七年级数学思维探究（17）实数（含答案）

克莱因（ 1849 1925 ），德国数学家、数学史家和数学教育家，克莱因在 1872年就提出应把拓扑学发展为一门重要的几何学科，使得拓扑学在 20 世纪获得了飞跃的发展，并成为现代数学的核心 他在突出贡献是用群的观点来统一整个数学，作为 19世纪的领袖数学家，他的许多观点至今仍然对数学家、数学史家、数学教育家有所启迪 17 实数 人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的，数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数 无理数，在引入无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张 理解无理数是学好实数的关键，为此应注意： 1 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数 里 p 、 q 是互质的整数，且 0p ）； 2 掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与 相关的数，开方开不尽得到的数等； 3 澄清一些模糊认识； 4 明确无理数的真实性 问题解决 例 1 已知实数 x 、 y 满足 5 4 0 ，则代数式 2006的值为 _ 试一试 运用非负数性质，求出 x ， y 值 例 2 下面有 3 个结论： 存在两个不同的无理数，它们的差是整数； 存在两个不同的无理数，它们的积是整数； 存在两个不同的非整数的有理数，它们的和与商都是整数 其中，正确的结论有 （ ） 个 A 0 B 1 C 2 D 3 试一试 看是否能构造出符合要求的数 例 3 若实数 a 、 b 、 c 满足关系式 1 9 9 1 9 9 3 5 2 2 3a b a b a b c a b c ，试确定 试一试 观察发现 199、 199 互为相反数，由算术平方根的定 义、性质探寻解题的突破口 例 4 设 x 、 y 都是有理数，且满足方程 1 1 4 02 3 3 2 ，求 的值 试一试 将等式整理成有理数、无理数两部分，运用相关性质挖掘隐含的 x 、 y 的值 例 5 设1 22111 12S ，2 22111 23S ，3 22111 34S ， 22111 1nS n n 求12 S 的值（用含 n 的代数式表示，其中 n 为正整数） 解法一：19 3 1 11 1 14 2 2 2S ， 24 9 7 1 1 1113 6 6 6 2 3S ， 31 6 9 1 3 1 1 1111 4 4 1 2 1 2 3 4S ， 111 1nS 原式 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 12 2 3 3 4 1 212111 解法二： 2221 1 1 1 1 11 2 1 2 11 1 1 1 1nS n n n n n n n n n n ， 21 1 1 11 1 11 1 1nS n n n n n n ， 原式 21 1 1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 12 2 3 3 4 1 1 1n n n 本质追寻：设实数 x ， y ， z 满足 0，且 0x y z ，则2 2 21 1 1 1 1 1x y z x y z 或 2221 1 1 1 1 1x y x y x 问题新编：化简 2221 1 11 2 1n （ n 为正整数） 寻找 2 公元前 5 世纪，古希腊人点燃的无理数的火种，照亮了实数的广阔天地，但人类很久不能分享这甘美的“人类智慧之果” 直到 19世纪后期，著名数学家魏尔斯特拉斯戴德金、康托的杰出贡献，为无理数、实数理论的建立打下坚实的基础 例 6 （ 1） 2 可以用有理数形式表示如下： 121122 （ 2） 纸是人们学习工作不可或缺的物品，而纸的尺寸是怎样确定的呢？ 印刷厂工人把一张长方形的标准纸（如图），对折 1次，分为两半，每一张都是原来的 12，称为对开（即 2 开）；对折 2 次，得 224 张，每一张都是原来的 14，称为 4 开；对折 3 次，得 328 张，每一张都是原来的 18，称为 8 开对折 5 次，得 52 32 张，每一张都是原来的 132，称为 32 开 一张国际标准尺寸的纸，应符合下列两个条件：它的面积为 21m ；经过若干次对开，所得各种大小不同的长方形形状都相同（即长和宽之比都相等） 这张国际标准尺寸纸的长和宽到底各是多少呢？（精确到 1毫米） 用列方程组的方法，设标准纸长为 x 米，宽为 y 米（如图），则它的 长与宽之比为 :开后的长与宽之比为 1:2于是，由条件，得 1:2x y y x ，即 222 另一方面，因为 x 与 y 都大于零，且由条件可得 1 ，所以 221 ，可得 2 2 2 221x x y y ，即 22 2x 所以 2 2 1 . 4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3x 代 入 ，得 1 0 . 