检测技术及仪表ppt课件

检测技术及仪表 浙江工业大学 信息工程学院 梅一珉 2014.9 第二章 测量误差及其分析 第二章 测量误差及其分析 n2.1 测量误差基本概念 n2.2 测量误差的分类 n2.3 系统误差的分析及处理 n2.4 随机误差的估计与分析 n2.5 粗大误差的估计和数据处理 n2.6 有效数字的处理 第二章 测量误差及其分析 n2.1 测量误差基本概念 2.1.1 标准及有关术语 n1. 真值 一个物理量的真值是指它在一定条件下所呈现的客观大小或真 实数值。真值客观存在，但不可测量，是一个理想的概念。绝对的 真值如同真理一样，人类只能通过科学技术的不断进步而无限地逼 近它。 n2. 约定真值 （计量标准） 根据各种物理参量单位的定义，国家设立各种尽可能维持不变 的实物单位基准并以法令的形式指定其所体现的量值作为国家基 准，称之为约定真值。例如，保存在国家计量局的铂铱合金圆柱体 千克原器被指定为lkg质量的约定真值。一般会用约定真值代替真值 。国家通过一系列由各级实物计量标准构成的量值传递网，把国家 基准所体现的计量单位由高一准确度等级的计量标准向下通过逐级 比较传递到日常工作仪器或量具上。为了保证国际上的量值统一， 国际计量机构经常将准确度等级相同的各国国家基准进行相互比对 ，以达到量值相对统一的目的。由于国家基准通常不允许搬动，比 对工作一般是通过参加国提供的传递标准进行的。 第二章 测量误差及其分析 单位和单位制 n根据定义而令系数为1的量称为单位。 n单位是表征测量结果的重要组成部分， 又是对两个同类量值进行比较的基础。 英呎feet 第二章 测量误差及其分析 n1960年第十一届国际计量大会上正式通过 国际单位制SI。 n1984年2月国务院颁布了中华人民共和 国法定计量单位，决定我国法定计量单 位以国际单位制为基础。 nSI有7个基本单位 第二章 测量误差及其分析 n国际单位制（SI）的组成 国际单位制基本单位 第二章 测量误差及其分析 n国际单位制是由国际单位制单位、国际单位制词头 和国际单位制的十进倍数单位三部分组成。 n国际单位制词头表示使单位增大或缩小的十进倍数 。 例：5.410-9s=5.4ns 第二章 测量误差及其分析 n3.实际值 在由各级实物计量标准构成的量值传递网中，当更高一级测量 器具的误差为本级测量器具误差的1/3到1/10时，即可认为更高一级 测量器具的测得值（示值）为相对真值。通常称之为实际值。 n4. 标称值 计量或测量器具上标定的量值称为标称值。例如，标准砝码上 标注的1g，标准电阻上标注的1。由于制造工艺不完备或者环境等 因素的影响，标称值并不一定等于它的实际值。为此，在给出计量 或测量器具的标称值时，通常还要标出它的误差范围或准确度等级 。 例如某电阻标称值为1000 ，误差范围为1%，即该电阻的实 陈值在990 到1010 之间。 n5. 示值 示值也称测得值、测量值或读数。它是指由测量器具给出的被测 量的量，由数值和单位两部分组成。 第二章 测量误差及其分析 n6.测量误差 由测量器具测得的结果与被测量真值之间的差异称为测量误差 。实际测量中，主、客观诸多因素都将影响测量结果。例如，测量 系统不可能做到绝对精确，测量方法有些可能还不尽完善，测量人 员的操作可能不熟练或在测量中存在疏忽；此外，还有环境影响， 外界干扰等。这些因素都会导致测量误差。测量误差不可能完全消 除，只能根据需要和可能将其限制在一定范围内。 n7.等精度测量和非等精度测量 短时期内，在对同一被测量进行多次测量的过程中，保持影响 测量精度的所有主、客观测量因素或条件不变，这样的测量称作等 精度测量。所谓短时期，可理解为能保证测量精度要求的时间间隔 。在同一被测量的多次重复测量中，如果影响测量精度的所有主、 客观条件全部或者部分发生了改变，则这样的测量称为非等精度测 量或不等精度测量。 第二章 测量误差及其分析 2.1.2 测量误差的表示方法 n一. 绝对误差 由测量系统给出的被测量的测得值x与其真值Ao之间的差值称 为该测得值的绝对误差，即 (2-1-1) 式中： 为绝对误差； x为由测量系统给出的被测量的测得值； 为真值。 