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文档简介
第三节 复变函数解析性 一、复变函数的导数与微分 二、解析函数的概念 三、解析的充要条件 四、解析函数与调和函数 2 一、复变函数的导数与微分 1.导数的定义: 3 在定义中应注意: 4 例1 解 5 2.微分的概念: 复变函数微分的概念在形式上与一元实变 函数的微分概念完全一致. 3.可导与连续: 函数 f (z) 在 z0 处可导则在 z0 处一定连续, 但 函数 f(z) 在 z0 处连续不一定在 z0 处可导.并且在 复变函数中，处处连续而处处又不可导的函数几 乎随手可得 6 例2 解 7 8 4.求导法则: 由于复变函数中导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全一致, 并且复变函 数中的极限运算法则也和实变函数中一样, 因而 实变函数中的求导法则都可以不加更改地推广 到复变函数中来, 且证明方法也是相同的. 求导公式与法则: 9 10 二、解析函数的概念 1. 解析函数的定义 11 2. 奇点的定义 根据定义可知: 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的. 但是,函数在一点处解析与在一点处可导是不等 价的概念. 即函数在一点处可导, 不一定在该点 处解析. 函数在一点处解析比在该点处可导的要求要高 得多. 12 例3 解 13 课堂练习 14 小结与思考 理解复变函数导数与微分以及解析函数的 概念; 掌握连续、可导、解析之间的关系以及 求导方法. 注意: 复变函数的导数定义与一元实变函数 的导数定义在形式上完全一样, 它们的一些求 导公式与求导法则也一样, 然而复变函数极限 存在要求与z 趋于零的方式无关, 这表明它在 一点可导的条件比实变函数严格得多. 15 思考题 16 思考题答案 反之不对. 17 三、函数解析的充要条件 1. 柯西黎曼(C-R)条件的由来： 20 总结我们上面的讨论，能得到函数在一点可微的必 要条件 注意：上述条件不是充分的 21 定理一 可微的充分必要条件 关于定理一的说明： 3. 函数解析的充要条件 1.二元实函数可微的充分条件 2.求导公式 1. 二元实函数可微的充分条件 若二元函数 u 和 v 在区域 D 内具有一阶连续偏 导数，则 u 和 v 在区域 D 内可微. 注意不是必要条件 2.记住求导公式 24 根据二元实函数可微的充分条件，可以得 到函数 在区域D内一 点可微的充分条件 3. 函数在区域内解析的充要条件 26 解析函数的判定方法: 27 典型例题 例1 判定下列函数在何处可导, 在何处解析: 解 不满足柯西黎曼方程, 28 四个偏导数 均连续 指数函数 29 四个偏导数均连续 30 例2 证 31 例3 解 32 例4 证 33 小结与思考 在本课中我们得到了一个重要结论函数 解析的充
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