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1,第三章 微分中值定理与 导数的应用,习 题 课,教学要求,典型例题,2,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,3,1.微分中值定理及其相互关系,罗尔定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒中值定理,4,2. 微分中值定理的主要应用,(1) 研究函数或导数的性态,(3) 证明恒等式或不等式,(4) 证明有关中值问题的结论,(2) 证明方程根的存在性,利用,3.有关中值问题的解题方法,逆向思维,设辅助函数.,(1) 研究函数的性态:,增减,极值,凹凸,(2) 最值问题,4.导数应用,拐点,5,在,内可导,且,证明至少存在一点,使,上连续,在,需证,设辅助函数,用罗尔定理,使,即有,例1,证,分析,?,二、典型例题,6,例2,分析,构造辅助函数F(x),证,设,设,罗尔定理,因此必有,7,且在,上,存在,并单调递减,证明对一切,有,证,当,时,令,证毕.,设,例3,设,8,例4,证,(1),(2),(2)-(1),9,在,内可导,且,试证存在,使,上连续,在,例5,需证,f (x)在 a , b 上用,只要证,证,又 f ( x )及,在 a , b 上用,将(1)代入(2),化简得,故有,拉氏定理,柯西定理,(1),(2),10,例6,证,法一,用单调性,设,证明不等式,11,法二,用拉格朗日定理,设,拉格朗日定理,由,得,即,例6,证明不等式,12,例7,判断方程,有几个实根,并指出各个根所在的区间.,解,设,唯一驻点,最小值,13,例8,解,设,又,且,且,其图形必与x轴有一个交点.,所以,14,例9,解,奇函数,15,极大值,拐点,极小值,16,测 验 题,17,18,19,20,21,22,23,测验题答案,24,25,在,内可导,且,证明,在,内有界.,证,定数,例1,取点,应用拉氏定理:,26,例2,解,27,例3,证,28,例4,证,介值定理,上分别用,使得,拉氏定理,(1),(2),29,由(1),有,得,(1),(2),由(2),有,30,提示,设路程函数为,起始速度为0,即,终
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