第2章2.1.2知能优化训练

1已知线段AB的中点在坐标原点，且A(x,2)，B(3，y)，则xy等于()A5B1C1 D5解析：选D.由题意知，x3，y2，则xy5.2若x轴上的点M到原点及点(5，3)的距离相等，则M点的坐标是()A(2,0) B(1,0)C(1.5,0) D(3.4,0)答案：D3若A(a，)，B(b，)，则d(A，B)等于()A|ab| B|ab|C| D|答案：B4设点P在x轴上，点Q在y轴上，线段PQ的中点是M(1,2)，则d(P，Q)_.答案：25已知点P到x轴和点A(4,2)的距离都是10，则点P的坐标为_解析：设P(x，y)，由距离公式，得，解得P(2,10)答案：(2,10)1点A(2a,1)与点B(2，a)之间的距离为()A.(a1) B.(1a)C.|a1| D5(a1)2解析：选C.d(A，B)|a1|.2已知点A(x,5)关于点C(1，y)的对称点是B(2，3)，则点P(x，y)到原点的距离是()A4 B.C. D.解析：选D.由题意知，d.3已知ABC的顶点A(2,3)，B(8，4)和重心G(2，1)，则顶点C的坐标是()A(4，3) B(1,4)C(4，2) D(2，2)解析：选C.设C(x，y)，则2，x4.1，y2，故选C.4某县位于山区，居民的居住区域大致呈如图所示的五边形，近似由一个正方形和两个等腰直角三角形组成，若AB60 km，AECD30 km，为了解决当地人民看电视难的问题，准备建一个电视转播台，理想方案是转播台距五边形各顶点的距离平方和最小，图中P1、P2、P3、P4是AC的五等分点，则转播台应建在()AP1处 BP2处CP3处 DP4处解析：选A.以AB为x轴，AE为y轴建立直角坐标系，则A(0,0)，B(60,0)，C(30,30)，D(30,60)，E(0,30)，设点P(x，y)，则f(x，y)|AP|2|BP|2|CP|2|DP|2|EP|2x2y2(x60)2y2(x30)2(y30)2(x30)2(y60)2x2(y30)25x25y2240x240y108005(x24)25(y24)25040.当xy24时，f(x，y)有最小值，此时点P为(24,24)与点P1重合5若平行四边形的三个顶点为(3，2)，(5,2)，(1,4)，则第四个顶点不可能是()A(9，4) B(1,8)C(3,0) D(1，3)解析：选D.设第四个顶点为(x，y)，然后分三种情况讨论若(3，2)，(5,2)是一条对角线的两端点，则有，x9，y4，即第四个顶点为(9，4)；若(5,2)，(1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(1,8)；若(3，2)，(1,4)为一条对角线的两端点，则第四个顶点为(3,0)6点A(2,0)，B(4,2)，若|AB|2|AC|，则C点坐标为()A(1,1) B(1,1)或(5，1)C(1,1)或(1,3) D无数多个解析：选D.设C(x，y)，则2，即(x2)2y22.存在无数多个C点7点A(1,2)关于原点的对称点到点(3，m)的距离是2，则m的值是_解析：点(1,2)关于原点的对称点为(1，2)，2，解得m2或6.答案：2或68已知ABC的三个顶点的坐标为A(，2)、B(0,1)、C(0,3)，则此三角形的形状是_解析：|AB|2，|AC|2，|BC|2，|AB|AC|BC|.ABC为等边三角形答案：等边三角形9已知点A(5,2a1)，B(a1，a4)，当|AB|取得最小值时，实数a的值是_解析：|AB|2(5a1)2(2a1a4)22a22a252(a)2a时，|AB|最小答案：10求函数f(x)的最小值解：，可设A(6,1)、B(2,3)、P(x,0)，则f(x)|PA|PB|.要求f(x)的最小值，只需在x轴上找一点P，使|PA|PB|最小设B关于x轴的对称点为B，B(2，3)(如图所示)|PA|PB|PA|PB|AB|，|AB|4，当B、P、A三点共线时取等号，即|PA|PB|最小值为4，也就是f(x)的最小值为4.11已知两点A(2,2)和B(5，2)，试问在坐标轴上能否找到一点P，使APB为直角？解：假设在x轴上能找到一点P(x,0)，使APB90.由勾股定理，知|PA|2|PB|2|AB|2，所以(x2)222(x5)2(2)2(52)2(22)2.化简，得x27x60.解得x1或x6.所以在x轴上存在点P(1,0)或P(6,0)，使得APB为直角假设在y轴上能找到一点P(0，y)，使APB90.同理，由勾股定理得：(02)2(y2)2(05)2(y2)2(52)2(22)2，化简，得y260，此方程无实数解所以在y轴上不存在点P，使APB是直角综上所述，存在两点，P的坐标为(1,0)或(6,0)，使得APB为直角12证明平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和证明：如图，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，过点A且垂直于AB的直线为y轴，建立直角坐标系，则有A(0,0)设B(a,0)，D(b，c)，由平行四边形的性质，得点C的坐标为C(ab，c)因为|AB|2a2，|CD|2a2，|AD|2b2c2，|BC|2b2c2，|AC|2(ab)2c2，|BD|2(ab)2