真值实际无法得到。一般用实际值 代替真值 。因而， 绝对误差更具实际意义的定义为： (2-1-2) 绝对误差是一个有单位的量。它体现了被测量的测得值与实际 值之间的偏离程度和偏离方向。其中，绝对误差的量值反映了测得 值与实际值之间的偏离程度。绝对误差的符号表示测得值与实际值 的大小关系，若测得值较实际值大，则绝对误差为正值，反之为负 值。 第二章 测量误差及其分析 与绝对误差的绝对值相等而符号相反的值称为修正值，一般可 用符号c表示 (2-1-3) 测量系统的修正值由计量部门通过检定给出。其形式可以是表 格、曲线或函数表达式等。测量系统只有在检定有效期内，才能利 用修正值对该测量系统的示值进行修正，从而得到被测量的实际值 为 (2-1-4) 测量系统定期送计量部门检定的目的之一是获得准确的修正值， 并由此按式(2-1-4)对该系统的测得值进行修正。 绝对误差并不能完全表示测量的质量，其大小不能作为比较测 量结果准确度高低的依据。在绝对误差相等的情况下，测量值越小 ，测量的准确程度越低，测量值越大测量的准确程度越高。为了能 确切地反映测量的准确程度，一般情况下采用相对误差的概念。 第二章 测量误差及其分析 n 二.相对误差 相对误差又叫相对真误差，它是绝对误差与被测量的真值之比，常用 百分数表示。若用符号 表示相对误差，则 (2-1-5) 第二章 测量误差及其分析 相对误差用来说明测量精度的高低，又可分为： n (1)实际相对误差 实际相对误差定义为 n (2)示值相对误差 示值相对误差也叫标称相对误差，定义为 (2-1-6) (2-1-7) 第二章 测量误差及其分析 如果测量误差不大，可用示值相对误差 代替实际误 差 ，但若 和 相差较大，两者 应加以区别。 n(3)满度相对误差 满度相对误差定义为仪器量程内最大绝对误差 与测量仪器满度值(量程上限值 ) 的百分比值 (2-1-8) 第二章 测量误差及其分析 满度相对误差也叫作满度误差和引用误差。由式 (2-1-8)可以看出，通过满度误差实际上给出了仪表各 量程内绝对误差的最大值 (2.1-9) n n电工仪表就是按引用误差电工仪表就是按引用误差 之值进行分级的。是仪表在工作条件下不应之值进行分级的。是仪表在工作条件下不应 超过的最大引用相对误差超过的最大引用相对误差 n n我国电工仪表共分七级：我国电工仪表共分七级：0.10.1，0.20.2，0.50.5，1.01.0，1.51.5，2.52.5及及5.05.0。如果仪。如果仪 表为表为S S级，则说明该仪表的最大引用误差不超过级，则说明该仪表的最大引用误差不超过S% S% n n测量点的最大相对误差测量点的最大相对误差 n n在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示值尽可能接近于满度值在使用这类仪表测量时，应选择适当的量程，使示值尽可能接近于满度值 ，指针最好能偏转在，指针最好能偏转在不小于满度值不小于满度值2/32/3以上的区域。以上的区域。 第二章 测量误差及其分析 例 某电压表s1.5，试算出它在0V 100V量程中的最大绝对误差。 n 解：在0Vl00V量程内上限值xm 100V，由式(2-1-9)，得到 第二章 测量误差及其分析 例 某1.0级电流表，满度值xml00uA， 求测量值分别为x1100 uA，x280uA ， x3 20uA 时的绝对误差和示值相对 误差。 n 解：由式(2-1-9)得绝对误差 第二章 测量误差及其分析 前已叙述，绝对误差是不随测量值改变的 。 而测得值分别为100 A、80 A、20 A的 示值相对误差各不相同，分别为 第二章 测量误差及其分析 n (4)分贝误差 在电子测量中还常用到分贝误差。分贝误差是用对数形式表示 的一种误差，单位为分贝(dB).分贝误差广泛用于增益(衰减)量的 测量中。下面以电压增益测量为例，引出分贝误差的表示形式。 