk n kd k=1 时膜最薄，最小膜厚为 nm 9 . 95 min d 18-10 可见光谱中心可视为波长为 550nm 黄绿光.若想提高照相机镜头对 该波段的透射率，可在镜头表面镀氟化镁薄膜.已知氟化镁折射率为 1.38,玻璃 折射率 1.50,镀膜的最小厚度需为多少？ 分析 与 18-8 题类似.注意薄膜由氟化镁构成，从薄膜上、下表面反射的 两束光都有半波损失. 解 在膜的上下表面反射的光均有半波损失，所以两反射光的光程差为 .使反射最小即透射最强的条件为 nd2 （k=0,1,2） 2 ) 12(2 knd 令 k=0 n=1 空气 d n2=1.65 n1=1.50 图 18-9 m1039. 2m 4 1 33. 12 10590 30sin2 7 2 9 22 min n d mm 5 min 1096 . 9 2 2/ n d 18-11 ，利用劈尖空气气隙造成的等厚干涉条纹，可以测量精密加工工件表 面的极小纹路的深度.测量方法是：把待测工件放在测微显微镜的工作台上（使待 测表面向上） ，在工件上面放一平玻璃（光学平面向下） ，以单色光垂直照射到玻璃 片上，在显微镜中可以看到等厚干涉条纹.由于工件表面不平，在某次测量时，观 察到干涉条纹弯曲如图 18-11（a）所示.试根据弯曲的方向，说明工件表面上的纹 路是凹还是凸，并证明纹路深度H可用下式表示: 2 b b H 分析 从条纹局部的弯曲方向判断工件表面缺陷，要抓住等厚条纹是劈尖 等厚点的轨迹.条纹局部弯向棱边，表明条纹弯的部分和直的部分对应同一膜厚， 所以工件表面有缺陷的地方膜厚度增加,故工件的缺陷为凹痕. 图 18-11 解 相邻两明纹(暗纹)对应的空气劈尖厚度差为 2 d 由图 18-11（b）知 b H b d 纹路深度为 2 b b d b b 条纹局部弯向棱边，故工件的缺陷为凹痕. 18-12 在两叠合的玻璃片的一端塞入可被加热膨胀的金属丝 D 使两玻璃片 成一小角度，用波长为 589nm 的钠光照射，从图 18-12（a）所示之劈尖正上方 的中点处（即L/2 处） ，观察到干涉条纹向左移动了 10 条，求金属丝直径膨胀 了多少？若在金属丝 D 的上方观察又可看到几条条纹移动？ 分析 金属丝直径膨胀时迫使空气劈形膜厚度增加，干涉条纹向左移动,这样 原来出现在膜较厚处的条纹自然要 向棱边移动（左移）. b b 待测工件 （a） b b d H （b） L d l d l （b） 图 18-12 解 如图 18-12（b） ，设在L/2 处， 膨胀前膜厚为 d,膨胀后膜厚为. d 2 10 dd 又因三角形相似 2 L L dd ll 金属丝直径的膨胀为 nm=mm5890 2 102)(2 ddll 3 1089 . 5 D 处劈尖厚度每增加（即直径每膨胀） ，条纹移过一条, 金属丝直 2 2 径膨胀了mm，所以在 D 上方看到的条纹移动为 20 条. 3 1089 . 5 18-13 块规是一种长度标准器，为一钢质长方体，两端面经过磨平抛光精 确地相互平行.图 18-13（a）中 A 是一块合格块规，两端面间距离为标准长度. B 是与 A 同一规号的待校准块规.校验时将 A、B 置于平台上，用一平玻璃盖住， 平玻璃与块规端面间形成空气劈尖.（1）设入射光的波长为 589.3nm,两组干涉 条纹的间距都是 L=0.55mm,A、B 间距 d=5.00cm,试求两块规的高度差；（2） 如何判断 B 比 A 长还是短？（3）现观察到平玻璃与 A、B 形成的干涉条纹间 距分别为 L=0.55nm 和L=0.30nm,这表明 B 的加工有什么缺陷？如 B 加工合格 应观察到什么现象？ 分析 这题是劈尖干涉的综合题.可以对劈尖干涉作一总结. 图 18-13 解 （1）如图 18-13（b） ，因两组条纹间距相等为mm55 . 0 L d h L 2 L D （a） 1 2 A B d (c) A B d （a） a b h c d A B d (b) m1068 . 2 m 1055 . 0 10510 3 . 