山西省孝义市2017届高考考前质量（5月）模拟数学（理）试题含答案

山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三（ 5月模拟） 理科数学 第 卷 一、 选择题 ： 本大题共 12 小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 有一项 是符合题目要求的 . 1 iz i ，则 （ ） A 2 B 2i C 4 D 4i 的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 1, 2P ，则 （ ） A 45B 35C 35D 2 , 31 ,32xf x 则 4f （ ） A 116B 18C 14D 张卡片，正面分别标有 1， 2， 3， 4，背面完全相同 面向上放 置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽 抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是（ ） A 512B 12C 712D ab ad ，如 12 1 4 2 3 234 ，则 21 312 （ ） A 0 B 32C 3 D 6 2 3 1 11 1 1 1x x x x 的展开式中， 2x 的系数是（ ） A 55 B 66 C 165 D 220 , 1 , 3a b c ，且 1 ，则 a c b c 的最大值是（ ） A 1 B 2 C 3 D 2 1 0102 5 0 ，则 231x 的取值范围是（ ） A 8, 3 ,5 B 11,7C 1, 0 3, D , 1 7 , 2: 2 0C y p x p的焦点为 F ，点 0, 3Q ，射线 C 交于点 E ，与 C 的准线交于点 P ，且 2F ，则点 E 到 y 轴的距离是（ ） A 14B 13C 12D 1 3的球面上的两点，过 互相垂直的两个平面 、 ，若 ,截该球所得的两个截面的面积之和为 16 ，则线 段 长度是（ ） A 2 B 2 C 22 D 4 人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征 的水车，一个水斗从点 3 3, 3A 出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时 60 秒 t 秒后，水斗旋转到 P 点，设 P 的坐标为 ,其纵坐标满足 s i ny f t R t 0 , 0 , 2t ） A 6 , ,3 0 6R B当 35,55t 时，点 P 到 x 轴的距离的最大值为 6 C当 10, 25t 时，函数 y f t 单调递减 D当 20t 时， 63 x 的不等式 1 x x k 的解集为 A ，且 2, A ，则整数 k 的最大值是（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 第 卷 二、填空题：本大题共 4 小题 ，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上 31| l o g 5 , | 2 2xA x Z y x B x R ，则_ 22: 1 , 0a 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与 C 的渐近线相交于, （ O 为原点）为正三角形，则 C 的离心率是 _ 15. 现有若干（大于 20）件某种自然生 长的中药材，从中随机抽取 20 件，其重量都精确到克，规定每件中药材重量不小于 15 克为优质品 0 个样本中的优质品数，其中 m 表示每件药材的重量，则图中，两处依次应该填的整数分别是_ 知正方体1 1 1 1A B C D A B C D的棱长为 2，点 E 为线段11 ,三棱锥 E 的俯视图的面积最大时，该三棱锥的正视图的面积是 _ 三、解答题： 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 15 3 6 1 8 ,a n n N ，且1 4a. （ 1）写出 项，并猜想其通项公式； （ 2）用数学归纳法证明你的猜想 . y （单位：元）与印刷册数 x （单位：千册）之间的关系，在印制某种书籍时进行了统计，相关数据见下表： 印刷册数 x （千册） 2 3 4 5 8 单册成本 y （元） 据以上数据，技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： 1 4 x ，方程乙： 2 26 x. （ 1）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务 . 完成下表（计算结果精确到 印刷册数 x （千册） 2 3 4 5 8 单册成本 y （元） 型甲 估计值 差 1型乙 估计值 残差 0 分别计算模型甲与模型乙的残差平方和1通过比较1Q，2断哪个模型拟合效果更好 . （ 2）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷 需求量为 8 千册（概率 10 千册（概率 若印刷厂以每册 5元的价格将书籍出售给订货商，问印刷厂二次印刷 8千册还是 10千册能获得更多利润？（按（ 1）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本） 1） ，五边形 ， 0, / / , 2 , 1 5 0E D E A A B C D C D A B E D C 2），将 沿 到 的位置，得到四棱锥 P 为线段 中点，且平面 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若直线 成角的正切值为 12，求直线 平面 成角的正弦值 20. 已知椭圆 22: 1 0a 的离心率为 32，且过点 31,2 （ 1）求 E 的方程； （ 2）若直线 :0l y k x m k 与 E 相交于 , O 为坐标原点）的斜率之和为 2，求 O 到直线 l 距离的取值范围 21. 