设双口网络(比如放大器，或衰减器)输入、输出电压的测得值 分别为Ui和Uo，则电压增益Au，的测得值为 (2-1- 10) 第二章 测量误差及其分析 n用对数表 示为 (2.1- 11) Gx称为增益测得值的分贝值。 设A为电压增益实际值，其分贝值G=20lgA，由式(2.1- 2)及(2.1-11)，有 (2.1- 12) (2.1- 13) 第二章 测量误差及其分析 n由此得到 (2-1-15) (2-1-14) 式中 显然与增益的相对误差有关，可看成相对误差的 对数表现形式，称之为分贝误差。若 令 ，则式(21-15)可写成 (2-1-16) 第二章 测量误差及其分析 上式即为分贝误差的一般定义式。 若测量的是功率增益，分贝误差定义为 (2-1-17) 第二章 测量误差及其分析 n2.2 测量误差的分类 2.2.1 系统误差 在多次等精度测量同一量值时，误差的绝对值和符号 保持不变，或当条件改变时按某种规律变化的误差称为系 统误差，简称系差。如果系差的大小、符号不变而保持恒 定，则称为恒定系差，否则称为变值系差。变值系差又可 分为累进性系差、周期性系差和按复杂规律变化的系差。 第二章 测量误差及其分析 图2-2-1 系统误差的特征 第二章 测量误差及其分析 归纳起来，产生系统误差的主要原因有： n 测量仪器设计原理及制作上的缺陷。 例如刻度偏差，刻度盘或指针安装偏心 ，使用过程中零点漂移，安放位置不当 等. n 测量时的环境条件如温度、湿度及电 源电压等与仪器使用要求不一致等。 第二章 测量误差及其分析 n 采用近似的测量方法或近似的计算公 式等。 n 测量人员估计读数时习惯偏于某一方 向等原因所引起的误差。 n系统误差体现了测量的准确度（正确度 ），系统误差小，表明测量的准确度高 。 第二章 测量误差及其分析 2.2.3 随机误差 n 随机误差又称偶然误差，是指对同一量值进行多 次等精度测量时，其绝对值和符号均以不可预定的方 式无规则变化的误差。 n 就单次测量而言，随机误差没有规律，其大小和 方向完全不可预定，但当测量次数足够多时，其总体 服从统计学规律，多数情况下接近正态分布。 第二章 测量误差及其分析 n 随机误差的特点是，在多次测量 中误差绝对值的波动有一定的界性，即 具有有界性；当 测量次数足够多时， 正 负误差出现的机会几乎相同，即具有对 称性；同时随机误差的算术十均值趋于 零，即具有抵偿性。由于随机误差的上 述特点，可以通过对多次测量取平均值 的办法，来减小随机误差对测量结果的 影响，或者用其他数理统计的办法对随 机误差加以处理。 第二章 测量误差及其分析 n 随机误差表征测量数据的离散程度。 在概率论中，随机误差只不过是无数随 机变量中的一种。服从统计学规律。 例如：为了便于研究，假设测量中的各 种系统误差已被消除，或已被减小到可忽 略的程度。设对某电阻进行n次等精度测量 ，按从小到大的顺序，把测量结果中相同 的数据归并在一起。 第二章 测量误差及其分析 Xj出现的次数： mj n= mj xj ()mjPj*= mj/n 9.9520.02 9.9640.04 9.9760.06 9.98140.14 9.99180.18 10.00220.22 10.01160.16 10.02100.10 10.0350.05 10.0420.02 10.0510.01 第二章 测量误差及其分析 第二章 测量误差及其分析 () Xj 随机误差： P* P* / 频率密度 对直方图归一化 随着 n, d 频率密度 收敛于 概率密度 直方图 将趋于一条光滑曲线。() Ax ii -=d 第二章 测量误差及其分析 n随机误差性质：（4条公理） 对称性 单峰性 有界性 抵偿性 第二章 测量误差及其分析 由表和图可以看出以下几点： n 正负误差出现的概率基本相等，反映 了随机误差的对称性. n 绝对值小的随机误差出现的概率大， 绝对值大的随机误差出现的概率小，反 映了随机误差的单峰性. 第二章 测量误差及其分析 n vi0，正负误差之和为零，反映了 随机误差的抵偿性。 n 所有随机误差的绝对值都没有超过某 一界限，反映了随机误差的有界性。 