综合题（等腰三角形）

中考综合题（等腰三角形） 1如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA=2，0C=6，在OC上取点D将AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DAAB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE，BC分别交于点M，N（1）填空：D点坐标是（2，0），E点坐标是（2，2）；（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使CMN为等腰三角形？若存在，请求出M点坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为（x，2），记DBN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求出S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围考点：一次函数综合题分析：（1）根据AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，得到OAD=EAD=45，DE=OD，求出OD=2，得出D点的坐标，再根据DE=OD=2，求出E点的坐标；（2）由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MHBC于H，先求出NMH=MNH=45，得出NH=MH=4，MN=4，再根据直线OE的解析式为：y=x，依题意得MNOE，设MN的解析式为y=x+b，根据DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，得出M（2，2+b），N（6，6+b），CM=，CN=6+b，MN=4，当CM=CN时，42+（2+b）2=（6+b）2，解得：b=2，此时M（2，0）；当CM=MN时，42+（2+b）2=（4）2，解得：b1=2，b1=6（不合题意舍去），此时M（2，4）；当CM=MN时，6+b=4，解得：b=46，此时M（2，44）；（3）根据题意先证出PBNDEP，得出BN的值，求出S与x之间的函数关系式，根据当0x2时，S=x28x+12=（x4）24，当2x6时，S=x2+8x12=（x4）2+4，即可得出答案解答：解：（1）将AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，OAD=EAD=45，DE=OD，OA=OD，OA=2，OD=2，D点坐标是（2，0），DE=OD=2，E点坐标是（2，2），故答案为：（2，0），（2，2）；（2）存在点M使CMN为等腰三角形，理由如下：由翻折可知四边形AODE为正方形，过M作MHBC于H，PDM=PMD=45，则NMH=MNH=45，NH=MH=4，MN=4，直线OE的解析式为：y=x，依题意得MNOE，设MN的解析式为y=x+b，而DE的解析式为x=2，BC的解析式为x=6，M（2，2+b），N（6，6+b），CM=，CN=6+b，MN=4，分三种情况讨论：当CM=CN时，42+（2+b）2=（6+b）2，解得：b=2，此时M（2，0）；当CM=MN时，42+（2+b）2=（4）2，解得：b1=2，b1=6（不合题意舍去），此时M（2，4）；当CM=MN时，6+b=4，解得：b=46，此时M（2，44）；综上所述，存在点M使CMN为等腰三角形，M点的坐标为：（2，0），（2，4），（2，44）；（3）根据题意得：当0x2时，BPN+DPE=90，BPN+EPD=90，DPE=EPD，PBNDEP，=，=，BN=，SDBN=BNBP=（6x）整理得：S=x28x+12；当2x6时，PBNDEP，=，=，BN=，SDBN=BNBE，=4，整理得：S=x2+8x12；则S与x之间的函数关系式：，当0x2时，S=x28x+12=（x4）24，当x4时，S随x的增大而减小，即0x2，当2x6时，S=x2+8x12=（x4）2+4，当x4时，S随x的增大而减小，即4x6，综上所述：S随x增大而减小时，0x2或4x62.如图，在平面直角坐标系中，有一条直线：与轴、轴分别交于点、，一个高为3的等边三角形，边在轴上，将此三角形沿着轴的正方向平移. （1）在平移过程中，得到，此时顶点恰落在直线上，写出点的坐标 ；（4分）（2）继续向右平移，得到，此时它的外心恰好落在直线上，求点的坐标；（4分）（3）在直线上是否存在这样的点，与（2）中的、 、任意两点能同时构成三个等腰三角形，如果存在， 求出点的坐标；如果不存在，说明理由. （4分） （1） （2）设,连接并延长交轴于点,连接 在等边三角形中,高 ， 点是等边三角形的外心 ， 即 将代人，解得： （3）点是的外心， ，是等腰三角形 点满足条件，由（2）得 由（2）得：，点满足直线：的关系式. 点与点重合. 设点满足条件，能构成等腰三角形.此时 作轴于点，连接， 10分设点满足条件，能构成等腰三角形.此时 作轴于点， 11分设点满足条件，能构成等腰三角形.此时 作轴于点， 答：存在四个点，分别是，12分3如图，已知直线y3x3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线yx2bxc经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合) (1)求抛物线的解析式： (2)求ABC的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使ABM为等腰三角形?若不存在，请说明理由：若存在，求出点M的坐标.