江苏省连云港市、徐州市、宿迁市2017届高三第三次模拟考试数学试题含答案

苏北三市高三年级第三次模拟考试 2017 届高三年级第三次模拟考试 (三 ) 数学参考公式：样本数据 ， 差 1n1 (x)2， 其中 x 1n1棱锥的体积 V 13其中 S 是棱锥的底面积 ， h 是高 一、 填空题：本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 共计 70 分 1. 已知集 合 A 1， 1， 2， B 0， 1， 2， 7， 则集合 AB 中元素的个数为 _ 2. 设 a， b R， 1 i a bi(i 为虚数单位 )， 则 b 的值为 _ (第 5 题 ) 3. 在平面直角坐标系 ， 双曲线 1 的离心率是 _ 4. 现有三张识字卡片 ， 分别写有 “ 中 ” 、 “ 国 ” 、 “ 梦 ” 这三个字将这三张卡片随机排序 ， 则能组成 “ 中国梦 ” 的概率是 _ 5. 如图是一个算法的流程图 ， 则输出的 k 的值为 _ 6. 已知一组数据 3， 6， 9， 8， 4， 则该组数据的方差是 _ 7. 已知实数 x， y 满足y x 1，x 3x y2 ，则 _ 8. 若函数 f(x) 2x ) 01)的图象上 ， 则实数 a 的值为 _ 12. 已知对于任意的 x ( ， 1) (5， )， 都有 2(a 2)x a0， 则实数 _ 13. 在平面直角坐标系 ， 圆 C： (x 2)2 (y m)2 存在以 G 为中点的弦 且 2则实数 m 的取值范围是 _ 14. 已知 个内角 A， B， C 的对应边分别为 a， b， c， 且 C 3 ， c C 得最大 值时 ， _ 二、 解答题：本大题共 6 小题 ， 共计 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤 15. (本小题满分 14 分 ) 如图 ， 在 ， 已知点 D 在边 ， 345， 513， 13. (1) 求 值； (2) 求 长 16. (本小题满分 14 分 ) 如图 ， 在四棱锥 ， 底面 矩形 ， 点 E 在棱 (异于点 P， C)， 平面 D 交于点 F. (1) 求证： F ； (2) 若平面 平面 求证： F. 17. (本小题满分 14 分 ) 如图 ， 在平面直角坐标系 ， 已知椭圆 C： 1 的左、右顶点分别为 A， B，过右焦点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 P， Q 两点 (点 P 在 x 轴上方 ) (1) 若 2求直线 l 的方程； (2) 设直线 斜率分别为 ， 使得 k 2？若存在 ， 求出 的值；若不存在 ， 请说明理由 18. (本小题满分 16 分 ) 某 景区修建一栋复古建筑 ， 其窗户设计如图所示圆 D 的圆心与矩形 角线的交点重合 ， 且圆与矩形上下两边相切 (E 为上切点 )， 与左右两边相交 (F， G 为其中两 个交点 )，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域 已知圆的半径为 1m， 且 ， 透光区域的面积为 S. (1) 求 S 关于 的函数关系式 ， 并求出定义域 (2) 根据设计要求 ， 透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好当该比值最大时 ， 求边长度 19. (本小题满分 16 分 ) 已知两个 无穷数列 前 n 项和分别为 1， 4， 对任意的 n N*，都有 31 22 (1) 求数列 通项公式； (2) 若 等差数列 ， 对任意的 n N*， 都有 an (3) 若 等比数列 ， 求满足 22ak(k N*)的 n 值 20. (本小题满分 16 分 ) 已知函数 f(x) m0)， g(x) 2. (1) 当 m 1 时 ， 求函数 f(x)的单调增区间； (2) 设函数 h(x) f(x) xg(x) 2， xy h(h(x)的最小值是 3 22 ， 求 (3) 若函数 f(x)， g(x)的定义域都是 ， 对于函数 f(x)的图象上的任意一点 A， 在函数g(x)的图象上都存在一点 B， 使得 其中 e 是自然对数的底数 ， 0 为坐标原点求 密封线 (这是边文，请据需要手工删加 ) 密封线 _ 号学 _ 名姓 _ 级班 _ 校学 (这是边文，请据需要手工删加 ) 2017 届高三年级第三次模拟考试 (三 ) 数学附加题 第页 (共 2 页 ) (这是边文，请据需要手工删加 ) 2017 届高三年级第三次模拟考试 (三 ) 数学附加题 21. 本题包括 A、 B、 C、 D 四小题 ， 请选定其 中两题 ， 并作答 若多做 ，则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A. (本小题满分 10 分 ) 如图 ， 圆 O 的弦 于点 C， 且 A 为弧 中点 ， 点 D 在弧 若 3 求 度数 B. (本小题满分 10 分 ) 已知矩阵 A a 32 d ， 若 A 12 84 ， 求矩阵 A 的特征值 C. (本小题满分 10 分 ) 在极坐标系中 ， 已知点 A 2， 2 ， 点 B 在直线 l： 0(0 2 )上当线段 短时 ， 求点 B 的极坐标 D. (本小题满分 10 分 ) 已知 a， b， c 为正实数 ， 且 a b c3 3 3. 