中考数学专题训练（六）直角三角形的应用

1 20172017 中考数学专题训练中考数学专题训练( (六六) )直角三角形的应用直角三角形的应用 解直角三角形的应用是中考的必考内容之一，它通常以实际生活为背景，考查学生运用直角三角形知识建立 数学模型的能力，解答这类问题的方法是运用“遇斜化直”的数学思想，即通过作辅助线(斜三角形的高线)把它 转化为直角三角形问题，然后根据已知条件与未知元素之间的关系，利用解直角三角形的知识，列出方程来求 解 类型类型 1 1 仰角、俯角问题 【例 1 1】(20162016 宜宾中考)如图，CD是一高为 4 m的平台，AB是与CD底部相平的一棵树，在平台顶C点测得 树顶A点的仰角30，从平台底部向树的方向水平前进 3 m到达点E，在点E处测得树顶A点的仰角 60，求树高AB.(结果保留根号) 【解析】作CFAB于点F，构造Rt求解 【学生解答】解：作CFAB于点F，设AFx m，在RtACF中，tanACF，则 AF CF CFx，在RtABE中，ABxBF(4x)m，在RtABE中，tanAEB，则 AF tanACF x tan x tan303 AB BE BE(x4)m.CFBEDE，即x(x4)3.解得x.则AB4 AB tanAEB x4 tan60 3 33 3 3 3 34 2 3 34 2 (m)答：树高AB是 m. 3 312 2 3 312 2 针对练习针对练习 1 1(20162016 茂名中考)如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处， 观测到旗杆顶端C的仰角CAD60，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是 30，已知教学 楼AB高 4 m. (1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号) (2)求旗杆CD的高度 解：(1)教学楼B点处观测到旗杆底端D的俯角是 30，ADB30，在RtADB中，BAD90， ADB30，AB4 m，AD4(m)答：教学楼与旗杆的水平距离是 4 m；(2)在 AB tanADB 4 tan3033 2 RtACD中，ADC90，CAD60，AD4 m，CDADtan60412(m)答：旗杆CD的高 333 度是 12 m. 2 2(20162016 泸州中考)如图，为了测量出楼房AC的高度，从距离楼底C处 60 m的点D(点D与楼底C在同一 3 水平面上)出发，沿斜面坡度为i1的斜坡DB前进 30 m到达点B，在点B处测得楼顶A的仰角为 53，求 3 楼房AC的高度(参考数据：sin530.8，cos530.6，tan53 ，计算结果用根号表示，不取近似值) 4 3 解：如图，作BNCD于点N，BMAC于点M.在RtBDN中， BD30，BNND1，BN15，DN15，CCMBCNB90，四边形CMBN是矩形， 33 CMBM15，BMCN601545，在RtABM中， 333 tanABM ，AM60，ACAMCM6015. AM BM 4 333 类型类型 2 2 方位角问题 【例 2 2】(20162016 临沂中考)一艘轮船位于灯塔P南偏西 60方向，距离灯塔 20 海里的A处，它向东航行多少 海里到达灯塔P南偏西 45方向上的B处？(参考数据：1.732，结果精确到 0.1) 3 【学生解答】解：如图，作ACPC于点C，APC60，BPC45，AP20，在RtAPC中， cosAPC，PC20cos6010，AC10，在RtPBC中，BPC45，PBC PC AP2021023 为等腰直角三角形，BCPC10，ABACBC10107.3(海里)答：它向东航行约 7.3 海里到达灯塔 3 P南偏西 45方向上的B处 针对练习针对练习 3 3(20162016 眉山中考)如图，埃航MS804 客机失事后，国家主席亲自发电进行慰问，埃及政府出动了多艘舰船 和飞机进行搜救，其中一艘潜艇在海面下 500 m的A点处测得俯角为 45的前下方海底有黑匣子信号发出，继续 沿原方向直线航行 2 000 m后到达B点，在B处测得俯角为 60的前下方海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子 C点距离海面的深度(结果保留根号) 3 解：过C作CDAB于D，交海面于点E，设BDx，CBD60， tanCBD，CDx.AB2 000，ADx2 000，CAD45， CD BD33 tanCAD1，xx2 000，解得x1 0001 000，CD(1 0001 000)3 0001 000 CD AD3333 ，CECDDE3 0001 0005003 5001 000.答：黑匣子C点距离海面的深度为(3 5001 000 333 )m. 3 类型类型 3 3 坡度、坡比问题 【例 3 3】如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭 的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为 30，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为 60.已知A点的高度AB为 3 m，台阶AC的坡度为 1(即ABBC1)，且B，C，E三点在同一条直线 33 上请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计) 【学生解答】解：在RtABC中，tanACB，ACB30，BAC60，PAC30， AB BC 1 3 3 3 ACD180ACBDCE90，DAC60.在RtABC中，ACB30，AC2AB6.在Rt ACD中，DCACtanDAC6tan606.在RtCDE中，DEDCsinDCE6sin609( m)答： 33 树DE的高为 9 m. 针对练习针对练习 4 4小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为 30，AC的长为 m，钓竿OA的倾斜角是 60，其长为 3 3 3 2 m，若OA与钓鱼线OB的夹角为 60，求浮漂B与河堤下端C之间的距离 解：延长OA交直线BC于点D.OA的倾斜角是 60，ODB60，ACD30，CAD180 ODBACD90.在RtACD中，ADACtanACD (m)CD2AD3 m又O60， 3 3 2 3 3 3 2 4 BOD为等边三角形，BDODOAAD3 4.5(m)BCBDCD4.531.5(m) 3 2 答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为 1.5 m. 类型类型 4 4 生活中的解直角三角形问题 【例 4 4】如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角BAC，当伞收紧时， 结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度(单位： cm)如下： 伞架 DEDFAEAFABAC 长度 363636368686 (1)求AM的长； (2)当BAC104时，求AD的长(精确到 1 cm，备用数据：sin520.788，cos520.615 7，tan521.279 9) 【学生解答】解：(1)由题意，得AMAEDE363672(cm)故AM的长为 72 cm；(2)AP平分 BAC，BAC104，EAD BAC52.过点E作EGAD于G，AEDE36，AGDG，AD2AG.在 1 2 AEG中，AGE90，AGAEcosEAG36cos52360.615 722.165 2.AD2AG222.165 244(cm) 答：AD的长约为 44 cm. 针对练习针对练习 5 5(20152015 重庆中考)某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中ABCD，大坝顶上有一瞭望台 PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角为 31，渔船N的俯角为 45.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为 30 m. (1)求两渔船M，N之间的距离；(结果精确到 1 m) (2)已知坝高 24 m，坝长 100 m，背水坡AD的坡度i10.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背 水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i11.75，施工队施工 10 天 后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的 2 倍，结果比原计划提前 20 天完成加 固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan310.60，sin310.52) 5 解：(1)在直角PEN中，ENPE30 m，ME50(m)，则MNEMEN20(m)答：两渔船M、N之 PE tan31 间的距离是 20 m；(2)过点D作DNAH于点N.由题意得：tanDAB4，tanH .在直角DAN中，AN 4 7 6(m)，在直角DHN中，HN42(m)故AHHNAN42636(m)SADH DN tanDAB 24 4 DN tanH 24 4