解：（1）求出A（1，0），B（0，3）1分把A、B两点的坐标分别代入yx2bxc得解得：b2，c33分抛物线为：yx22x34分（2）令y0得：0x22x3解之得：x11，x23所以C（3，0），AC46分SABC（3）抛物线的对称轴为：x1，假设存在M（1，m）满足题意讨论：当MAAB时M1（1，），M2（1，）10分当MBBA时M30，M4610分M3（1，0），M4（1，6）12分当MBMA时m1M5（1，1）13分答：共存在五个点M1（1，），M2（1，），M3（1，0），M4（1，6），M5（1，1），使ABM为等腰三角形14分4. 如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，A点的坐标为(3，0)，以0A为边作等边三角形OAB，点B在第一象限，过点B作AB的垂线交x轴于点C动点P从0点出发沿0C向C点运动，动点Q从B点出发沿BA向A点运动，P,Q两点同时出发，速度均为1个单位秒。设运动时间为t秒 (1)求线段BC的长； (2)连接PQ交线段OB于点E，过点E作x轴的平行线交线段BC于点F。设线段EF的长为m，求m与t之间的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围： (3)在(2)的条件下，将BEF绕点B逆时针旋转得到BE1F1,使点E的对应点E1落在线段AB上，点F的对应点是F1，E1F1交x轴于点G，连接PF、QG，当t为何值时，2BQ-PF= QG?考点：等边三角形判定与性质、相似三角形判定与性质、直角三角形的判定、三角形内角和、等腰三角形判定，一元一次方程分析：（1）由AOB为等边三角形得ACB=OBC=300，由此CO=OB=AB=OA=3，在RTABC中，AC为6，从而BC=（2）过点Q作QN0B交x轴于点N，先证AQN为等边三角形，从而NQ=NA=AQ=3-t，NON=3- (3-t)=tPN=t+t=2t，再由POEPNQ后 对应边成比例计算得再由EF=BE易得出m与t之间的函数关系式(3)先证AEG为等边三角形，再证QGA=900通过两边成比例夹角相等得FCPBCA再用含t的式子表示BQ、PF、QG通过解方程求出解答：(1)解：如图lAOB为等边三角形BAC=AOB=60。BCABABC=900ACB=300OBC=300ACB=OBCCO=OB=AB=OA=3AC=6BC=AC=(2)解：如图l过点Q作QN0B交x轴于点NQNA=BOA=600=QANQN=QAAQN为等边三角形NQ=NA=AQ=3-tNON=3- (3-t)=tPN=t+t=2tOEQNPOEPNQEFx轴BFE=BCO=FBE=300EF=BEm=BE=OB-OE(0t3)(3)解：如图2AEG=600=EAGGE1=GAAEG为等边三角形l=2 3=4l+2+3+4=18002+3=900即QGA=900EFOCFCP=BCAFCPBCA2BQPF=QGt=1当t=1时，2BQPF=QG5在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCO的顶点A、C分别在y轴、x轴正半轴上，点P在AB上，PA=1，AO=2经过原点的抛物线y=mx2x+n的对称轴是直线x=2（1）求出该抛物线的解析式（2）如图1，将一块两直角边足够长的三角板的直角顶点放在P点处，两直角边恰好分别经过点O和C现在利用图2进行如下探究：将三角板从图1中的位置开始，绕点P顺时针旋转，两直角边分别交OA、OC于点E、F，当点E和点A重合时停止旋转请你观察、猜想，在这个过程中，的值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，求出的值设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为D，顶点为M，在的旋转过程中，是否存在点F，使DMF为等腰三角形？若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）根据过原点，对称轴为直线x=2这两个条件确定抛物线的解析式；（2）如答图1所述，证明RtPAERtPGF，则有=，的值是定值，不变化；若DMF为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论，避免漏解解答：解：（1）抛物线y=mx2x+n经过原点，n=0对称轴为直线x=2，=2，解得m=抛物线的解析式为：y=x2x（2）的值不变理由如下：如答图1所示，过点P作PGx轴于点G，则PG=AO=2PEPF，PAPG，APE=GPF在RtPAE与RtPGF中，APE=GPF，PAE=PGF=90，RtPAERtPGF=存在抛物线的解析式为：y=x2x，令y=0，即x2x=0，解得：x=0或x=4，D（4，0）又y=x2x=（x2）21，顶点M坐标为（2，1）若DMF为等腰三角形，可能有三种情形：（I）FM=FD如答图2所示：过点M作MNx轴于点N，则MN=1，ND=2，MD=设FM=FD=x，则NF=NDFD=2x在RtMNF中，由勾股定理得：NF2+MN2=MF2，即：（2x）2+1=x2，解得：x=，FD=，OF=ODFD=4=，F（，0）；（II）若FD=DM如答图3所示：此时FD=DM=，OF=ODFD=4F（4，0）；（III）若FM=MD由抛物线对称性可知，此时点F与原点O重合而由题意可知，点E与点A重合后即停止运动，故点F不可能运动到原点O此种情形不存在综上所述，存在点F（，0）或F（4，0），使DMF为等腰三角形6.