589 5 3 29 h (2)如图 18-13(b)，两块规有可能与平玻璃接触的位置分别标以 a、b、c、d轻压平玻璃,如 b、d 两处暗纹位置不变,则 B 比 A 短;如 a、c 两 处暗纹位置不变，则 B 比 A 长. (3)如图 18-13（c） ，据题意有 2 sinsin 2211 LL 21 LL 12 表明 B 与平玻璃间的间隙较大，B 的上端面有向左下斜的缺陷，如图 18- 13（c）. B 加工合格，在平玻璃上方将看不干涉条纹. 18-14 当牛顿环装置的透镜与平面玻璃间充以某种折射率小于玻璃的液体 时，某一级暗环的直径由 1.40cm 变为 1.27cm,求液体的折射率. 分析 牛顿环也是等厚干涉，与劈尖比较，形成牛顿环的薄膜等厚点的轨 迹是以接触点为圆心的同心圆.故干涉条纹为同心圆环.（18-12） 、 （18-14）式 给出充以空气时环的直径和半径. 若充以某种流体，可推出第 k 级暗环半径 (n 为所充流体的折射率). n k r 解 当透镜与平面玻璃间介质的折射率为 n（小于玻璃的折射率）时，从 介质上下表面反射的光的光程差为，据（18-9）式出现第级暗环 2 2 ndk 条件为 2 ) 12( 2 2 knd 将（18-13）式 代入上式，得第级暗环半径为 R r d 2 2 k n kR r 设空气折射率为,第级暗环直径为，充以折射率为的液体，第级暗 1 nk 1 D 2 nk 环直径为，则 2 D 1 2 2 2 2 1 n n D D 22 . 1 1 27 . 1 40 . 1 2 1 2 2 1 2 n D D n 18-15 如图 18-15（a） ，平玻璃与柱面凹透镜组成空气隙.若用波长为的 平面单色光垂直照射，在空气隙上下表面反射的反射光形成等厚干涉条纹，设 隙间最大高度为（1）试画出干涉暗纹的形状、疏密情况，并标明级次；47 （2）若把柱面凹透镜换为球面凹镜，气隙高度仍为又如何？ 47 图 18-15 分析 圆柱面透镜沿母线切开，取其凸面为柱面凸透镜，取其凹面为柱面 凹透镜，也可两柱面都是圆柱形. 解本题要抓住以下几点：(1)干涉条纹的形状： 平玻璃与柱面凹透镜组成空气隙，空气隙等厚点的轨迹是与柱面凹透镜母线平 行的直线，所以干涉条纹也是与母线平行的直线.把柱面凹透镜换成球面镜，显 然条纹应为同心圆；(2)考虑从空气隙上下表面反射的两束光是否有半波损；(3)判 明膜厚 d=0 处为明纹还是暗纹. 现只有一束反射光有半波损失，所以 d=0 处 （左右棱边）为暗纹.这三条对解劈尖干涉题同样重要. 解 （1）截面图如图 18-15(b). 从空气隙上表面反射的光无半波损， 从空气隙下表面反射的光有半波损失， 所以在气隙厚度为 d 处反射的双光束的 光程差为 2 2 nd 相干条件为 明纹, 2 , 1 2 2kknd 暗纹, 2 , 1 , 0 2 12 2 2kknd 左右棱边处为暗纹. 处对应的级次为0d 4 7 d 4 2 8 24 7 2n d 4 7 (b) 4 7 （a） 明 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 暗 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 图 18-15 (c) . 的明纹为4k 可见，的取值由两棱边向中央气隙厚度最大处递增.k 与牛顿环的讨论相仿，知干涉条纹到气隙最厚处的距离 r 与气隙厚度 d 的 成正比，即 r 的增加速率小于气隙厚度的增加速率,因此条纹内疏外密.干d 涉条纹是平行棱边的直线,条纹示意图如图 18-15(c). (2)换成球面镜时，球面镜与平玻璃所成空气隙等厚点的轨迹是同心圆， 所以干涉条纹是以 为中心的同心圆，其余讨论与柱透镜同. 4 7 18-16 在牛顿环实验中，两平凸透镜按图 18-16（a）配置，上面一块是标 准件，曲率半径为 R1 =550.0cm,下面一块是待测样品.入射光是波长为 632.8nm 的氦氖激光，测得第 40 级暗环的半径为 1.0cm,求待测样品的曲率半 径. 分析 实为两个曲率半径不等的凸透镜叠合.空气隙的厚度为两个平凸透 镜分别与平玻璃组成的气隙厚度之和. 