n 这虽然仅是一个例子，但也基本反映出 随机误差的一般特性。 第二章 测量误差及其分析 产生随机误差的主要原因包括： n 测量仪器元器件产生噪声，零部件配 合的不稳定、摩擦、接触不良等. n 温度及电源电压的无规则波动，电磁 干扰，地基振动等. n 测量人员感觉器官的无规则变化而造 成的读数不稳定等。 随机误差体现了多次测量的精密度 ，随机误差小，则精密度高。 第二章 测量误差及其分析 n 2.2.3粗大误差 在一定的测量条件下，测得值明显 地偏离实际值所形成的误差称为粗大误 差，也称为疏失误差，简称粗差。 确认含有粗差的测得值称为坏值， 应当剔除不用，因为坏值不能反映被测 量的真实数值. 第二章 测量误差及其分析 产生粗差的主要原因包括： n 测量方法不当或错误。例如用普通万用 表电压档直接测量高内阻电源的开路电压 ，用普通万用表交流电压档测量高频交流 信号的幅值等. 第二章 测量误差及其分析 n 测量操作疏忽和失误。例如未按规程 操作，读错读数或单位，或记录及计算 错误等. n 测量条件的突然变化。例如电源电压 突然增高或降低，雷电干扰，机械冲击 等引起测量仪器示值的剧烈变化等。这 类变化虽然也带有随机性，但由于它造 成的示值明显偏离实际值，因此将其列 入粗差范畴。 第二章 测量误差及其分析 n 上述对误差按其性质进行的划分，具有 相对性，某些情况可互相转化。例如较 大的系差或随机误差可视为粗差；当电 磁干扰引起的误差数值较小时，可按随 机误差取平均值的办法加以处理，而当 其影响较大又有规律可循时，可按系统 误差引入修正值的办法加以处理；又如 后面要叙述的谐振法测量时的误差，是 一种系统误差，但实际调谐时，即使同 一个人用同等的细心程度进行多次操作 ，每次调谐结果也往往不同，从而使误 差表现出随机性。 第二章 测量误差及其分析 n 最后指出，除粗差较易判断和处理外 ，在任何一次测量中，系统误差和随机误 差一般都是同时存在的，需根据各自对测 量结果的影响程度，作不同的具体处理： n 系统误差远大于随机误差的影响，此 时可基本上按纯粹系差处理，而忽略随机 误差。 n 系差极小或已得到修正，此时基本上 可按纯粹随机误差处理. n 系差和随机误差相差不远，二者均不 可忽略，此时应分别按不同的办法来处理 ，然后估计其最终的综合影响. 第二章 测量误差及其分析 n2.3 系统误差的分析及处理 产生系统误差的原因多种多样，要消 除系统误差只能根据不同的测量目的，对 测量仪器仪表、测量条件、测量方法、测 量步骤等进行全面分析，以发现和分析系 统误差，进而减小或者消除系统误。 第二章 测量误差及其分析 2.3.1系统误差的判断 按照随机误差的正态分布规律检查测量数 据时，若发现应剔除的粗大误差占的比例较大 时，可推断测量中含有非正态分布的系统误差 。因此，对测量数据进行统计处理前必须检查 第二章 测量误差及其分析 是否存在系统误差。以下介绍一些常用 的发现和判断系统误差的方法： n1理论分析法 凡是由于测量方法或测量原理引入的系 统误差，都可以通过对测量方法的定性定 量分析发现，甚至可计算出系统误差的大 小。 第二章 测量误差及其分析 n2校准和比对法 用准确度更高的测量仪器进行重复测量 以发现并确定系统误差的数值。对测量仪 器定期进行校准或检定并在检定证书中给 出修正值以发现和减小其测量时的系统误 差可采用多台同型号仪器进行比对，观察 比对结果以发现系统误差。但这种方法不 能用来发现和衡量理论误差。 第二章 测量误差及其分析 n 3改变测量条件法 系统误差常与测量条件有关，如果能改 变测量条件，例如，更换测量人员、测量 环境、测量方法等，根据对分组测量数据 的比较，有可能发现系统误差。 n 上面第2、3两种方法属于实验对比法，一 般用来发现恒值系统误差。除此以外，还 有剩余误差观察法、公式判断法等分别用 于判断相应的系统误差，读者可以参考相 关文献。 第二章 测量误差及其分析 n2.3.2减小或消除系绕误差的方法 系统误差难以发现，是测量中影响准确 度的最大危险，所以须在测量工作前采取 一定的技术措施减小它的影响。 