如图，点P是直线：上的点，过点P的另一条直线交抛物线于A、B两点（1）若直线的解析式为，求A、B两点的坐标； （2）若点P的坐标为（2，），当PAAB时，请直接写出点A的坐标； 试证明：对于直线上任意给定的一点P，在抛物线上都能找到点A，使得PAAB成立（3）设直线交轴于点C，若AOB的外心在边AB上，且BPCOCP，求点P的坐标解：（1）依题意，得解得， A（，），B（1，1）（2）A1（1，1），A2（3，9） 过点P、B分别作过点A且平行于轴的直线的垂线，垂足分别为G、H. 设P（，），A（，），PAPB，PAGBAH，AGAH，PGBH，B（，），将点B坐标代入抛物线，得，无论为何值时，关于的方程总有两个不等的实数解，即对于任意给定的点P，抛物线上总能找到两个满足条件的点A（3）设直线：交y轴于D，设A（，），B（，）过A、B两点分别作AG、BH垂直轴于G、HAOB的外心在AB上，AOB90，由AGOOHB，得，联立得，依题意，得、是方程的两根，即D（0，1）BPCOCP，DPDC3P设P（，），过点P作PQ轴于Q，在RtPDQ中，（舍去），P（，）PN平分MNQ，PTNT，7已知两个共一个顶点的等腰RtABC，RtCEF，ABC=CEF=90，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MBCF；（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；（3）如图2，当BCE=45时，求证：BM=ME考点：三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为ADF的中位线即可；证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得ABEF，再根据两直线平行，内错角相等可得BAM=DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明ABM和FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出EBM=45，从而得到EBM=ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MBCF即可，（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EMBD，求出BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME=AG；然后证明ACGDCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出ABCF，再根据两直线平行，内错角相等求出BAM=DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明ABM和FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明BCE和DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得BEC=DEF，然后求出BED=CEF=90，再根据等腰直角三角形的性质证明即可解答：（1）证法一：如答图1a，延长AB交CF于点D，则易知ABC与BCD均为等腰直角三角形，AB=BC=BD，点B为线段AD的中点，又点M为线段AF的中点，BM为ADF的中位线，BMCF证法二：如答图1b，延长BM交EF于D，ABC=CEF=90，ABCE，EFCE，ABEF，BAM=DFM，M是AF的中点，AM=MF，在ABM和FDM中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BE=CEBC，DE=EFDF，BE=DE，BDE是等腰直角三角形，EBM=45，在等腰直角CEF中，ECF=45，EBM=ECF，MBCF；（2）解法一：如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知BCD与ABC为等腰直角三角形，AB=BC=BD=a，AC=AD=a，点B为AD中点，又点M为AF中点，BM=DF分别延长FE与CA交于点G，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，点E为FG中点，又点M为AF中点，ME=AGCG=CF=a，CA=CD=a，AG=DF=a，BM=ME=a=a解法二：CB=a，CE=2a，BE=CECB=2aa=a，ABMFDM，BM=DM，又BED是等腰直角三角形，BEM是等腰直角三角形，BM=ME=BE=a；（3）证法一：如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知ABC与BCD均为等腰直角三角形，AB=BC=BD，AC=CD，点B为AD中点，又点M为AF中点，BM=DF延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知CEF与CEG均为等腰直角三角形，CE=EF=EG，CF=CG，点E为FG中点，又点M为AF中点，ME=AG在ACG与DCF中，ACGDCF（SAS），DF=AG，BM=ME证法二：如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，BCE=45，ACD=452+45=135BAC+ACF=45+135=180，ABCF，BAM=DFM，M是AF的中点，AM=FM，在ABM和FDM中，ABMFDM（ASA），AB=DF，BM=DM，AB=BC=DF，在BCE和DFE中，BCEDFE（SAS），BE=DE，BEC=DEF，BED=BEC+CED=DEF+CED=CEF=90，BDE是等腰直角三角形，又BM=DM，BM=ME=BD，故BM=ME8如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2 与x轴交于点A（-1，0）、B（4，0）点M、N在x轴上，点N在点M右侧，MN=2以MN为直角边向上作等腰直角三角形CMN，CMN=90设点M的横坐标为m （1）求这条抛物线所对应的函数关系式.