解 牛顿环第级暗环出现的条件为k 212 2 2 kd 即 kd 2 （1） 如图 18-16（b） ，从（18-13）式得膜厚 1 2 1 2r r d k 2 2 2 2r r d k 21 2 21 11 2RR r ddd k 21 2 11 2 RR rd k （2） （2）式代入（1）式得 k RR rk 21 2 11 待测样品的曲率半径为 m838. 5 m 10550 1 101 108 .63240 1 1 1 22 2 9 1 2 2 Rr k R k 18-17 如果迈克耳孙干涉仪中反射镜移动距离 0.233mm, 则数得的条 2 M 标准件 待测件 （a） O R1 d1 rk d rk d2 R2 O （b） 图 18-16 纹移动数为 792，求所用的光波的波长. 分析 迈克耳孙干涉仪是利用分振幅法产生双光束以实现干涉.在书 p.120 图 18-17 中，垂直可演示等倾干涉，与不严格垂直可演示等厚干 2 M 1 M 2 M 1 M 涉.因而前面关于等倾干涉、等厚干涉的讨论对迈克耳孙干涉仪都适用. 解 每移动 ,条纹平移过一条. 2 M2 移过的距离 2 M 2 nd 所用的光波的波长为 588.4nmmm10884 . 5 mm 792 233 . 0 22 4 n d 18-18 迈克耳孙干涉仪的两臂中，分别放入长 0.200m 的玻璃管，一个抽成 真空，另一个充以 1atm 的氩气.今用汞绿线=546nm 照明，在将氩气徐徐抽出 最终也达到真空的过程中，发现有 205 个条纹移过视场，问 分析 参阅 18-5 题，再考虑到光是来回两次通过臂，所以从充氩气到抽 完氩气过程中，光程的改变为.ln) 1(2 解 设玻璃管长为 ,并忽略两端管壁的厚度.由迈克耳孙干涉仪原理知，l 抽气前后光程的改变为，据题意有，氩气在 1atm 时的折ln) 1(2Nln ) 1(2 射率为 =1.00281 2 . 02 10546205 1 2 9 l N n 18-19 波长为 700nm 的红光正入射到一单缝上，缝后置一透镜，焦距为 0.700mm.在透镜焦距处放一屏，若屏上呈现的中央明条纹的宽度为 2.00mm, 问该缝的宽度是多少？假定用另一种光照射后，测得中央明条纹的宽度为 1.50 mm,求该光的波长. 分析 正入射是指光源在透镜的焦平面上，线光源平行于缝长方向，且经 过透镜的主焦点.参阅书 p.127 图 18-26,用菲涅耳半波带法处理单缝衍射时， 经过宽为 b 的单缝上下边缘两束光的光程差为 AC= ( 为衍射角).要sinb 体会用半波长分割 AC 后，过分点作平行 BC 的平面，单缝上的波阵面便被分 为等数的面积相等的波带称为半波带.半波带上各点为新的子波源，相邻半波带 上对应点发出的相干光到达屏时相位差为.书 p.129 图 18-28 又提示，中央明 纹的宽度为正负一级暗纹间距离，第一级明纹宽度为第一级暗纹与第二级暗纹 间距离，以此类推. 解 中央明纹的宽度为,为正负一级暗纹之间的距离.又因级次低，很 0 l 小,有 f l 2 tansin 0 对第一级暗纹 sinb 代入上式 =0.49 mmm109 . 4 102 7 . 01070022 4 3 9 0 l f b 对应另一种光, 中央明纹宽度为 mm 时5 . 10l mm =525nm 4 3 0 1025. 5 107 . 02 5 . 149. 0 2 f al 18-20 一单缝用波长为 和 的光照明，若的第一级衍射极小与的 1 2 1 2 第二级衍射极小重合.问：（1）这两种波长的关系；（2）所形成的衍射图样中， 还有哪些极小重合？ 分析 题目练习两条：(1)不同波长、不同级次的衍射条纹,在它们的衍射 角相同时重合；(2)单缝衍射出现极大值、极小值的条件. 解 （1）单缝衍射产生极小值的条件是 (k=1,2,) kbsin 设重合时衍射角为，则 2 1 2sin sin b b (1)式(2)式联立,解出 21 2 （2）设衍射角为时，的级衍射极小与的级衍射极小重合，则 1 1 k 2 2 k 22 11 sin sin kb kb 由第一问得出，代入得 21 2 2221 2kk 21 2kk 即当时两种光的衍射极小重合. 21 2kk (1) (2) 18-21 在单缝衍射实验装置中，用细丝代替单缝成为衍射细丝测径仪.