阶常系数非齐次线性微分方程.ppt

根据解的结构定理 , 其通解为 非齐次方程特解齐次方程通解 求特解的方法 根据 f (x) 的特殊形式 ,的待定形式, 代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法 第七节 (2) 二阶常系数非齐次线性微分方程 I. 为实数 , 设特解为其中 为待定多项式 , 代入原方程 , 得 为 m 次多项式 . (1) 若 不是特征方程的根, 则取 从而得到特解 形式为 Q (x) 为 m 次待定系数多项式 (2) 若 是特征方程的单根 , 为m 次多项式,故特解形式为 (3) 若 是特征方程的重根 , 是 m 次多项式,故特解形式为 小结对方程, 此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 . 即 即 当 是特征方程的 k 重根 时,可设 特解 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 代入方程, 得 原方程通解为 例1 解 对应齐次方程通解 特征方程 特征根 原方程通解为 例2 代入方程, 得 原方程通解为 法二 解 例3 则由牛顿第二定律得 解此方程得 代入上式得 利用欧拉公式 注意 上述结论可推广到高阶常系数非齐次线性微分方 程. 解 对应齐次方程通解 代入原方程,得 所求非齐次方程特解为 原方程通解为 例4 法二对应齐次方程通解 作辅助方程 所求非齐次方程特解为 原方程通解为 （取虚部 ） 代入辅助方程,得 解对应齐次方程通解 作辅助方程 代入辅助方程 例5 所求非齐方程特解为 原方程通解为 （取实部） 注意 例6 解特征方程 特征根 对应的齐方的通解为 设原方程的特解为 由解得 故原方程的通解为 由 即 小结 (待定系数法) 只含上式一项解法：作辅助方程,求特解, 取 特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解. 补充题: 1. 写出微分方程 的待定特解的形式. 解: 设 的特解为 设 的特解为 则所求特解为 特征根 （重根） 2. 解: (1) 特征方程 有二重根所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 写出下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 3. 求微分方程的通解 (其中 为实数 ) . 解: 特征方程特征根: 对应齐次方程通解: 时,代入原方程得 故原方程通解为 时,代入原方程得 故原方程通解为 4. 已知二阶常微分方程有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 5. 有特解 而对应齐次方程有解 微分方程的通解 . 解: 故所给二阶非齐次方程为 方程化为 设二阶非齐次方程 一阶线性非齐次方程 故 再积分得通解 的解. 6.设函数 内具有连续二阶导数, (1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ; (2) 求变换后的微分方程满足初始条件 且 解: 上式两端对 x 求导, 得 (1) 由反函数的导数公式知 代入原微分方程得 (2) 方程的对应齐次方程的通解为 设的特解为 代入得 A0, 从而得的通解: 由初始条件 得 故所求初值问