（2）求点C在这条抛物线上时m的值.（3）将线段CN绕点N逆时针旋转90后，得到对应线段DN. 当点D在这条抛物线的对称轴上时，求点D的坐标.以DN为直角边作等腰直角三角形DNE, 当点E在这条抛物线的对称轴上时，直接写出所有符合条件的m值.【参考公式：抛物线（a0）的顶点坐标为】 （第23题）（1）抛物线经过点A(,0)、B(4,0)， 解得抛物线所对应的函数关系式为. （2分）（2）由题意知，点C的坐标为(m,)， （3分）点C(m,2)在抛物线上，2，解得，.点 C在这条抛物线上时，的值为或. （5分）（3）由旋转得，点D的坐标为(m，-2). 抛物线的对称轴为直线. 点D在这条抛物线的对称轴上，点D的坐标为. （7分）或或或. 9如图，二次函数y=x2+bx的图象与x轴交于点A（3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E（1）请直接写出点D的坐标：（3，4）；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题分析：（1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；（2）PA=t，OE=l，利用DAPPOE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积解答：解：（1）（3，4）；（2）设PA=t，OE=l由DAP=POE=DPE=90得DAPPOEl=+=（t）2+当t=时，l有最大值即P为AO中点时，OE的最大值为；（3）存在点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（4，0）由PADOEG得OE=PA=1OP=OA+PA=4ADGOEGAG：GO=AD：OE=4：1AG=重叠部分的面积=当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），此时重叠部分的面积为10如图，若二次函数的图象与轴交于点A（2,0）,B（3,0）两点，点A关于正比例函数的图象的对称点为C。（1）求b、c的值；（2）证明：点C 在所求的二次函数的图象上；（3）如图，过点B作DB轴交正比例函数的图象于点D，连结AC，交正比例函数的图象于点E，连结AD、CD。如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动，当其中一个到达终点时，另一个随之停止运动，连结PQ、QE、PE，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分APQ，同时QE平分PQC，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）二次函数的图象与轴交于点A（2,0）,B（3,0）两点， ，解得。 。 （2）证明：由（1）得二次函数解析式为。 在正比例函数的图象上取一点F，作FHx轴于点H， 。 连接AC交 的图象于点E，作CK x轴于点K， 点A关于的图象的对称点为C， OE垂直平分AC。 ，OA=2， 。 在RtACK中，。点C 的坐标为。将C 代入，左边=右边，点C在所求的二次函数的图象上。（3）DBx轴交的图象于点D，B（3,0）， 把x=3代入得，即BD=。 在RtACK中， OE垂直平分AC， ，。 假设存在某一时刻，使PE平分APQ，同时QE平分PQC， 则。 ， 。 又，。 又，PAEECQ。，即。整理，得，解得（不合题意，舍去）。 存在时刻，使PE平分APQ，同时QE平分PQC。11.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PEAC，交BC于E，连接CP，求PCE面积的最大值（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且OMD为等腰三角形，求M点的坐标考点：二次函数综合题分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论解答：解：（1）把点C（0，4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得该抛物线的解析式为y=x2+x4（2）令y=0，即x2+x4=0，解得x1=4，x2=2，A（4，0），SABC=ABOC=12设P点坐标为（x，0），则PB=2xPEAC，BPE=BAC，BEP=BCA，PBEABC，即，化简得：SPBE=（2x）2SPCE=SPCBSPBE=PBOCSPBE=（2x）4（2x）2=x2x+=（x+1）2+3当x=1时，SPCE的最大值为3（3）OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图所示DO=DM=DA=2，OAC=AMD=45，ADM=90，M点的坐标为（2，2）；（II）当MD=MO时，如答图所示过点M作MNOD于点N，则点N为OD的中点，DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又AMN为等腰直角三角形，MN=AN=3，M点的坐标为（1，3）；（III）当OD=OM时，OAC为等腰直角三角形，点O到AC的距离为4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为2，OD=OM的情况不存在综上所述，点M的坐标为（2，2）或（1，3）