已知 光波波长为 630nm，透镜焦距为 50.0cm.今测得中央明纹的宽度为 1.00 cm， 试求细丝的直径. 分析 衍射是波前进过程中,遇到障碍物波阵面受到限制而产生的现象.单 缝衍射的障碍物是缝屏,本题的细 丝也是障碍物. 若细丝的直径与 光波波长可以比较，光通过时会 看到衍射现象，细丝直径相当于 单缝宽. 解 如图 18-21，细丝直径相 当于单缝宽b.设 x1为第一级暗纹 与中心点 P0的距离,中央明纹宽度 为 110 tan22fxl 对低级次很小，有 1 11 tansin b ffl 2sin2 10 细丝直径为 mm063 . 0 mm 01 . 0 106305 . 022 9 0 l f b 18-22 波长为 500nm 的单色光，以 30 入射角入射到光栅上，发现正入射 时的中央明纹位置现变为第二级光谱的位置.若光栅刻痕间距 mm.（1）求光栅每毫米有多少条刻痕？（2）最多可能看到几级 3 100 . 1 d 光谱？（3）由于缺级，实际又看到哪几条光谱线？ 分析 斜入射是指光源在透镜的焦平面上，线光源平行缝长方向，但光源 不经过透镜的主焦点. 这样光栅相邻两缝对应光线到达屏的光程差还应包含入 射光的那部分.本题涉及衍射光栅几个基本问题：光栅方程；当衍射角= 时，对应最高级次；光栅衍射图样的缺级现象. 90 max k 解 （1）由例题 18-6，入射角为 时光栅相邻两缝对应光线到达屏的光 30 程差为 sin)(30sin)(bbbb 对于第二级光谱 2sin)(30sin)(bbbb 因该光谱位置为原正入射时中央明纹位置，则 1 x 1 b P0 f 图 18-21 0 30sin 2 bb 光栅刻痕数为 条/mm500/mm 1052 5 . 0 2 30sin1 4 条 bb N 又最高级次对应衍射角.设最高级次为 max，即 90k max 90sin)(30sin)(kbbbb N bb k 90sin30sin90sin30sin max 6 105500 15 . 0 4 最多可能看到 6 级光谱. （3）光栅常数 m 6 3 102m 500 101 bb 满足下式为缺级k , 2, 1 kk b bb k 而 2 101 102 6 6 b bb 即 kk 2 级为缺6, 4, 2k 故实际可以看到光谱线是 共 7 条 . 5, 3, 1, 0 18-23 一平面单色光投射于衍射光栅，其方向与光栅的法线成 角.法线 两侧与法线分别成和角的方向上出现第一级光谱线.（1）求角；（2） 11 53 用衍射角表示中央明纹出现的位置；（3）计算斜入射时在光栅法线两侧有可能 看到的最高级次. 分析 本题也是斜入射问题.题目没有给出两衍射光与入射光在光栅平面 法线的异侧还是同侧，可分别假设一种配置，判断所得角是否合理,从而决定 取舍. 第三问的计算表明与入射光同侧的光谱项有可能获得更高级次. 在实际 工作中，通过加大入射角以期获得光栅较高的分辨率. 解 （1）先设衍射角为和的衍射光位置如图 18-23，此时的衍射 11 53 11 光与入射光在光栅平面法线的同侧，衍射 11 角为正；衍射角的衍射光与入射光在光 53 栅平面法线的两侧，衍射角为负（参考 53 书 p.139 例题 18-6 关于正负号的说明）.又 入射角为，据已知光栅方程写为 )2(11sinsin ) 1 (53sinsin bb bb (1)式(2)式联立,解出 3039 . 0 11sin53sin 2 1 sin 7 . 17 再设衍射角为的衍射光与入射光在法线同侧，从相应光栅方程解出 53 ，这样0,不合题意舍去.所以合理的配置是角的衍射光 53sin11sin 2 1 sin 11 与入射光在法线同侧,入射角. 7 . 17 （2）中央明纹对应的衍射角为，有 7 . 17 0sinsin 0 0 即入射光与中央明纹分列在法线两侧. （3）当衍射角为时，对应最高级次. 90 如图 18-23，与入射光同侧的光谱项的最高级次 k 满足下式 11sinsin 90sin7 .17sin bb kbb 解出 264. 2 11sin 7 . 17sin 90sin 7 . 