8 4 0 8 9 6 4 1 5 2 5 3 7（米） 由此可见，国际标准纸的长为 1189毫米，宽为 841毫米，面积为 1平方米，长与宽之比为 : 1 1 8 9 : 8 4 1 7 : 5 我国 32 开用的标准纸长为 1168毫米，宽为 850毫米，面积为 1 1 6 8 8 5 0 0 3 （平方米） 1 平方米，长与宽之比为 1168 : 850 7 : 5 这就是说，我国 32 开用的标准纸与国际标准纸是相符的 （ 3） 正难则反：请证明 2 为无理数 数学冲浪 知识技能广场 1 已知 a 、 b 为两个连续的整数，且 11，则 _ 2 实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示： ，化简 2a b b a _ 3 已知 4 9 0 ，则 222 2 2a a b a a bb a b 的值为 _ 4 观察下列等式： 222233， 333388， 44441 5 1 5， 55552 4 2 4对于一般的自然数 n ，将有等式 _ 5 如图，数轴上表示 1、 2 的对应点分别为 A 、 B ，点 B 关于点 A 的对称点为 C ，则点 C 所表示的数是 （ ） A 21 B 12 C 22 D 22 6 若 x ， y 为实数，且 2 2 0 ，则 2009的值为 （ ） A 1 B 1 C 2 D 2 7 一 个 自然数 的算术平方根为 a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是 （ ） A 1a B 2 1a C 2 1a D 1a 8 若 211x x x y ，则 的 值 为 （ ） A 1 B 1 C 2 D 3 9 在下面两个集合中各有一些实数，请你分别从中选出 2 个有理数和 2 个无理数 ， 再用“ +， -，”中的 3 种符号将选出的 4 个数进行 3 次运算，使得运算的结 果是一个正整数 10 计算：2 1 21 1 1 1 2 2 2 个思维方法天地 图 2C . 5 ， 03 ， 23， 0 . 1 7有理数- 8 ，3， 32 ， ， - 12 ， 若 222225 4 4 5 ， 则 22_ 12 若 a 、 b 满足 3 5 7，则 23S a b的取值范围是 _ 13 已知实数 a 满足 2 0 0 4 2 0 0 5a a a ， 则 22004a_ 14 已知非零实数 a 、 b 满足 22 4 2 3 4 2a b a b a ，则 等于（ ） A 1 B 0 C 1 D 2 15 设 0 ， 224a b ， 则 的 值 为（ ） A 3 B 6 C 2 D 3 16 如果实数 a 、 b 、 c 在数轴上的位置如图所示： ，那么代数式 22a a b c a b c 可以化简为（ ） A 2 B 22 C a D a 17 已知实数 a 、 b 满足 5 3 1 0 2 2a a a b ，求 5的算术平方根 18 顺思逆想 设 a ， h 为正实数，由 22222a 知，当 处约定 时， 2 02，所以， 222ha a ，于是 22ha h a a 利用公式（）可求某些数的平方根的近似值 如 2 51 0 0 0 5 1 0 0 5 1 0 0 1 0 0 . 0 2 52 1 0 0 试计算14406 的 近似值（结果精确到小数点后第 3 位） 应用探究乐园 19 设 x ， y 为正有理数， x ， y 为无理数，求证： 为无理数 20 阅读下面的文字，解答问题：大家知道拉是无理数，而无理数是无限不循环小数， 因此 2 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 21 来表示 2 的小数 部分 ，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 2 的整数部分是 1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 又例如： 479 ，即 2 7 3， 7 的整数部分为 2 ，小数部分为 72 根据以上知识解答下列各题： （ 1）如果 5 的小数部分为 a ， 13 的整数部分为 b ，求 5 的值； （ 2）已知 10 3 ，其中 x 是整数，且 01y，求 3 的相反数 （ 3）已知 5 11 的小数部分为 a ， 5 11 的 小数部分为 b ，求 的值 0ab 实数 问题解决 例 1 1 例 2 D 举例： 51 ， 51 满足结论、； 53、 13满足结论 例 3 由算术平方根定义，得 1 9 9 01 9 9 0，即 199199， 199 ， 3 5 2 2 3 0a b c a b c ，由非负数性质， 得 3 5 2 02 3 0a b ca b c ，解得 201c 例 4 原等式整理，得 1 1 1 141 02 3 3 2x y x y 40231032 ，解得 126 ，故 18 数学冲浪 1 7 2 2a 3 168142211 5 C 6 B 7 B 8 C 9 提示： 2 与 8 ， 与 3， 12 与 3 是三种正确的配对 10 原式1 1 11 1 1 1 0 1 1 1 2 1 1 1nn n n 个 个 个 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1n n 个 个 个 1 1 1 9 9 9 3 3 3n 个 个个11 6 由条件得 2 2 054， 2 2x ， 2y 12 21 1453S 由条件得 19 21 5 ， 19 14 3 ， 0a ， 0b ， 则 21 5 014 3 0，解得 21 1453S 13 2005 由条件得 2005a ，则 2 0 0 5 2 0 0 4a ，从而 22 0 0 4 2 0 0 5a