【必做题】第 22 题、第 23 题 每题 10 分 ， 共计 20 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22. (本小题满分 10 分 ) 在平面直角坐标系 ， 点 F(1， 0)， 直线 x 1 与动直线 y n 的交点为 M， 线段中垂线与动直线 y n 的交点为 P. (1) 求动点 P 的轨迹 E 的方程； (2) 过动点 M 作曲线 E 的两条切线 ， 切点分别为 A， B， 求证： 大小为定值 23. (本小题满分 10 分 ) 已知集合 U 1， 2， nn N*， n 2)， 对于集合 U 的两个非空子集 A， B， 若 A B ， 则称 (A， B)为集合 U 的一组 “ 互斥子集 ” 记集合 U 的所有 “ 互斥子集 ” 的组数为f(n)(视 (A， B)与 (B， A)为同一组 “ 互斥子集 ”) (1) 写出 f(2)， f(3)， f(4)的值； (2) 求 f(n). 密封线 (这是边文，请据需要手工删加 ) 2017 届高三年级第三次模拟考试 (三 ) 数学参考答案 第页 (共 4 页 ) (苏北三市 ) (这是边文，请据需要手工删加 ) 2017 届高三年级第三次模拟考试 (三 )(苏北三市 ) 数学参考答案 一、 填空题 1. 5 2. 1 3. 72 4. 16 5. 6 6. 265 (或 7. 13， 23 或 13 23 8. (12， 712) 或 12， 712 9. 5 12 10. 94 3 11. 2 12. (1， 5(或 1所以 n2n（ n 1）2 d， 即 (2 d)n d 2 恒成立 ， 所以2 d0 ，d 2， 即 d2 ，2得 所以 an得证 . (8 分 ) 证法二：设 公差为 d， 假设存在自然数 2， 使得 则 (1)2b 1 (1)d， 即 (1)(d 2)， 因为 a1所 以 d2.(6 分 ) 所以 n（ n 1）2 d 1 b1d2 n， 因为 10， 所以存在 N*， 当 n 恒成立 这与 “ 对任意的 n N*， 都有 n” 矛盾！ 所以 an得证 . (8 分 ) (3) 由 (1)知 ， 等比数列 ， 且 1， 3， 所以 以 1 为首项 ， 3 为公比的等比数列 所以 3n 1， 3n 12 .(10 分 ) 则 222n 1 3n 13n 1 23n 2n 23n 1 2 362n 23n 1 2 因为 n N*，所以 62n 20， 所以 22 所以 0 f(2)1 时 ， f (x)0；当 0 h (x)0， 函数 h(x)在 ( ) 上单调增 所以 h( 2 2m 2.(6 分 ) 当 2(2 m 1) 即 m 49时 ， 函数 y h(h(x)的最小值 h(2 2m 2) 2 2 m 1） 2（ 2 m 1） 1 32 2， 即 17m 26 m 9 0， 解得 m 1 或 m 917(舍 )， 所以 m 1； 8 分 ) 当 00 在上恒成立 ， 所以函数 y 2x 在上单调增 ， 故 2， 1e .(12 分 ) 所以 12， e ， 即 12 e 在上恒成立 ， 即 m x2(e 上恒成立 设 p(x) 则 p(x) 20 在上恒成立 ， 所以 p(x)在上单调减 ， 所以 mp(1) 12. (14 分 ) 设 q(x) x2(e 则 q(x) x(2e 1 2x(2 e 1 20 在上恒成立 ， 所以 q(x)在上单调增 ， 所以 mq(1) e. 综上所述 ， m 的取值范围为 12， e . (16 分 ) 附加题 21. A. 连结 因为 A 为弧 中点 ， 所以 而 所以 即 (5 分 ) 又因为 3 所以 3 180， 故 45 .(10 分 ) B. 因为 A 12 a 32 d 12 a 62 2d 84 ， 所以a 6 8，2 2d 4， 解得 a 2，d 1. 所以 A 2 32 1 .(5 分 ) 所以矩阵 A 的特征多项式为 f( ) 2 3 2 1 ( 2)( 1) 6 23 4， 令 f( ) 0， 解得矩阵 A 的特征值为 1 1， 2 4.(10 分 ) C. 以极点为原点 ， 极轴为 x 轴正半轴 ， 建立平面直角坐标系 ， 则点 A(2， 2)的直角坐标为 (0， 2)， 直线 l 的直角 坐标方程为 x y 0.(4 分 ) 短时 ， 点 B 为直线 x y 2 0 与直线 l 的交点 ， 解x y 2 0，x y 0 得 x 1，y 1. 所以点 B 的直角坐标为 ( 1， 1) (8 分 ) 所以点 B 的极坐标为 ( 2， 34 ) (10 分 ) D. 因为 33 所以 ， (5 分 ) 所以 a b c3 3 33 3， 当且仅当 a b c 3 3时 ， 取 “ ” (10 分 ) 22. (1) 因为直线 y n 与 x 1 垂直 ， 所以 点 P 到直线 x 1 的距离 连结 因为 P 为线段 中垂线与直线 y n 的交点 ， 所以 所以点 P 的轨迹是抛物线 (2 分 ) 焦点为 F(1， 0)， 准线为 x 1. 所以曲线 E 的方程为 4x. (5 分 ) (2) 由题意 ， 过点 M( 1， n)的切线斜率存在 ，设切线方程为 y n k(x 1)， 联立y k n，4x， 得 4y 4k 4n 0， 所以 1 16 4k(4k 4n) 0， 即 1 0(*)， (8 分 ) 因为 2 40， 所以方程 (*)存在两个不等实根 ， 设为 因为 1， 所以 90， 为定值 . (10 分 ) 23. (1) f(2) 1， f(3) 6， (2 分 ) f(4) 25. (4 分 ) (2) 解法一：设集合 A 中有 k 个元素 ， k 1， 2， 3， n 1. 则与集合 A 互斥的非空子集有 2n k 1 个 (6 分 ) 于是 f(n) 12 k 1n 1n k 1) 12错误