数学：2.3《数学归纳法》课件(新人教A版选修2-2).ppt

1 山东省临沂第一中学 2.3 数学归纳法 临沂一中数学组 2 山东省临沂第一中学 问题提出 1.归纳推理的基本特征是什么？ 由个别事实概括出一般结论. 2.综合法，分析法和反证法的基本思 想分别是什么？ 综合法：由已知推可知，逐步推出未知. 分析法：由未知探需知，逐步推向已知. 反证法：假设结论不成立，推出矛盾得 证明. 3 山东省临沂第一中学 3.归纳推理能帮助我们发现一般结论 ，但得出的结论不一定正确，即使正确 也需要经过严格的证明才能肯定其真实 性. 综合法，分析法和反证法虽可证明 某些结论，但都有其局限性，因此，我 们非常需要一个与归纳推理相匹配的证 明方法，使之成为无与伦比的“黄金搭 档”. 4 山东省临沂第一中学 5 山东省临沂第一中学 探究（一）：数学归纳法的感性认识 思考1：某人想排队进展览馆参观，不知 自己能否进得去，于是问组织者，答曰 ；只要你前一个人能进去，你就能进去. 那么此人能进去参观吗？若每个排队的 人都能进去参观，需要什么条件？ （1）第一个人进去； （2）若前一个人进去，则后一个人也能 进去. 6 山东省临沂第一中学 思考2：有若干块骨牌竖直摆放，若将它 们全部推倒，有什么办法？一般地，多 米诺骨牌游戏的原理是什么？ （1）推倒第一块骨牌； （2）前一块骨牌倒下时 能碰倒后一块骨牌. 7 山东省临沂第一中学 8 山东省临沂第一中学 思考3：某人姓王，其子子孙孙都姓王吗 ？某家族所有男人世代都姓王的条件是 什么？ （1）始祖姓王； （2）子随父姓. （第1代姓王） （如果第k代姓T，则第k+1代也姓T） 9 山东省临沂第一中学 思考4：已知数列an满足: （nN*），那么该数列 的各项能确定吗？上述递推关系只说明 什么问题？若确定数列中的每一项，还 需增加什么条件？ 由第k项可推出第k1项. 给出第1项；（1） （2） 10 山东省临沂第一中学 探究（二）：数学归纳法的基本原理 思考1：已知数列an满足 （nN*），假设当nk时， ， 则当nk1时，ak1等于什么？ 若假设 ，则ak1等于什么？ 11 山东省临沂第一中学 思考2：若给出a11，则数列an的通 项公式是什么？若给出a12，则数列 an的通项公式是什么？如何理解你的 结论？ 思考3：已知数列an满足a11，an+1 2an3，利用上述思想如何证明数列 an的通项公式是an2n+1-3？ 12 山东省临沂第一中学 思考4：利用上述思想如何证明：对任 意nN*都有等式2462n n(n1)成立？ 思考5：上述证明方法叫做数学归纳法， 一般地，用数学归纳法证明一个与正整 数n有关的命题，其证明步骤如何？ （1）证明当n取第一个值n0(n0N*)时 命题成立； （2）假设当nk(kn0，kN*)时命题 成立，证明当nk1时命题也成立. 13 山东省临沂第一中学 思考6：数学归纳法由两个步骤组成，其 中第一步是归纳奠基，第二步是归纳递 推，完成这两个步骤的证明，实质上解 决了什么问题？ 逐一验证命题对从n0开始的所有正整数 n都成立. 14 山东省临沂第一中学 理论迁移 例1 用数学归纳法证明： (nN*). 15 山东省临沂第一中学 例2 已知数列： 试猜想其前n项和Sn的表达式，并数学归 纳法证明. 16 山东省临沂第一中学 小结作业 1.数学归纳法的实质是建立一个无穷 递推机制，从而间接地验证了命题对从 n0开始的所有正整数n都成立，它能证明 许多与正整数有关的命题，但与正整数 有关的命题不一定要用数学归纳法证明 ，有些命题用数学归纳法也难以证明. 17 山东省临沂第一中学 数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤是： （1）证明当 取第一个值 （如 或2等）时结论正确 ； （2）假设时 结论正确，证明 时结论也正确 递推基础递推依据 “找准起点，奠基要稳” “用上假设，递推才真” 注 意： 1、一定要用到归纳假设； 2、看清从k到k1中间的变化。 18 山东省临沂第一中学 2.归纳推理能发现结论，数学归纳 法能证明结论，二者强强联合，优势互 补，在解决与正整数有关的问题时，具 有强大的功能作用.但在数学归纳法的实 施过程中，还有许多细节有待进一步明 确和认识. 19 山东省临沂第一中学 (1)在第一步中的初始值不一定从1取起，证明 时应根据具体情况而定. 练习1:欲用数学归纳法证明2nn2,试问n的第 一个取值应是多少? 答:对n=1,2,3,逐一尝试,可知初始值为 n=5. 证明中需要注意的问题 练习2:用数学归纳法证明3nn2. 此题在第二步的证明过程中在假设n=k时,3kk2成立 的基础上,当n=k+1时, 要说明此式大于零,则必须k2.故在 证证明的第一步中,初始值应取1和2两个值. 20 山东省临沂第一中学 (2)在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k 命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之 间的逻辑递推关系,造成推理无效. 21 山东省临沂第一中学 练习.下面是某同学用数学归纳法证明命题 的过程.你认为他的证法正确吗?为什么 (1).当n=1时,左边= , 右边= (2).假设n=k时命题成立 即 那么n=k+1时, 左边 =右边, 即n=k+1时,命题也成立. 由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确. 22 山东省临沂第一中学 (3)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立时,要 分析命题的结构特点,分析“n=k+1时”命题是什么 ，并找出与“n=k”时命题形式的差别.弄清应增加 的项. 学案P74例题1 23 山东省临沂第一中学 1.已知: ,则 等于( ) A: B: C: D: C 练习： 2.学案P74 A 2. 24 山东省临沂第一中学 重点：两个步骤、一个结论； 注意：递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。 25 山东省临沂第一中学 分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。 有几项？ 是什么,它比多出了多少，是首要问题。 例3对于nN*用数学归纳法证明： 事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项 中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4k f(k+1)=f(k)+1+2+3+k 26 山东省临沂第一中学 证明：设f(n)= (1)当n1时，左边1，右边1，等式成立 (2)设当nk,时等式成立，即 则n=k+1时， f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+ +(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1) =f(k)+1+2+3+k+(k+1) 由（1）（2）可知 当nN*时等式都成立 。 27 山东省临沂第一中学 归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法； 数学归纳法的科学性：基础正确；可传递； 数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论； 数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的 缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种 科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、 由有限到无穷 数学归纳法的基本思想： 在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的 手段来解决“无限”的问题 数学归纳法的核心: 在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二 步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数 学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限 到无限的飞跃。 课 堂 小 结 28 山东省临沂第一中学 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项： 明确首取值n0并