第二章 测量误差及其分析 n 一、从产生误差根源上消除 在测量前，通过分析比较尽量发现产生 系统误差的来源，并消除（或减小）系统 误差。 n例如，从测量原理和方法上尽力做到正确、严格， 对测量仪器定期检定和校准，注意仪器的正确使用 条件和方法；注意周围环境对测量的影响（如温度 、电磁干扰）i提高测量人员业务技术水平和工作责 任心；改进设备，尽量避免测量人员造成的误差等 。 第二章 测量误差及其分析 n 二、用修正方法消除恒值系差 这种方法通常是在测量前预先通过标 准器件法或标准仪器法对比（计算），得 到该检测仪器系统误差的修正值，制成系 统误差修正表，供测量中修正测量结果时 使用。此外，对于各种影响因素，如温度 、湿度、电源电压等变化引起的系统误差 ，可通过反复实验绘制出相应的修正曲线 或制成相应表格，供测量时使用。 第二章 测量误差及其分析 n 三、采用专门的测量技术和方法 ， 实际测量中仍然很难消除产生系统误差 的全部因素，因此，在测量过程中，需要 采用一些专门的测量技术和测量方法，来 消除或减弱系统误差。 第二章 测量误差及其分析 消弱系统误差的典型测量技术： n1替代法（置换法） 在测量条件不变的情况下，用一标准已知量 去替代待测量，通过调整标准量而使仪器的示值 不变，于是标准量的值即等于被测量值。这是一 种比较精密的测量方法。用替代法测量电阻是一 个典型的应用实例，用万用表的电阻挡测待测电 阻，得到一个合适的指针偏转角度，再换接标准 电阻，调节标准电阻使指针偏转角度与上次相同 ，这时的标准电阻的阻值即为被测电阻的电阻值 ，且与欧姆表的准确度等级基本无关，如图2-3-1 所示 第二章 测量误差及其分析 图2-3-1替代法在电阻电桥中测电阻的应用 第二章 测量误差及其分析 n2. 对照法 对照法又叫交换法。适于在对称的 测量装置中用来检查其对称性是否良好 ，或从两次测量结果的处理中，消弱或 消除系统误差。现以图2-3-2所示的等臂 电桥为例说明这种方法。 n 先按图2-3-2(a)的接法，调节标准电 阻只。使电桥平衡，设此时标准电阻阻 值为Rs1，因而 (2-2-1) 第二章 测量误差及其分析 图2-3-2 对照法测电阻 (a) (b) 第二章 测量误差及其分析 n 然后按图2-3-2(b)，交换 位置 ，调节Rs使电桥至平衡。设此时标准电 阻阻值为Rs2，因而 (2-2-2) 如果 ，则由式(2-2-1)和 (2-2-2)得到 和 (所以称为等臂电桥). 第二章 测量误差及其分析 n 如果 ，则 ，可由式 (2-2-1)、(2-2-2)得到： (2.5-17) 从而消除了 误差对测量结果的影响。 第二章 测量误差及其分析 n3.交叉读数法（对称测量法） 很多随时间变化的系统误差，在短时间内均 可近似看成线性变化的。复杂变化的系统误差， 短时间内也近似地作为线性系统误差。对于存在 这种线性系统误差的测量系统，对保持不变的被 测参量进行多次重复测量，所得的结果会随时间 的变化呈线性增加或减小。若选定整个测量时间 范围内某一时刻为中心点，则对称于此点的各对 测量值的和都相同。因此，可以在时间上将测量 顺序作为测量值，即可有效地减小测量的线性系 统误差。 第二章 测量误差及其分析 n 4半周期测量法消除周期性系统误差 理论上，相差半周期的两次测量的误 差具有大小相等、符号相反的特性。因此 ，对周期性系统误差，可以相隔半个周期 测量一次。取两次（或偶数次）读数的算 术平均值作为测量结果，因为这时该算术 平均值的误差从理论上看应该为零。例如 ，指针式仪表，若刻度盘偏心所引出的误 差，可采用相隔180的一对或几对的指针 标出的读数取平均值加以消除。 