17sin k 与入射光异侧的光谱项的最高级次满足下式 k 53sinsin 90sin 7 . 17sin bb kbb 解出 141 . 1 53sin 7 . 17sin 90sin 7 . 17sin k 在入射光同侧有可能获得更高级次光谱项. 53 11 图 18-23 18-24 一束光线正入射到衍射光栅上，当分光计转过角时，在视场中可 看到第三级光谱内的条纹.问在同一角上可看见波长在可见光范围nm440 内的其他条纹吗？（可见光的波长范围为 400nm-760nm） 分析 题目“在视场中可看到第三级光谱内=400nm 的条纹”一句给出 值，现寻求在 400nm-760nm 范围内满足光栅方程的和值.sin bb k 解 据光栅方程 kbbsin 得 nm13204403sinbb 若 ,则 2knm66021320 2 若 ,则 1knm700nm132011320 1 可见到第二级的条纹.nm660 18-25 宇航员瞳孔直径取为 5.0mm，光波波长=550nm.若他恰能分辨距 其 160km 地面上的两个点光源.只计衍射效应，求这两点光源间的距离. 分析 根据瑞利准则，当两个物点刚能被分辨时，这两物点的艾里斑中心对 透镜光心的角距恰好等于艾里斑的角半径.人的瞳孔如同一透镜. 0 解 恰能分辩时，两点光源对瞳孔的张角为 0 d 22. 1 0 地面两点光源的距离 m 4 . 21m10510550106 . 122. 122 . 1 3 93 0 d f fl 18-26 如图 18-26（a）所示，在透镜 L 前 50m 处有两个相距 6.0mm 的发 光点 a 和 b.如果它们在 C 处所成的像正好满足瑞利准则，透镜焦距为 20cm， 试求 C 处衍射光斑的直径. 图 18-26 分析 取恰能分辨时两物点艾里斑中心的距离为艾里斑半径.本题给出物距 和焦距，必然用到成像公式 . fu 111 v L a s s b C （b） L a b C （a） 解 如图 18-26（b） ， 在恰能分辨时，两个艾里斑中心的距离等于各个艾 里斑半径.设衍射光斑直径为，艾里斑半径为d 2 d s 根据薄透镜成像公式 fu 111 v m m 50u2 . 0f u s m2 . 0 fv v s 衍射光斑直径为 m108 . 4m 50 2 . 0100 . 622 22 5 3 u sf sv 18-27 以波长为 0.11nm 的 X 射线照射岩盐晶面，实验测得在 X 射线与 晶面的夹角（掠射角）为 时获得第一级极大的反射光，问：（1）岩盐0311 晶体原子平面之间的间距 d 为多大？（2）如以另一束待测的 X 射线照射岩盐 晶面，测得 X 射线与晶面的夹角为时获得第一级极大反射光，则待测的0317 X 射线的波长为多少？ 分析 晶体构成光栅常数很小的空间衍射光栅.X 射线通过晶体时，将部分 地被晶体中的原子散射.强度最大的散射光线的相互干涉，服从布拉格公式.本 题第（1）问是在做 X 射线结构分析实验. 解 据布拉格公式 kdsin22 , 1k (1)当 时30111k 岩盐晶体原子平面之间的间距为 cm10759 . 2 cm 3011sin2 101 . 1 sin2 8 8 k d (2)当 时，待测的 X 射线的波长为3017 1k nm1659 . 0 nm3017sin10759 . 2 2sin2 8 d 18-28 对于同一晶体，分别以两种 X 射线实验，发现已知波长 =0.097nm 的 X 射线在与晶体面成 的掠射角处给出第一级极大，而另一 1 30 未知波长的 X 射线在与晶体面成 的掠射角处给出第三级反射极大.试求此 60 未知 X 射线的波长为多少？ 分析 同 18-27 题分析. 解 据布拉格公式 kdsin22 , 1k 当 得1 1 k 30 1 nm097 . 0 30sin2 097 . 0 sin2 1 11 k d 又由 得 3 2 k 60 2 nm056 . 0 3 60sin097 . 0 2sin2 2 2 2 k d 18-29 两偏振片 A 和 B 如图 18-29 放置，两者的偏振化方向成角，设 45 入射光线是线偏振光，它的振动方向与 A 的偏振化方向相同，试求：同一强度 入射光分别从装置的左边及右边入射时，透射光的强度之比. 