2019届高考数学复习解析几何考点规范练47抛物线文新人教B版.docx

考点规范练47抛物线基础巩固1.(2017广西桂林一模)若抛物线y2=2px(p0)上的点A(x0,)到其焦点的距离是点A到y轴距离的3倍,则p等于()A.B.1C.D.22.若抛物线y=-4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是()A.-B.-C.D.3.已知过抛物线y2=4x的焦点作直线l交抛物线于A,B两点,若线段AB中点的横坐标为3,则|AB|等于()A.2B.4C.6D.84.已知抛物线y2=8x与双曲线-y2=1的一个交点为M,F为抛物线的焦点,若|MF|=5,则该双曲线的渐近线方程为()A.5x3y=0B.3x5y=0C.4x5y=0D.5x4y=05.(2017河北张家口4月模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,若|AB|=6,则线段AB的中点M的横坐标为()A.2B.4C.5D.66.(2017河南洛阳一模)已知直线y=k(x+2)(k0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为抛物线C的焦点,若|FA|=2|FB|,则点A到抛物线的准线的距离为()A.6B.5C.4D.37.若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则点M到y轴的距离是.8.已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.9.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若+,求的值.10.已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点到点F(1,0)的距离减去它到y轴距离的差都是1.(1)求曲线C的方程.(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有0)的焦点为F,以抛物线C上的点M(x0,2为圆心的圆与y轴相切,与线段MF相交于点A,且被直线x=截得的弦长为|MA|,若=2,则|AF|=.14.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.(1)求抛物线C的方程;(2)过点F的直线l与抛物线C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l与抛物线C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.高考预测15.已知抛物线x2=2py(p0)的顶点到焦点的距离为1,过点P(0,p)作直线与抛物线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,其中x1x2.(1)若直线AB的斜率为,过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线,求圆C的方程.(2)若=,是否存在异于点P的点Q,使得对任意,都有(-)?若存在,求出点Q的坐标;若不存在,说明理由.参考答案考点规范练47抛物线1.D解析由题意,3x0=x0+,x0=,=2.p0,p=2,故选D.2.B解析抛物线方程可化为x2=-,其准线方程为y=.设M(x0,y0),则由抛物线的定义,可知-y0=1,y0=-.3.D解析由题设知线段AB的中点到准线的距离为4.设A,B两点到准线的距离分别为d1,d2.由抛物线的定义知|AB|=|AF|+|BF|=d1+d2=24=8.4.A解析由题意可知抛物线y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为x=-2.设M(m,n),则由抛物线的定义可得|MF|=m+2=5,解得m=3.由n2=24,可得n=2.将M(3,2)代入双曲线-y2=1,可得-24=1,解得a=,即有双曲线的渐近线方程为y=x,即5x3y=0.5.A解析抛物线y2=4x,p=2.设A,B两点的横坐标分别为x1,x2,利用抛物线定义,AB中点横坐标为x0=(x1+x2)=(|AB|-p)=2,故选A.6.A解析抛物线C:y2=8x的准线为l:x=-2,直线y=k(x+2)恒过定点P(-2,0),如图,过点A,B分别作AMl于点M,BNl于点N,由|FA|=2|FB|,则|AM|=2|BN|,点B为AP的中点.连接OB,则|OB|=|AF|,|OB|=|BF|,点B的横坐标为1,|BN|=3,|AM|=6,故选A.7.9解析设点M坐标为(xM,yM).抛物线y2=4x的准线为x=-1,由抛物线的定义知xM+1=10,即xM=9.8.2解析由题意知F(1,0),|AC|+|BD|=|AF|+|FB|-2=|AB|-2,即|AC|+|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知当|AB|为通径,即|AB|=2p=4时,为最小值,所以|AC|+|BD|的最小值为2.9.解(1)由题意得直线AB的方程为y=2,与y2=2px联立,消去y有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=.由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而该抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)得4x2-5px+p2=0,即x2-5x+4=0,则x1=1,x2=4,于是y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4).设C(x3,y3),则=(x3,y3)=(1,-2)+(4,4)=(4+1,4-2).又=8x3,所以2(2-1)2=8(4+1),整理得(2-1)2=4+1,解得=0或=2.10.解(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,则点P(x,y)满足-x=1(x0),化简得y2=4x(x0).(2)设过点M(m,0)(m0)的直线l与曲线C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).设l的方程为x=ty+m.由得y2-4ty-4m=0,=16(t2+m)0,于是因为=(x1-1,y1),=(x2-1,y2),所以=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+y1y2+1.又0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2+10,因为x=,所以不等式可变形为+y1y2-+10,即+y1y2-(y1+y2)2-2y1y2+10.将代入整理得m2-6m+14t2.因为对任意实数t,4t2的最小值为0,所以不等式对于一切t成立等价于m2-6m+10,即3-2m3+2.由此可知,存在正数m,对于过点M(m,0),且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有0,且m的取值范围是(3-2,3+2).11.C解析由题意得抛物线的焦点为F,准线方程为x=-.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).=0,点F是ABC的重心,x1+x2+x3=.由抛物线的定义可得|FA|=x1-=x1+,|FB|=x2-=x2+,|FC|=x3-=x3+,|+|+|=x1+x2+x3+=9.12.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因为点M在x轴的上方,所以M(3,2).因为MNl,且N在l上,所以N(-1,2).因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).所以点M到直线NF的距离为=2.13.1解析由抛物线的定义得|MF|=x0+.圆与y轴相切,|MA|=x0.圆被直线x=截得的弦长为|MA|,圆心到直线x=的距离为|MA|,|MA|=2,2=x0,解得x0=p.M(p,2),2p2=8,p=2.=2,|AF|=|MA|=p=1.14.解(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.所以|PQ|=,|QF|=+x0=.由题设得,解得p=-2(舍去)或p=2.所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m0).代入y2=4x得y2-4my-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.故AB的中点为D(2m2+1,2m),|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).又l的斜率为-m,所以l的方程为x=-y+2m2+3.将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).故MN的中点为E,|MN|=|y3-y4|=.由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即4(m2+1)2+,化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.15.解(1)由已知得p=2,直线和y轴交于点(0,2),则直线AB的方程为y-2=x,即x-2y+4=0.由得A,B的坐标分别为(4,4),(-2,1).又x2=4y,可得y=x2,故y=x,故抛物线在点A处切线的斜率为2.设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,则解得a=-1,b=,r2=,故圆的方程为(x+1)2+,即为x2+y2+2x-13x+12=0.(2)依题意可设直线AB的方程为y=kx+2,代入抛物线方程x2=4y得x2-4kx-8=0,故x1x2