第二章 测量误差及其分析 n2.4随机误差的估计与分析 随机误差的估计 第二章 测量误差及其分析 随机误差的数字特征： 数学期望： 算术平均值： ) 1 (lim 1 = = n i i n x x n E 第二章 测量误差及其分析 随机误差： 随机误差的算术平均值： Ax ii -=d 第二章 测量误差及其分析 x x n i i n x Ex AE ) n ( AE n = = -= = 1 0 1 lim: : 抵偿性 d 第二章 测量误差及其分析 残差（剩余误差）： 0 11 =-= -= = xnxv xx n i n i ii ii n 第二章 测量误差及其分析 方差： 标准差： = = n i i n n 1 22 1 limds = = n i i n n 1 2 1 limds 第二章 测量误差及其分析 均方根偏差： 算术平均值的均方根偏差（MSRE）： Bessel公式（ n-1为自由度 ）： 11 )( 1 1 2 2 1 2 1 2 - - = - - = - = = n xnx n xx n v n i i n i i n i i s 第二章 测量误差及其分析 p2.4.2 随机误差的正态分布（高斯分布） 绝大多数情况下，随机误差服从正态分布。 在正态分布误差影响下的测量数据的分布也是正态分布。 误差的概率密度函数为： 有界性 对称性 抵偿性 = 1.0 = 1.5 = 2.0 () )(2 exp 2)( 1 )( 2 2 ds d pds dj-= 第二章 测量误差及其分析 1.单次测量结果的置信度与置信区间 置信度（置信概率）：描述误差处于某一范围内的可靠程度的量。 置信区间：对应置信度的极限误差范围，用标准差的倍数K表示（K 为正系数，称为置信系数）。 在置信区间Ex- , Ex+内置信 度P|i|=0.683 在置信区间Ex-2 , Ex+2内置 信度P|i|2=0.954 在置信区间Ex-3 , Ex+3内置 信度P|i|3=0.997 3 称为极限误差或最大误差 第二章 测量误差及其分析 2.多次测量结果的置信度与置信区间 分别用样本的均值和均方根偏差作为A0和的估计。 当n大于20 以后，t的分布类似于标准正态分布，当n时，即为正态分布 ，n越小，类似程度越差。 对于有限次测量（t分布），在区间 内的置信概率，也就是随机变量t在区间-t i 第二章 测量误差及其分析 2格拉布斯准则 在测量次数较小（n 第二章 测量误差及其分析 四、注意事项 1. 判断粗大误差的步骤，首先应包含所有的n个测量值在内 求出均值和均方根偏差，然后判别粗大误差。若剔除最大 的一个，仍将剩余的n-1个数据按此计算和判别，直至无 坏值为止。 2. 正常情况下，一列测量数据中粗大误差数量很少，一旦发 现数量太大，说明测量系统或方法可能反常。 3. 剔除可疑数据应慎重，有时某些异常数据可能包含了一种 尚未发现的物理现象。 第二章 测量误差及其分析 n2.6 有效数字的处理 1有效数字 由于含有误差，所以测量数据及由测量 数据计算出来的算术平均值等都是近似值 。通常就从误差的观点来定义近似值的有 效数字。 第二章 测量误差及其分析 若末位数字是个位，则包含的绝对 误差值不大于0.5，若末位是十位，则包 含的绝对误差值不大于5，对于其绝对误 差不大于末位数字一半的数，从它左边 第一个不为零的数字起，到右面最后一 个数字(包括零)止，都叫做有效数字。 第二章 测量误差及其分析 n 例如： n 3.1416 五位有效数字， 极限(绝对)误差0000 05 n 3.142 四位有效数字， 极限误差0.000 5 n 8 700 四位有效数字， 极限误差0.5 n 87102 二位有效数字， 极限误差0.5102 n 0.087 二位有效数字， 极限误差0.000 5 n 0.807 三位有效数字， 极限误差0.000 5 第二章 测量误差及其分析 2.多余数字的舍入规则 对测量结果中的多余有效数字，应 按下面的舍入规则进行： 以保留数字的末位为单位，它后面 的数字若大于0.5单位，末位进1；小于 0.5个单位，末位不变；恰为0.5个单位， 则末位为奇数时加工，末位为偶数时不 变，即使末位凑成偶数。简单概括为“ 小于5舍，大于5入，等于5时采取偶数法 则”。 第二章 测量误差及其分析 n 例 将下列数字保留到小数点后一位：l2.34，l2.36，l2.35 ，l