分析 显然本题要用到马吕斯定律. 马吕斯定律给出入射到偏振片的偏振 光与出射的偏振光强度间的关系. 解 设入射偏振光的强度为 . 0 I 从左边入射时，通过 A 和 B 透射光的强度分 别为 0 2 0 0cosIII A 0 2 2 1 45cosIII AB 从右边入射时，通过 B 和 A 透射光的强度分别为 0 2 0 2 1 45cosIII B 0 2 4 1 45cosIII BA 两种情况下透射光强度之比为 2 4 1 2 1 0 0 I I I I A B A B 图 18-29 18-30 使自然光通过两个偏振化方向成夹角的偏振片，透射光强为. 60 1 I 今在这两个偏振片之间再插另一偏振片，它的偏振化方向与前两个偏振片均成 角，则透射光强为多少？ 30 分析 本题也要用马吕斯定律，但注意入射光是自然光.强度为的自然光 0 I 通过起偏器成为偏振光，强度变为 .这是因为自然光的光矢量可以用两个振 I 2 1 幅相等振动方向互相垂直的分振动表示，经过偏振片时只有与偏振片振动方向 平行的分振动可以通过. 解 如图 18-30(a)，自然光通过一 个偏振片后，其光强减为原来的 , 21 即 00 2 1 II 据马吕斯定律，当两偏振化方向相 交 时,有 60 0 2 01 4 1 60cosIII 10 4II 如图 18-30(b),当中间又插入一偏振片时 0 2 01 4 3 30cosIII 101 2 12 4 9 16 9 4 3 30cosIIIII 所以此时透射光光强为 .1 4 9 I 18-31 一束平行的自然光，以 角入射到一平面玻璃的表面上，反射光 58 是全偏振光.问：（1）折射光的折射角是多少？（2）玻璃的折射率是多少？ 分析 反射光是全偏振光时，入射角为布儒斯特角，且折射光与反射光垂 直. 解 （1）因入射角是布儒斯特角，入射角与折射角互为余角 0 I I0 I1 （a） I0 0 I 1 I 2 I （b） 图 18-30 折射角 325890 （2）据布儒斯特定律 60 . 1 58tan 玻 n 18-32 一束光以起偏角入射到平板玻璃的上表面，试证明玻璃下表面 0 i 的反射光亦为偏振光. 分析 本题论证了用玻璃片堆在折射光方向获得光的原理.可参阅第三册 p.152. 证 在上表面应用折射定律得 1 2 0 0 sin sin n n r i 0 2 1 0 sinsini n n r 上式两边同除以 ,得0 cosr 0 0 2 1 0 0 cos sin cos sin r i n n r r 又因 i0是起偏角，入射角与折射互为余角，即 0 cossin 0 ri 2 1 0 0 2 1 0 0 sin sin cos sin n n i i n n r r 2 1 0 tan n n r 表明折射光以 的角入射在下表面上.对玻璃与空气分界面,r0是起偏角, 2 1 0 arctan n n r 因而反射光亦为偏振光. 18-33 布儒斯特定律提供了一种测定透明电介质折射率的方法.今测得一 电介质的布儒斯特角为，试求该电介质的折射率.5159 解 据布儒斯特定律 空 介 n n i tan 681. 11559tantan 0 inn 空介 i0 i0 n1 n2 r0 r0 n3 图 18-32 18-34 如图 18-34，自然光入射到水面上入射角为时，反射光是全偏振 1 i 光.今有一块玻璃浸入水中，且从玻璃面反射的光也是全偏振光，求水与玻璃面 间的夹角.（玻璃折射率=1.517,水的折射率 =1.333） 3 n 2 n 分析 注意题目点出自然光入射到水面上时，在空气与水的分界面上，反 射光是全偏振光，说明入射角是起偏角. 1 i 又指出从玻璃面反射的光也是全偏振光，说 明光入射到水与玻璃分界面上，入射角也是 起偏角.剩下的问题就是搞清角之间的关系. 解 由布儒斯特定律 333 . 1 tan 1 2 1 n n i 12.53 1 i 设光射到玻璃上的入射角为2 i 333 . 1 517. 1 tan 2 3 2 n n i 6