已知函数 xf x e . （ 1）讨论函数 g x f a x x a 的单调性； （ 2）证明： 34x xx x 请考生在 22、 23 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 . 标系与参数方程 已知直线 1 c o s:s （其中 t 为参数， 为倾斜角） 为极点， x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为2 . （ 1）求 C 的直角坐标方程，并求 C 的焦点 F 的直角坐标； （ 2）已知点 1,0P ，若直线 l 与 C 相交于 , 112P A P B，求 的面积 . 等式选讲 已知函数 22f x x x . （ 1）求不等式 6的解集 A ； （ 2）若 ,m n A ，试证： 1 1 53 2 2. 参考 答案 一、 A 卷选择题 1 5 6 10 11 12 、 填空题 13. 4, 3, 2 14. 23315. 14， 19 16. 2 三、解答题 1）1 2 34 , 1 0 , 1 6a a a ，猜想 62； （ 2）当 1n 时，1 4 6 1 2a 成立； 假设 ,n k k N 时，猜想成立，即有 62， 由15 3 6 1 8a k ，及 62， 得 1 6 4 6 1 2ka k k ，即当 1时猜想成立， 由可知， 62对一切正整数 n 均成立 . 1）经计算，可得下表： 印刷册数 x （千册） 2 3 4 5 8 单册成本 y （元） 型甲 估计值 差 型乙 估计值 差 2 0 0 22 2 21 2 1 20 . 1 0 . 1 0 . 1 0 . 0 3 , 0 . 1 0 . 0 1 ,Q Q Q Q ，故模型乙的拟合效果更好； （ 2）若二次印刷 8 千册，则印刷厂获利为 5 1 . 7 8 0 0 0 2 6 4 0 0 （元）， 若二次印刷 10 千册，由（ 1）可知，单册书印刷成本为26 410 （元） 故印刷总成本为 16640（元）， 设新需求量为 X （千册），印刷厂利润为 Y （元），则 X 8 10 Y 0 . 8 1 0 0 . 2 8 . 4 , 故 5 1 0 0 0 1 6 6 4 0 4 2 0 0 0 1 6 6 4 0 2 5 3 6 0E Y E X ， 故印刷 8 千册对印刷厂更有利 . 19.（ 1）证明：取 中点 N ，连接 ,N ，则 1/ / ,2M N C D M N C D， 又 1/ / ,2A B C D A B C D，所以 / / ,M N A B M N A B，则四边形 平行四边形，所以 /M ， 又 平面 平面 ,A N P D A N C D. 由 A 即 A 及 N 为 中点，可得 为等边三角形， 060， 又 0150， 090， D ， 平面 ,D 平面 平面 平面 （ 2）解： /D ， 为直线 成的角， 由（ 1）可得 090， 1t a D ， 2D ， 设 1，则 2 , 1C D P A A D A B ， 取 中点 O ，连接 过 O 作 平行线， 可建立如图所示的空间直角坐标系 O ， 则 1 1 1 3, 0 , 0 , , 1 , 0 , , 2 , 0 , 0 , 0 ,2 2 2 2D B C P ， 13,1,44M， 所以 1 3 3 31 , 1 , 0 , , 1 , , , 0 ,2 2 4 4D B P B B M ， 设 ,n x y z 为平面 法向量，则 00n B ，即 013022y z ， 取 3x ，则 3 , 3 , 3n 为平面 一个法向量， 3 2 7c o s ,73212n B M ， 则直线 平面 成角的正弦值为 277. 1）由已知得223 1 3,124ca a b ， 解得 224, 1， 椭圆 E 的方程为 2 2 14x y； （ 2）把 y kx m代入 E 的方程得： 2 2 21 4 8 4 1 0k x k m x m ， 其判别式 221 6 4 1 0 ， 设 1 1 2 2, , ,P x y Q x y，则 21 2 1 222418 ,1 4 1 4x x ， 由已知得 1 2 2 11 2 1 2 2 11 2 1 2 1 22O F O Q k x m x k x m xy y y x y x x x x x x ， 1 2 1 22 1 0k x x m x x ， 把代入得 2 2228 1 1 8 01 4 1 4km ， 即 2 1， 把代入及 0k 知 240 ， 又 2 10 ， 01k， 点 O 到直线 l 的距离为 d ， 当 1k 时， 0d ； 当 1k 时，2 2 22111 1 11k ， 令 1 0,1 ，则 12 2d ， 设 2 2 ，则 22210ty ， 2 2 在 0,1 单调递减， 当 0,1t 时， 0,1d ， 综上，点 O 到直线 l 的距离的取值范围为 0,1 . 21.（ 1）解： ,1x f a x x a e x a g x a e ， 若 0a 时， 0,g x g x 在 R 上单调递减； 若 0a 时，当 1 时， 0,g x g x 单调递减； 当 1 时， 0,g x g x 单调递增； 综上，若 0a 时， 上单调递减； 若 0a 时， , ln 上单调递减； 在 1 上单调递增； （ 2）证明：要证 34x xx x ，只需证 l n 4 3 0xx x e x ， 由（ 1）可知当 1a 时， 10 ，即 1， 当 10x 时，上式两边取以 e 为底的对数，可得 l n 1 1x x x ， 用 1x 代替 x 可得 0x x x ，又可得 11l n 1 0 ， 所以 1 0 ， 1l n 4 3 1 1 3 4xx x e x x x 22 2 2 4 1 4 1x x x x x 222 4 1 2 1 0x x x ， 即原不等式成立 . 1）原方程变形为 22s i n c o s ， c o s , s i ， C 的直角坐标方程为 2，其焦点为 1 ,04F. （ 2）把 l 的方程代入 2得 22s i n c o s 1 0 ， 则1 2 1 222c o s 1,s i n s i nt t t t ， 11 22P A P B P A P P B ， 即1 2 1 22t t t t， 平方得 2 221 2 1 2 1 244t t t t t t ， 把代入得 24 2 4c o s 4 4s i n s i n s